训练(8) 二项式定理-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(八)　二项式定理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝________________________________ 二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数：________(r＝0,1，…，n) 二项展开式的通项 Tr＋1＝________，它表示第________项 2.二项式系数的性质 一、选择题 1．(2－x)6的展开式中，x3的系数是(　　) A．160 B．－160 C．220 D．－220 2．乘积(x1＋x2＋…＋x6)(y1＋y2＋…＋y7)展开后的项数为(　　) A．6 B．7 C．13 D．42 3．C＋C＋C＋C＋C＝(　　) A．36 B．64 C．128 D．256 4.5的展开式中x2的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 5．若(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则＋＋…＋＝(　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 6．将三项式展开，得到下列等式： 0＝1 1＝a2＋a＋1 2＝a4＋2a3＋3a2＋2a＋1 3＝a6＋3a5＋6a4＋7a3＋6a2＋3a＋1 … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数(不足3个数时，缺少的数以0计)之和，第k行共有2k＋1个数．则关于x的多项式5的展开式中，x8项的系数为(　　) A．15 B．15 C．15 D．15 7．(多选)4的展开式中，下列结论正确的是(　　) A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0 C．含x4项的系数为4 D．所有项的二项式系数和为16 8．(多选)如果＝k·m＋n，k，m，n∈N，则当k取下列何值时，存在m，使得n＝0成立(　　) A．9 B．40 C．121 D．7 381 二、填空题 9.n的二项展开式中各项系数之和为64，则n＋3的二项展开式中第七项为________________________________________________________________________． 10.5的展开式中x3的系数为________． 11．已知(1＋62x)99＋(62－x)99＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a99x99，且a0，a1，a2，…，a99∈R，则满足ak<0(k∈N且0≤k≤99)的k的最大值为________． 三、解答题 12．已知(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0. (1)求a0的值； (2)求a4＋a2＋a0的值； (3)求(x－1)(x＋2)4的展开式中含x4项的系数． 13.我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一．图为杨辉三角的部分内容．设杨辉三角中第n行的第r个数为C，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加． (1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由． 1．(2023·天津卷)在6的展开式中，x2项的系数为________． 2．(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 答案 训练(八)　二项式定理 【知识整合】 1．Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) C　Can－rbr　r＋1 2．相等　递增　递减　一项　两项　2n　2n－1 【知能演练】 1．B　2.D　3.C　4.B　5.C　6.D 7．BD　对于A，因为4展开式一共五项，所以二项式系数最大项为第三项，故A错误； 对于B，令x＝1时，4＝0，所以各系数的和为0，故B正确； 对于C，因为4的展开通项公式为 Tr＋1＝Cx4－rr＝C(－1)rx4－2r(r＝0,1,2,3,4)， 令4－2r＝4，得r＝0，故含x4项的系数为C·(－1)0＝1，故C错误； 对于D，所有项的二项式的系数和为24＝16，故D正确． 8．BCD　因为(3100－1)＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋…＋399， 所以(3100－1)可表示为100项的和， 因为1＋3＋32＋33＋34＋35＋…＋399＝4＋9(1＋3＋32＋33＋…＋397)， 所以k＝9时，n＝4，A错误； 因为1＋3＋32＋33＝40，所以1＋3＋32＋33＋34＋35＋…＋399＝40(1＋34＋38＋…＋396) (共100项，每4项相加，然后提出40)，所以B正确； 由于1＋3＋32＋33＋34＝121，同理可知C正确； 因为(3100－1)＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋…＋399 ＝(1＋32＋34＋36＋38＋…＋398)＋(3＋33＋35＋37＋39＋…＋399) ＝4(1＋32＋34＋36＋38＋…＋398) ＝4[(1＋32＋34＋36＋38)＋310(1＋32＋34＋36＋38)＋…＋390(1＋32＋34＋36＋38)] ＝4[7 381(1＋310＋320＋…＋390)]，所以D正确． 9．84 10．解析　因为5＝5＋3x5， 又5展开式的通项为Tr＋1＝Cr＝Crxr(0≤r≤5且r∈N)， 所以5的展开式中含x3的项为C3x3＋3x·C2x2＝40x3， 故展开式中x3的系数为40. 答案　40 11．解析　因为xk的系数为ak＝C62k＋C6299－k·(－1)k＝C62k[1＋6299－2k(－1)k]，其中k＝0,1,2，…，99， 要使得ak<0，必须k是奇数且6299－2k>1，所以99－2k>0，即k<49.5，所以k的最大值为49. 答案　49 12．解析　(1)令x＝0得a0＝24＝16. (2)(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0. 令x＝1，可得a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝81， 令x＝－1，可得a4－a3＋a2－a1＋a0＝1， 两式相加除以2，可得a4＋a2＋a0＝41. (3)(x＋2)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4－r2r，r∈{0,1,2,3,4}， 所以(x－1)(x＋2)4的展开式中含x4项的系数为C×2－C＝8－1＝7. 13．解析　(1)观察得到C＝C＋C. 利用组合相关公式证明如下：C＋C＝＋＝[r＋(n－r)]＝＝C， 故原式得证． (2)存在，理由如下： 设在第n行存在连续三项C，C，C，其中n∈N*且n≥2，k∈N*且k≥2， 有＝且＝，化简得＝且＝， 即解得k＝3，n＝10， 故三个数依次是45,120,210. 【真题体验】 1．解析　展开式的通项公式Tr＋1＝C6－r·r＝r×26－r×C×x18－4r，令18－4r＝2，可得r＝4， 则x2项的系数为4×26－4×C＝4×15＝60. 故答案为60. 答案　60 2．解析　原式等于(x＋y)8－(x＋y)8，由二项式定理，其展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. 答案　－28 学科网（北京）股份有限公司 $$