训练(7) 两个基本计数原理及排列、组合-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(七)　两个基本计数原理及排列、组合 1．两个基本计数原理 两个基本 计数原理 目标 策略 过程 方法总数 分类计 数原理 分步计 数原理 完成一 件事 有n类方式 在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法 N＝________种不同的方法 需要分成 n个步骤 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法 N＝________种不同的方法 2.排列与组合 (1)概念 名称 定义 排列 组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照____________排成一列 并成一组 (2)排列数、组合数的公式及性质 公式 A＝____________________＝________； C＝＝＝ 性质 0！＝____；A＝________； C＝C；C＝________ 一、选择题 1．若C＝C，则n的值可以是(　　) A．10 B．12 C．13 D．15 2．从0,1,2,3,4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有(　　) A．24个 B．30个 C．36个 D．60个 3．某班要从5名学生中选出2人，在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动，则不同的选择方法有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．125种 4．截至2024年2月25日，2024年春节档4部影片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》《熊出没·逆转时空》合计票房已经突破100亿．某影城为了家庭中的大人和孩子观影便利，对影片播放顺序做出如下要求：《热辣滚烫》不排第一场，《熊出没·逆转时空》不排最后一场，《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，则不同的安排方式有(　　) A．12种 B．10种 C．9种 D．7种 5．若m，n为正整数且n>m>1，则(　　) A．C＝C B．C＝ C．mC＝(n－1)C D．A＋mA＝A 6.将1,2,3，…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为(　　) 5 A. B. C. D. 7．(多选)下列说法正确的是(　　) A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法 B．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果 D．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有24种报名方法 8．(多选)下列说法正确的有(　　) A．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种 B．某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种 C．两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种 D．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲、乙不相邻的排法有82种 二、填空题 9．若C＝15，则A＝_________. 10．用1,5,9,13中的任意一个数作分子，4,8,12,16中任意一个数作分母，可以构成________个不同的真分数． 11．继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解，天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有牛肉、羊肉、鸡肉、萝卜、木耳、菠菜、豆腐、香菇等菜品，一游客打算从以上8种菜品中选择一荤两素，其中萝卜、木耳只能选一种，菠菜、豆腐只能选一种，且羊肉必须与萝卜搭配，则他选择的种类共有______种． 三、解答题 12．有0,1,2,3,4五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ 13．4名男生和3名女生站成一排． (1)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 1．(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．C·C 种 B．C·C 种 C．C·C 种 D．C·C 种 2．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 答案 训练(七)　两个基本计数原理及排列、组合 【知识整合】 1．m1＋m2＋…＋mn　m1×m2×…×mn 2．(1)一定的顺序　(2)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　　1　n！　C＋C 【知能演练】 1．A　2.B　3.B　4.D　5.A　6.C 7．ACD　A：每位同学均有3种选择，根据分步乘法计数原理知，共有34＝81种报名方法，故A正确； B：若选择0，则0只能在第二位，其他两位从3个奇数中选2个排好，共有A＝6种； 若选择2，则2可以排在前两位，有2种可能， 其他两位从3个奇数中选2个排好，共有2A＝12种， 根据分类加法计数原理可知，共有6＋12＝18种结果，故B错误； C：每项运动的冠军都有4种可能，根据分步乘法计数原理知，共有43＝64种结果，故C正确； D：先从4位同学中选3人，有C＝4种方法， 再在选的3人中，选择不同的项目，有A＝6种方法， 根据分步乘法计数原理知，共有4×6＝24种结果，故D正确． 8．AC　对于A，某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有C＝12种，故A正确；对于B，某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有C＝21种，故B错误；对于C，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有6×6＝36种，故C正确；对于D，先排列丙、丁、戊有A种排法，再让甲、乙去插空位，有A种排法，则甲、乙不相邻的排法有AA＝72种，故D错误． 9．解析　因为C＝15，所以＝15，解得n＝6或n＝－5(舍去)， 所以A＝A＝6×5＝30. 答案　30 10．解析　由真分数的定义， ①若1为分子，分母有4种选择； ②若5为分子，分母有3种选择； ③若9为分子，分母有2种选择； ④若13为分子，分母有1种选择； 所以不同的真分数共有4＋3＋2＋1＝10个． 答案　10 11．解析　1.若荤菜中没有羊肉，则荤菜为牛肉或鸡肉， (1)若素菜选香菇，可选择的种类共有2×2×2＝8种； (2)若素菜没有选香菇，可选择的种类共有2×2×2＝8种； 此时可选择的种类共有8＋8＝16种； 2．若荤菜为羊肉，则素菜只能从菠菜、豆腐、香菇选一种，可选择的种类共有3种； 综上所述：他选择的种类共有16＋3＝19种． 答案　19 12．解析　(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤： 第1步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法； 第2步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法； 第3步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第4步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120个． (2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤： 第1步，从1,2,3,4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法； 第2步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法； 第3步，从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法； 第4步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96(个)． 13．解析　(1)A·A＝2×120＝240(种)， 甲、乙两人必须站在两端的站法有240种． (2)A·A·A＝2×24×20＝960(种)， 甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种． (3)＝840(种)， 甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种． 【真题体验】 1．D　CC. 2．B　先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A种安排方式．所以不同的安排方式共有C·A＝60(种)．故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$