训练(6) 空间向量的应用(2)-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(六)　空间向量的应用(二) 1．空间中的角 (1)两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 ____________ (0，π) 求法 ____________ cos β＝ (2)直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝. (3)平面与平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 2．空间中的距离 名称 概念 求法 两点距 空间中两个点连线的线段长 求向量的模 点线距 过空间一点作一条直线的垂线段的长 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝____________ 点面距 过平面外一点作平面的一条垂线段的长 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝ 线面距 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离 面面距 当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离 转化为求点面距 一、选择题 1．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线CM与直线A1B1所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 2．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P为AC的中点，则三棱锥P­A1C1B的外接球的表面积为(　　) A.π B.π C．3π D.π 3．在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则点C1到平面A1BC的距离为(　　) A．1 B. C．2 D. 4．如图，过二面角α­l­β内一点P作PA⊥α于A，PB⊥β于B，若PA＝5，PB＝8，AB＝7，则二面角α­l­β的大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 5．圆锥的底面半径为，高为2，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值及CD与底面所成角的正弦值分别为(　　) A.， B.， C.， D.， 6．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，AA1＝4，AB＝6，CD＝2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 7．(多选)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC且AB＝BC＝2，直线A1C与底面ABC所成角的正弦值为，则(　　) A．线段A1C上存在点D，使得A1B⊥AD B．线段A1C上存在点D，使得平面DBB1⊥平面DCC1 C．直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为 D．点B1到平面A1BC的距离为 8．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P是侧面ABB1A1内的一个动点，三棱锥P­BC1D的所有顶点均在球O的球面上，则(　　) A．平面PA1C⊥平面BC1D B．点P到平面BC1D的距离的最大值为 C．当点P在线段AB1上时，异面直线AP与BC1所成的角为 D．当三棱锥P­BC1D的体积最大时，球O的表面积为2π 二、填空题 9．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离为_________． 10．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3，若点P在棱BB1上，当二面角P­A2C2­D2为150°时，则B2P＝________. 11．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，则平面ABC与平面AB1D的夹角的余弦值为____________． 三、解答题 12．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠ABC＝，平面PAC⊥平面ABCD.F为PA的中点，且CF＝PF，PC＝4，BC＝2，PB＝PD，M，N分别为PB，PD的中点． (1)证明：BD⊥AC； (2)设DM交平面NAC于点H，求平面ABC与平面ABH夹角的余弦值． 13.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，点F为棱PD的中点，PD＝2DA＝2. (1)若E是BC的中点，证明：CF∥平面PAE； (2)求直线CF与平面ABF所成角的正弦值． 1．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 2．(2022·新高考Ⅰ卷) 如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A­BD­C的正弦值． 答案 训练(六)　空间向量的应用(二) 【知识整合】 1．(1)　cos θ＝ 2. 【知能演练】 1．A　2.B　3.B　4.C　5.D　6.D 7．ABD　在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC， 则∠A1CA即为直线A1C与底面ABC所成的角，即sin ∠A1CA＝， 则cos∠A1CA＝ ＝， 所以tan∠A1CA＝＝. 又AB⊥BC且AB＝BC＝2，所以AC＝＝2， 又AA1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AA1⊥AC， 所以tan∠A1CA＝＝，解得A1A＝2， 所以直三棱柱ABC­A1B1C1的体积V＝×2×2×2＝4，故C错误； 又BB1⊥底面ABC，AB⊥BC，如图建立空间直角坐标系， 则B，C，A，A1，B1，C1， 所以＝，＝，因为点D在线段A1C上， 设＝λ＝，λ∈， 则＝＋＝＋(－2λ，2λ，－2λ)＝， 若A1B⊥AD，则·＝0， 即2＋2＝0，解得λ＝， 此时D为线段A1C的中点， 故在线段A1C上存在点D，使得A1B⊥AD，故A正确； 当D为线段A1C的中点时D，则＝，＝， 设平面BB1D的法向量为m＝， 则取m＝， 又＝，＝，设平面CC1D的法向量为n＝， 则取n＝， 因为m·n＝1×1＋1×＋0×0＝0，所以平面DBB1⊥平面DCC1， 即当D为线段A1C的中点时满足平面DBB1⊥平面DCC1，故B正确； 又＝，＝，＝， 设平面A1BC的法向量为u＝， 则取u＝， 则点B1到平面A1BC的距离d＝＝＝，故D正确． 8. AC　对于A，连接AC，BD，则BD⊥AC， 因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD， 又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面A1AC，所以BD⊥平面A1AC， 又A1C⊂平面A1AC，所以A1C⊥BD， 同理可得A1C⊥C1D， 又C1D∩BD＝D，C1D，BD⊂平面BC1D，所以A1C⊥平面BC1D， 因为A1C⊂平面PA1C，所以平面PA1C⊥平面BC1D，故A正确； 对于B，如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设P， 所以B，C，A1， 由A选项可知平面BC1D的一个法向量为＝， 又＝，所以点P到平面BC1D的距离为d＝＝， 所以当x＝0，z＝1时，dmax＝，故B错误； 对于C，连接C1D，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以AB1∥C1D，则当点P在线段AB1上时， 异面直线AP与BC1所成的角即为异面直线AB1与BC1所成的角，即∠BC1D， 因为△BC1D为等边三角形，所以∠BC1D＝， 即异面直线AP与BC1所成的角为，故C正确； 对于D，当三棱锥P­BC1D的体积最大时，点P到平面BC1D的距离最大， 由B选项可知当点P与点A1重合时， 三棱锥PBC1D为正四面体A1­BC1D，且其棱长为， 其外接球即为正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球， 所以外接球的半径为，所以球O的表面积为S＝4π×2＝3π，故D错误． 9. 10. 解析　以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)， 设P(0,2，λ)(0≤λ≤4)，则＝(－2，－2,2)，＝(0，－2,3－λ)，＝(－2,0,1)， 设平面PA2C2的法向量n＝(x，y，z)， 则 令z＝2，得y＝3－λ，x＝λ－1，所以可得n＝(λ－1,3－λ，2)， 设平面A2C2D2的法向量m＝(a，b，c)， 则 令a＝1，得b＝1，c＝2，即m＝(1,1,2)， 因此＝ ＝＝＝， 化简可得λ2－4λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝3， 即P或P， 可得B2P＝1. 答案　1 11. 解析　以A为坐标原点，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示． 因为ABC­A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，所以A(0,0,0)， B1，D，C1(0，a，a)，故＝，＝， ＝. 设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，则z＝－2，x＝，故n＝(，1，－2)． 又平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)， 所以|cos 〈m，n〉|＝＝＝， 所以平面ABC与平面AB1D的夹角的余弦值为. 答案　 12．解析　(1)证明　如图所示，设BD与AC交于点O，连接PO， 因为底面ABCD是平行四边形，所以O为BD，AC的中点， 又因为PB＝PD，所以PO⊥BD， 因为CF＝FP＝FA，且F为PA的中点，所以PC⊥AC， 又因为PC⊂平面PAC，且平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC， 所以PC⊥平面ABCD， 因为BD⊂平面ABCD，所以PC⊥BD， 又因为PO∩PC＝P，且PO，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC， 因为AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC. (2)如图所示，连接ON，因为ON为△PBD的中位线，所以ON∥PB， 因为平面PBD∩平面ACH＝OH，BM＝ON且H∈ON， 所以OH∥MB，且OH＝MB， 由O，F分别为AC，AP的中点，可得OF∥PC， 由(1)知PC⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD. 以O为坐标原点，以OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则O，F，A，C，B(0，，0)，P， 所以＝＝， 则＝，＝， 设m＝为平面ABH的法向量，则 取y＝2，可得x＝2，z＝3， 所以m＝， 又由平面ABC的一个法向量为n＝， 设平面ABC与平面ABH的夹角为θ，可得cos θ＝＝＝. 即平面ABC与平面ABH夹角的余弦值为. 13．解析　(1)证明　取PA的中点G，连接GE，GF，因为E，F分别为BC，PD的中点，且底面ABCD是正方形， 则GF∥AD∥EC，GF＝AD＝EC，即四边形ECFG是平行四边形，因此CF∥EG， 而CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE， 所以CF∥平面PAE. (2)在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B， C，F， 故＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)， 设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，得n＝(1,0,1)，设直线CF与平面ABF所成角为θ， 因此sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 所以直线CF与平面ABF所成角的正弦值为. 【真题体验】 1．ABD　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A、B均正确； 设A1C1∩B1D1＝O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO＝＝，故∠C1BO＝30°，故选项C错误； 直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC＝45°，故选项D正确．综上，答案选ABD. 2．解析　(1)设A到平面A1BC的距离为h， VA1­ABC＝S△ABC·A1A＝VABC­A1B1C1＝×4＝， VA­A1BC＝S△A1BC·h＝×2·h， 所以×2·h＝，所以h＝，所以A到平面A1BC的距离为. (2)取A1B的中点E，连接AE， 因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B， 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B， 所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC，AE＝，则AA1＝AB＝2， 因为直三棱柱ABC­A1B1C，所以A1A⊥BC， 因为AE∩A1A＝A，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB， 由VABC­A1B1C1＝AB·BC·A1A＝×2×BC×2＝4，所以BC＝2， 以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以B(0,0,0)，A(0,2,0)， C(2,0,0)，A1(0,2,2)，E(0,1,1)，D(1,1,1)，平面BDC的法向量设为n1＝＝(0，－1,1)，平面BDA的法向量设为n2＝(x，y，z)， ＝(0,2,0)，＝(1,1,1)， 所以所以y＝0， 设x＝1，则z＝－1，所以n2＝(1,0，－1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝－， 设二面角A­BD­C的平面角为α， 则sin α＝＝， 所以二面角A­BD­C的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$