训练(5) 空间向量的应用(1)-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(五)　空间向量的应用(一) 1．直线的方向向量与平面的法向量 直线的 方向向量 我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量．一条直线的方向向量有________个 平面的 法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔________ l1⊥l2 n1⊥n2⇔________ 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔________ l⊥α n∥m⇔________ 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔________ α⊥β n⊥m⇔________ 一、选择题 1．AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中A(2,1,2)，B(1,0,0)，C(－1,2,4)，AD＝(　　) A. B. C. D. 2．如图，下列正方体中，O为底面的中点，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(　　) 　 A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的直线MN(　　) A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 4．已知平面α，β的法向量分别为a＝(1，－1,2)，n＝(5，－1，－3)，则这两个平面的位置关系为(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 5．空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别为AB，AD，CD，CB的点(不含端点)．四边形EFGH为平面四边形且其法向量为n.下列论述错误的为(　　) A.·n＝0，则BD∥平面EFG B.＝，则AC∥平面EFG C.·＝0，∥，则四边形EFGH为矩形 D.·＝0，＝，则四边形EFGH为矩形 6．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，线段BP长度的取值范围是(　　) A．[1，] B. C. D. 7．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，E，F，G分别为棱A1D1，BC，A1B1，BB1，DD1的中点，则(　　) A．MN∥平面EFG B．EF⊥平面AFN C．AC1⊥平面EFG D．平面EFG⊥平面AFN 8．(多选)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱B1C1，B1B的中点，则下列结论正确的为(　　) A.＝2 B.·＝0 C．||＝3 D.为平面ACD1的一个法向量 二、填空题 9．已知A(x,2,1－x)，B(1，x,2)，则线段AB长度的最小值为____________． 10．已知＝(2，n，－2)，平面α的法向量n＝(1，－2,2m)，若AB⊥α，则m＋n＝________. 11.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点．动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论： ①存在点P，使得PA1＝PE； ②△PA1E的面积越来越大； ③四面体A1PB1E的体积不变． 所有正确的结论的序号是__________． 三、解答题 12．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中AC⊥BC，AC＝BC＝BB1.D为AB的中点． (1)证明：BC1⊥AB1； (2)证明：BC1∥平面A1CD； (3)求平面A1CD与平面DBC所成角的余弦值． 13．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E在棱DD1上运动，F在线段B1D1上运动，直线DF与平面ACE交于点G. (1)当E，F为中点时，证明：DF⊥平面ACE； (2)若DF⊥平面ACE，求的最大值及此时DE的长． 1．(2023·全国乙卷·节选)如图，在三棱锥P ­ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. 求证：EF∥平面ADO. 2．(2023·新课标Ⅰ卷·节选)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. 证明：B2C2∥A2D2. 答案 训练(五)　空间向量的应用(一) 【知识整合】 1．无数　无数 2．n1＝λn2　n1·n2＝0　m·n＝0　n＝λm　n＝λm　n·m＝0 【知能演练】 1．B　2.D　3.D　4.C　5.C　6.D 7．AC　对于A，如图1，因为M，N，E，F分别为棱A1D1，BC，A1B1，BB1的中点，A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝B1C1＝BC，易得▱A1MNB， 则有MN∥A1B，又EF∥A1B，故MN∥EF，MN⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，故MN∥平面EFG，即A项正确； 对于B，如图2，假设EF⊥平面AFN，因为AF⊂平面AFN，则EF⊥AF，而易得AE＝AF， 即△AEF是等腰三角形，即EF与AF必不垂直，故假设不成立，B项错误； 对于C，如图3，由正方体可得B1C1⊥平面ABB1A1，因为EF⊂平面ABB1A1，则B1C1⊥EF， 又EF∥A1B，A1B⊥AB1，则EF⊥AB1，又B1C1∩AB1＝B1，B1C1，AB1⊂平面AB1C1，则EF⊥平面AB1C1，因为AC1⊂平面AB1C1，故EF⊥AC1； 易得FG∥BD，同上可得BD⊥AC，BD⊥CC1, 又AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1，故得BD⊥平面ACC1，则FG⊥平面ACC1， 因为AC1⊂平面AB1C1，则FG⊥AC1.因为EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，故AC1⊥平面EFG，故C项正确； 对于D，不妨设正方体的棱长为2，如图4，建立空间直角坐标系．则A(2,0,0)，N(1,2,0)，F(2,2,1)，E(2,1,2)，G(0,0,1)， 于是，＝(－1,2,0)，＝(0,2,1)，设平面AFN的法向量为m＝(x，y，z)，则 故可取m＝(2,1，－2)， 又＝(0,1，－1)，＝(－2，－1，－1)， 设平面EFG的法向量为n＝(x′，y′，z′)， 则 故可取n＝(－1,1,1)． 因为m·n＝(2,1，－2)·(－1,1,1)＝－2＋1－2＝－3≠0，故平面AFN与平面EFG不垂直，即D项错误． 8.BC　以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,2,2)，F(2,2,1)． 对于A选项，＝(－2,0,2)，＝(1,0，－1)，则＝－2，故A错误； 对于B选项，＝(－2，－2,0)，＝(－2,2,0)，则·＝4－4＝0，故B正确； 对于C选项，＝(2,2,1)，故||＝＝3，故C正确； 对于D选项，·＝－4＋2≠0，故不是平面ACD1的一个法向量，故D错误． 9．解析　由两点间距离公式得AB＝＝， 由二次函数性质得，当x＝时，AB取得最小值，此时AB＝. 答案　 10．－ 11. 解析　如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则A1(2,0,2)，E(1,2,2)，设P(0，m,0)(0≤m≤2)， 则PA1＝＝， PE＝ ＝， 令m2＋8＝m2－4m＋9， 解得m＝，所以存在点P，使得PA1＝PE， 故①正确； ＝(1,2－m,2)，＝(－1,2,0)，||＝＝，cos 〈，〉＝＝， 设点P到直线A1E距离为d，则d＝||sin 〈，〉＝·＝， 所以S△PA1E＝||·d＝＝， 因为0≤m≤2，动点P沿着棱DC从点D向点C移动， 所以m从0逐渐变到2，随着m的变大，△PA1E的面积越来越小，②错误； 以△A1B1E为底，高为点P到上底面的距离h， 因为DC∥底面A1B1C1D1，所以h不变，所以四面体A1PB1E的体积不变，③正确． 答案　①③ 12．解析　(1)证明　如图，连接B1C，因为AC⊥BC，AC⊥CC1，又BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面BCC1B1， 所以AC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以AC⊥BC1， 又BC＝BB1，BC⊥CC1，所以四边形BCC1B1是正方形，得到BC1⊥B1C， 又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，所以BC1⊥平面AB1C，又AB1⊂平面AB1C， 所以BC1⊥AB1. (2)证明　如图，连接AC1，交A1C于M，连接DM， 易知，M为AC1的中点，又D为AB的中点，所以DM∥BC1， 又DM⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. (3)如图，建立空间直角坐标系，不妨令AC＝BC＝BB1＝1， 则A1(1,0,0)，C(0,0,1)，D， 所以＝(－1,0,1)，＝， 设平面A1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由得到 取x＝1，得到y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1,1)， 又易知平面DBC的一个法向量为m＝(0,0,1)， 设平面A1CD与平面DBC所成角为θ， 则cos θ＝＝＝＝. 13.解析　(1)证明　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B， C，D， A1，B1， C1，D1， 设E，F(μ，μ，1)(0≤λ≤1,0≤μ≤1)， 当E，F为中点时，λ＝μ＝，有E，F， 所以＝，＝，＝，有·＝0，·＝0， 所以DF⊥AC，DF⊥AE，又AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE， 所以DF⊥平面ACE. (2)由(1)可得＝(μ，μ，1)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0，λ)， 若DF⊥平面ACE，则·＝0，·＝0，所以λ＝μ， 设＝m，则＝－＝(mμ－1，mμ，m)， 由AG⊂平面ACE，所以·＝0＝(mμ－1)μ＋mμ2＋m＝0， 当μ≠0时，m＝＝，有0<m≤，当且仅当μ＝时，等号成立， 所以λ＝μ＝，即DE＝， 综上，的最大值为，DE＝. 【真题体验】 1．证明　连接DE，OF，设AF＝tAC，则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋，BF⊥AO， 则·＝[(1－t)＋t]·＝(t－1)2＋t2＝4(t－1)＋4t＝0， 解得t＝，则F为AC的中点，由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点， 于是DE∥AB，DE＝AB，OF∥AB，OF＝AB， 即DE∥OF，DE＝OF，则四边形ODEF为平行四边形， EF∥DO，EF＝DO，又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO， 所以EF∥平面ADO. 2.证明　以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)， ∴＝(0，－2,1)，＝(0，－2,1)， ∴∥， 又B2C2，A2D2不在同一条直线上， ∴B2C2∥A2D2. 学科网（北京）股份有限公司 $$