训练(4) 空间向量及其运算-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(四)　空间向量及其运算 1．空间向量及其运算 概念 内容 定义 在空间，把具有________和________的量叫作空间向量； 空间向量的________叫作空间向量的长度或__________ 线性运算 　　 运算律 交换律：a＋b＝________；结合律：a＋(b＋c)＝________，λ(μa)＝________； 分配律：(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________ 2.空间向量的数量积、基本定理 概念 内容 夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则____________叫作向量a与向量b的夹角，记作________，其范围是________ 运算律 结合律：(λa)·b＝______(λ∈R)；交换律：a·b＝______；分配律：(a＋b)·c＝______ 空间向量 基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝________.把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量 3.空间向量的坐标表示及其应用 (1)空间向量的坐标运算 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 类别 向量表示 坐标表示 数量积 a·b ______________________ 共线 b＝λa(a≠0，λ∈R) ______________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ______________________ 模 |a| ______________________ 夹角余 弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝____________________ (2)空间中两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ①A＝________________； ②dAB＝AB＝________________. 一、选择题 1．已知空间不共线的向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，C B．B，C，D C．A，B，D D．A，C，D 2．已知a＝，b＝，则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A. B. C. D. 3．已知四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，＝λ(λ>0)，N为BC中点，若＝－a＋b＋c，则λ＝(　　) A．3 B．2 C. D. 4．下列命题正确的个数是(　　) ①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0； ②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若a，b共线，则a与b所在直线平行； ④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝，∠BAA1＝∠DAA1＝，则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 6．已知平面α和平面β的夹角为60°，α∩β＝l，已知A，B两点在棱上，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，则CD的长度为(　　) A．2 B．2 C．6 D．2或2 7．(多选)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AB⊥AD，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，P为A1D与AD1的交点，设＝a，＝b，＝c，则(　　) A.＝a＋b－c B.＝－a＋b＋c C.＝ D.·＝ 8．(多选)已知向量a，b，记＝··sin 〈a，b〉，如＝2，＝3，a，b的夹角为30°，则＝··sin 30°＝2×3×＝3，若在正三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝2.则(　　) A.＝2 B.＝ C.＝ D.＝ 二、填空题 9．已知空间向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，m＝a＋b，n＝λa＋b，〈a，b〉＝60°，若m⊥n，则λ的值为____________________________________________________． 10．如图，三棱锥O­ABC中，M是BC的中点，＝2，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量，则＝________. 11．已知球O的半径为1，AB是球O的直径，点D在球O的球面上．若空间中一点C与点D间的距离为，则·的最小值为________． 三、解答题 12．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，∠A1AD＝，∠A1AB＝，∠BAD＝，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，AC与BD相交于点O.　　 (1)求·； (2)求A1O的长． 13．如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°. (1)求证：CD⊥BE； (2)求直线BD与AC所成角的大小． 1．(全国Ⅱ卷)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2．(全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 训练(四)　空间向量及其运算 【知识整合】 1．大小　方向　大小　模　　　b＋a　(a＋b)＋c　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb 2．∠AOB　〈a，b〉　0≤〈a，b〉≤π　λ(a·b)　b·a　a·c＋b·c　xe1＋ye2＋ze3 3．(1)x1x2＋y1y2＋z1z2　x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0　 (2)①(x2－x1，y2－y1，z2－z1) ② 【知能演练】 1．C　2.C　3.D　4.B　5.D　6.D 7．BD　A：＝＋＋＝a＋b＋c，故A错误； B：＝＋＝－＋＝－a＋b＋c，故B正确； C：a·b＝0，b·c＝cos 60°＝，a·c＝cos 60°＝， 又＝＋＝＋＋＝－＋＋＝－－＋＋＝a＋b－c， 所以＝＝ ＝，故C错误； D：·＝·＝a2＋b2－c2＋a·b＋a·c＝，故D正确．故选BD. 8．ABD　 对于A，在正三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝2， |×|＝||·||·sin ∠BAC＝2×2×sin 60°＝2，故A正确； 对于B，在正三棱台ABC­A1B1C1中，易知∠A1AC＝60°， 所以A1C＝，sin ∠CA1C1＝sin 30°＝， 所以＝··sin ∠CA1C1＝1××＝，故B正确； 对于C，同理可知A1B＝，sin ∠ABA1＝， 所以＝··sin ∠ABA1＝2××＝，故C错误； 对于D，易知△BA1C1是腰长为，底边长为1的等腰三角形， 则cos ∠A1BC1＝＝，故sin ∠A1BC1＝＝， 所以＝××＝，故D正确． 故选ABD. 9．解析　由题知，因为m⊥n，所以m·n＝0， 即·＝λ2＋2＋a·b ＝λ＋4＋2cos 60°＝2λ＋5＝0， 所以λ＝－. 答案　－ 10．解析　＝－＝－＝－＝－a＋b＋c. 答案　－a＋b＋c 11．3－2 12．解析　(1)·＝··cos 〈，〉＝6×4×cos ＝12. (2)因为＝－＝－＝－＝＋－， 所以＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝， 所以A1O的长为. 13．解析　(1)证明　∵BD是底面圆的直径，∴∠BCD＝90°，∴CD⊥BC； 由圆柱可得：母线AB⊥底面BCD，CD⊂底面BCD， ∴AB⊥CD； 又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC， 又BE⊂平面ABC，∴CD⊥BE. (2)∵＝＋，＝＋， ∴·＝·＝·＋2＋·＋·， 由(1)知母线AB⊥底面BCD，∴·＝0，·＝0， 又CD⊥BC，∴·＝0， ∴·＝4，由题知AC＝＝2，BD＝＝2， 设直线BD与AC所成角为α，则 cos α＝＝＝＝， 而α∈，所以α＝60°，故直线BD与AC所成角的大小为60°. 【真题体验】 1．C　 以A1为原点建立空间直角坐标系(如图)，则A(0,0，)，D1(0,1,0)，D(0,1，)，B1(1,0,0)，所以＝(0,1，－)，＝(1，－1，－)， 所以cos〈，〉＝＝＝.故选C. 2．C　由于a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a， 故(a＋b)·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7. 又|a|＝＝，所以cos 〈a，c〉＝＝－，所以〈a，c〉＝120°. 学科网（北京）股份有限公司 $$