训练(2) 导数的运算-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(二) 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝________ f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax(x＞0，a＞0且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x(x＞0) f′(x)＝________ 2.导数的运算法则 (1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)． (2)(Cf(x))′＝Cf′(x)(C为常数)． (3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (4)′＝________________________. 3．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为____________． 一、选择题 1．下列求导正确的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．(e2x)′＝e2x C．(ln 2)′＝0 D．(x2－2)′＝2x－2 2．已知函数f(x)＝f′(1)·x2－ln x，则f′(1)＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．已知函数f(x)＝ex－，则 ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．曲线y＝ex＋x＋1上的点到直线y＝2x距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 5．若函数f(x)＝sin x－cos x，则函数f(x)在x＝处的切线方程为(　　) A．y＝2－1 B．y＝＋1 C．y＝－2＋1 D．y＝－－1 6．已知函数f(x)＝xsin x在点(xi，f(xi))处的切线均经过坐标原点，其中0<xi<5π，(i＝1,2,3，4,5)，则(xi)＝(　　) A．5π B. C. D．15π 7．(多选)下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是(　　) A．若f(x)＝ln 3，则f′(x)＝ B．若f(x)＝tan x，则f′(x)＝1＋tan2x C．f(x)＝2x在x＝1处的切线斜率是ln 4 D．f(x)＝x3＋1过点的切线方程是12x－y－19＝0 8．(多选)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 二、填空题 9．若直线y＝kx＋b是曲线f(x)＝ln x＋2的切线，也是曲线g(x)＝ln (x＋1)的切线，则k－b＝________________________________________________________________________. 10．如图，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边交单位圆于P点，则当α∈时，P点纵坐标读数的平均变化率为________，其在α＝0处的瞬时变化率为________． 11．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数y＝f(x)满足如下条件： (1)在闭区间[a，b]上是连续不断的； (2)在区间(a，b)上都有导数． 则在区间(a，b)上至少存在一个实数t，使得f(b)－f(a)＝f′(t)(b－a)，其中t称为“拉格朗日中值”．函数g(x)＝ex在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t＝____________. 三、解答题 12．已知曲线f(x)＝x3＋1，设P点坐标为P(1,2)， (1)求曲线在点P处的切线方程； (2)求曲线过点P的切线方程； (3)若曲线在点R处的切线与曲线y＝－x2＋1相切，求R点的坐标． 13．已知函数f(x)＝x3＋x. (1)若第一象限内的点P在曲线y＝f(x)上，求P到直线l：4x－y－4＝0的距离的最小值； (2)求曲线y＝f(x)过点(0，－16)的切线方程． 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 2．(2023·全国乙卷)设a∈，若函数f＝ax＋x在上单调递增，则a的取值范围是________． 答案 训练(二)　导数的运算 【知识整合】 1．0　αxα－1　cos x　－sin x　axln a　ex　　 2．(4)(g(x)≠0) 3．y′x＝y′u·u′x 【知能演练】 1．C　2.A　3.B　4.C　5.B　6.B 7．BC　A选项，f′(x)＝0，A错误；B选项，f(x)＝tan x＝，f′(x)＝＝1＋tan2x，B正确；C选项，f′(x)＝2xln 2，故f′(1)＝2ln 2＝ln 4，所以f(x)＝2x在x＝1处的切线斜率是ln 4，C正确；D选项，因为f(2)＝23＋1＝9，故(2,5)不在f(x)＝x3＋1上，f′(x)＝3x2，设切点为(x0，x＋1)，故f′(x0)＝3x，故f(x)＝x3＋1过点(2,5)的切线方程是y－x－1＝3x(x－x0)，将(2,5)代入切线方程中，5－x－1＝3x(2－x0)，即x－3x＋2＝0，变形得到x－1－3(x－1)＝0， 即(x0－1)(x－2x0－2)＝0，解得x0＝1或x0＝1±，故切线方程的斜率为3或12±6，故切线方程不为12x－y－19＝0，D错误． 8．ABC　对于A，由f(x)＝sin x＋cos x，得f′(x)＝cos x－sin x，则f″(x)＝－sin x－cos x＝－(sin x＋cos x)，因为x∈，所以sin x>0，cos x>0，f″(x)＝－(sin x＋cos x)<0，所以此函数是凸函数； 对于B，由f(x)＝ln x－2x，得f′(x)＝－2，则f″(x)＝－，因为x∈，所以f″(x)＝－<0，所以此函数是凸函数； 对于C，由f(x)＝－x3＋2x－1，得f′(x)＝－3x2＋2，则f″(x)＝－6x，因为x∈，所以f″(x)＝－6x<0，所以此函数是凸函数； 对于D，由f(x)＝－xe－x，得f′(x)＝－e－x＋xe－x，则f″(x)＝e－x＋e－x－xe－x＝(2－x)e－x，因为x∈，所以f″(x)＝(2－x)e－x>0，所以此函数不是凸函数，故选ABC. 9．解析　直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线， 则两个切点都在直线y＝kx＋b上，设两个切点分别为(x1，kx1＋b)，(x2，kx2＋b)， 又f′(x)＝，g′(x)＝， 则f′(x1)＝，g′(x2)＝， 由导数的几何意义可知k＝＝，则x1＝x2＋1， 且切点在各自曲线上，所以 则将x1＝x2＋1代入①， 可得k(x2＋1)＋b＝ln ＋2，③ ③－②可得k＝2， 由k＝＝可得 代入①中可知1＋b＝ln ＋2， 所以b＝1＋ln ＝1－ln 2，所以k－b＝1＋ln 2. 答案　1＋ln 2 10．解析　(1)因为sin ＝－，sin ＝， 故当α∈时， P点纵坐标读数的平均变化率为＝. (2)易得P的纵坐标与α的关系为y＝sin α，则y′＝cos α， 故P点纵坐标读数在α＝0处的瞬时变化率为y′|α＝0＝cos 0＝1. 答案　　1 11．解析　由拉格朗日中值定理可得f(b)－f(a)＝f′(t)(b－a)，即有f′(t)＝，由g(x)＝ex，g′(x)＝ex， 可得et＝＝＝e－1， 解得t＝ln(e－1)． 答案　ln(e－1) 12．解析　(1)由f(x)＝x3＋1，可得f′(x)＝3x2， 所以f′(1)＝3， 则曲线在点P(1,2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)， 即y＝3x－1； (2)设切点为(x0，x＋1)，则f′(x0)＝3x， 所以切线方程为y－(x＋1)＝3x(x－x0)， 即y＝3xx－2x＋1， 又切线过点P(1,2)，所以2＝3x－2x＋1， 即2x－3x＋1＝0， 即2x－2x＋1－x＝0， 即2x(x0－1)＋(1－x0)(1＋x0)＝0， 即(x0－1)(2x－1－x0)＝0， 即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－， 则切线方程为y＝3x－1或y＝x＋， 所以过点P(1,2)的切线方程为y＝3x－1或y＝x＋. (3)设R(x1，y1)，则y1＝x＋1，f′(x1)＝3x， 所以曲线在点R处的切线为y＝3xx－2x＋1， 又曲线在点R处的切线与曲线y＝－x2＋1相切， 由可得x2＋3xx－2x＝0， 则Δ＝9x＋8x＝0，解得x1＝0或x1＝－， 则y1＝1或y1＝3＋1＝， 所以R(0,1)或R. 13．解析　(1)设P(x0，x＋x0)， 由题意得f′(x)＝3x2＋1， 当曲线y＝f(x)在点P的切线与l平行时，P到l的距离最小， 此时f′(x0)＝3x＋1＝4， 得3x＝3，即x0＝1，则P(1,2)， 故P到l的距离的最小值为＝. (2)设所求切线的切点为(x1，x＋x1)， 由(1)得f′(x1)＝3x＋1，则3x＋1＝， 解得x1＝2，所以切点为(2,10)， 切线的斜率为3×22＋1＝13. 故所求的切线方程为y－10＝13(x－2)， 即y＝13x－16. 【真题体验】 1．C　f′(x)＝aex－≥0对∀x∈(1,2)恒成立， ∴a≥，g(x)＝在(1,2)单调递减， ∴g(x)＜g(1)＝，∴a≥，故选C. 2．解析　由函数的解析式可得f′＝axln a＋x·ln≥0在区间上恒成立， 则xln≥－axln a，即x≥－在区间上恒成立， 故0＝1≥－，而a＋1∈，故ln>0，故 即故≤a<1，结合题意可得实数a的取值范围是.故答案为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$