高效作业（十九）导数的概念及其运算-【优化探究】2022高二数学暑假高效作业（新教材版 北师大版）

由题意可得 M≥３４ ,又 M∈N∗ ,所以 M 的最小值为１． 若选②,f(x)＝sinπx－２ ３cos２ π２x＋ ３ ＝sinπx－ ３cosπx＝２sin πx－π３( ) , 令f(x)＝０,可得πx－π３＝kπ ,k∈Z, 解得x＝k＋１３ ,k∈Z, 即xn＝n－１＋ １ ３＝n－ ２ ３ ,an＝xn＋ ８ ３＝n＋２ , 同上①,则 M 的最小值为１． 若选③,则由a２n－an－a２n－１－an－１＝０得(an－an－１－１)(an ＋an－１)＝０,又an＞０,所以an－an－１－１＝０,即an－an－１＝ １,所以数列{an}是公差为１的等差数列,又a１＝b２,则a１＝ ３,所以an＝n＋２． 同上①,则 M 的最小值为１． 高效作业(十九) 知识乐园 １．(２)f′(x０)(x－x０)　２．n􀅰xn－１　cosx　－sinx　axlna　ex ３．(１)f′(x)±g′(x)　(２)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (３)f′ (x)g(x)－f(x)g′(x) [g(x)]２ (g(x)≠０) 演练天地 １．B　f′(x)＝２０１８＋lnx＋x×１x＝２０１９＋lnx ,故由f′(x０) ＝２０１９,得２０１９＋lnx０＝２０１９,则lnx０＝０,解得x０＝１． ２．C　因为y＝x３＋１１,所以y′＝３x２,所以y′|x＝１＝３,所以曲线 y＝x３＋１１在点P(１,１２)处的切线方程为y－１２＝３(x－１)． 令x＝０,得y＝９． ３．C　因为f′(x)＝f′(１)􀅰２xln２＋２x,所以f′(１)＝f′(１)􀅰２ln２＋ ２,解得f′(１)＝ ２１－２ln２ ,所以f′(x)＝ ２１－２ln２ 􀅰２xln２＋２x,所 以f′(２)＝ ２１－２ln２×２ ２ln２＋２×２＝ ４１－２ln２． ４．D　因为f′(x)＝３x２＋２ax,所以f′(x０)＝３x２０＋２ax０＝－１． 又因为切点P 的坐标为(x０,－x０),所以x３０＋ax２０＝－x０．联 立两式得 ３x２０＋２ax０＝－１, x３０＋ax２０＝－x０,{ 解得 a＝２, x０＝－１{ 或 a＝－２, x０＝１．{ 所以 点P 的坐标为(－１,１)或(１,－１)． ５．D　由f(x)＝－ex－x,得f′(x)＝－ex－１, ∵ex＋１＞１,∴ １ ex＋１ ∈(０,１)．由g(x)＝３ax＋２cosx,得 g′(x)＝３a－２sinx,又－２sinx∈[－２,２],∴３a－２sinx∈ [－２＋３a,２＋３a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x 上任意一点 的切线l１,总存在过曲线g(x)＝３ax＋２cosx上某点处的切 线l２,使得l１⊥l２,则 －２＋３a≤０, ２＋３a≥１,{ 解得－１３≤a≤ ２ ３． ６．AC　若f(x)＝x２,则f′(x)＝２x,令x２＝２x,得x＝０或x＝ ２,方程显然有解,故 A符合要求;若f(x)＝e－x;则f′(x)＝ －e－x,令e－x＝－e－x,此方程无解,故B不符合要求;若f(x) ＝lnx,则f′(x)＝１x ,令lnx＝１x ,在同一直角坐标系内作 出函数y＝lnx与y＝１x 的图象(图略),可得两函数的图象 有一个交点,所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解,故 C符合 要求;若f(x)＝tanx,则f′(x)＝ sinxcosx( )′＝ １ cos２x ,令tanx ＝ １ cos２x ,化简得sinxcosx＝１,变形可得sin２x＝２,无解,故 D不符合要求． ７．解析:f′(x)＝４ax３＋２bx,∵f′(x)为奇函数且f′(１)＝２, ∴f′(－１)＝－２． 答案:－２ ８．解析:因为y＝alnx＋x２(a＞０),所以y′＝ax ＋２x≥２ ２a , 因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是 π ３ ,π ２[ ) ,所以斜率 k≥ ３,因此 ３＝２ ２a,所以a＝３８． 答案:３ ８ ９．解析:∵函数f(x)为奇函数,当x＜０时,f(x)＝e－x＋１x , ∴令x＞０,则－x＜０,∴f(－x)＝ex－１x＝－f (x), ∴f(x)＝－ex＋１x ,x＞０．∴f′(x)＝－ex－１x２ ,x＞０, ∴f′(１)＝－e－１,f(１)＝－e＋１, ∴f(１)＋f′(１)＝－e－１－e＋１＝－２e． 答案:－ex＋１x　－２e １０．解析:由题图可知曲线y＝f(x)在x＝３处的切线斜率等于 －１３ ,即f′(３)＝－ １３． 又g(x)＝xf(x),所 以g′(x)＝ f(x)＋xf′(x),g′(３)＝f(３)＋３f′(３),由题图可知f(３)＝ １,所以g(３)＝３f(３)＝３,g′(３)＝１＋３× －１３( ) ＝０,则曲 线g(x)在x＝３处的切线方程为y－３＝０．