训练(1) 导数的概念-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(一)　导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝________________无限趋近于一个________，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0) 记法 当Δx→0时，________________________→________ 几何 意义 是曲线y＝f(x)在点________处的________，相应的切线方程为________________________________________________________________________ 2.函数f(x)的导函数：若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)． 在不引起混淆时，导函数f′(x)＝________________也简称为f(x)的导数． 一、选择题 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且 ＝2，则f′(3)＝(　　) A．2 B．1 C．8 D．4 2．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A．0<f′(1)<f′(3)< B．0<f′(3)<<f′(1) C．0<f′(3)<f′(1)< D．0<f′(1)<<f′(3) 3．已知函数f(x)的图象与直线4x－y－4＝0相切于点，则f(2)＋f′(2)＝(　　) A．4 B．8 C．0 D．－8 4．如图，圆C与直角三角形AOB的两直角边相切，射线OP绕点O由OA逆时针匀速旋转到OB的过程中，所扫过的圆内阴影部分面积S关于时间t的函数的大致图象为(　　) 5．曲线f(x)＝(x＋1)ex在x＝0处的切线方程为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x＋2 C．y＝2x＋2 D．y＝2x＋1 6．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln 1.01，我们先求得y＝ln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1，再把x＝1.01代入切线方程，即得ln 1.01≈0.01，类比上述方式，则≈(　　) A．1.000 5 B．1.000 1 C．1.005 D．1.001 7.(多选)小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为V(t)，区间[0，t1]，[0，t2]，[t1，t2]上的平均速度分别为V1，V2，V3，则下列判断正确的有(　　) A．V1<V2<V3 B.>V2 C．对于Vi(i＝1,2,3)，存在mi∈(0，t2)，使得V(mi)＝Vi D．整个过程小明行走的速度一直在加快 8．(多选)为了评估某药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度c随时间t的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示．则下列结论正确的是(　　) A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在[t1，t2]和[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 二、填空题 9．曲线y＝－x2在点(－2，－4)处的切线方程为_______________． 10．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，方程为y＝－x＋4，则f′(2)＝________. 11．已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：① ＝1；② (1＋x)＝e，则依据两个公式，类比求 ＝________； (1＋sin 2x)＝ ________. 三、解答题 12．如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为y＝f(t)＝t3＋3. (1)当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和； (2)求函数y＝f(t)在t1＝4处的导数． 13．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))． (1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围； (2)求f′(2)及f(x)在点A处的切线方程． 1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 2．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案 训练(一)　导数的概念 【知识整合】 1.　常数A　　A　(x0，f(x0))　切线的斜率　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 2．li 【知能演练】 1．D　2.B　3.B　4.D　5.D　6.A 7．ABC　由题意可知：V1＝＝，V2＝＝， V3＝＝， 由图象可知t1<t2且2t1>t2，因此V1＝<V2＝， 而t2－2(t2－t1)＝2t1－t2>0，所以t2>2(t2－t1)， 因此V2＝<V3＝，此时V1<V2<V3，所以选项A正确； 由V1＋V3－2V2＝S0， 可得－＝＝>0， 故>V2成立，选项B正确； 选项C，设A，B(t2，S0)，分别作出直线OA，OB，AB；V1＝＝kOA，V2＝＝kOB，V3＝＝kAB， 瞬时速度V(t)的几何意义就是t时刻曲线的切线的斜率； 由图象可知，存在mi∈(0，t2)，曲线在点mi处的切线斜率与kOA，kOB，kAB相等， 即存在mi∈(0，t2)， 使得V(mi)＝Vi， 故选项C正确； 选项D，t时刻的瞬时速度为V(t)，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率， 由图象可知，当t＝t1时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此，选项D不正确． 8．AC　选项A，在t1时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；选项B，在t2时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的f′(t2)不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在[t2，t3]内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；选项D，在[t1，t2]和[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即选项D不正确． 9．解析　y＝－x2，故可得y′ ＝－2x，又点(－2，－4)在曲线y＝－x2上，y′|x＝－2 ＝4， 故曲线y＝－x2在点(－2，－4)处的切线方程为y＋4＝4(x＋2)，即4x－y＋4＝0. 答案　4x－y＋4＝0 10．解析　因为在点P(2，y)处的切线y＝－x＋4的斜率为－1，所以f′(2)＝－1. 答案　－1 11．解析　由极限的定义知：① ＝1；② (1＋x)＝e， 因为＝，t＝sin 2x，可得＝， 则 ＝ ＝1； 又因为(1＋sin 2x)＝(1＋sin 2x)， 令t＝sin 2x，可得(1＋sin 2x)＝(1＋t)， 故 (1＋sin 2x)＝ (1＋t)＝ 2＝e2. 答案　1　e2 12．解析　(1)Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3， 故当t1＝4，Δt＝0.01时， Δy＝0.481 201，＝48.120 1. (2)由(1)得 ＝[3t＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t＝48，故函数y＝f(t)＝t3＋3在t1＝4处的导数是48. 13．解析　(1)由题意得，割线AB的斜率 k＝ ＝＝－3－Δx， 由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2，又Δx≠0， 所以Δx的取值范围是[－2,0)∪(0，＋∞)． (2)由(1)知函数f(x)＝－x2＋x在x＝2时的导数为f′(2)＝－3， 又f(2)＝－22＋2＝－2， 由导数的几何意义可得函数f(x)在点A处的切线斜率为－3，所以函数f(x)在点A处的切线的方程为y－(－2)＝－3(x－2)，即3x＋y－4＝0. 【真题体验】 1．C　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝， 所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. 2．解析　易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a)ex0)，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1)ex0. 得切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋a＋1)ex0(x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a)ex0＝－x0(x0＋a＋1)ex0，化简得x＋ax0－a＝0(※)，又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a>0， 得a<－4，或a>0. 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$