第一章 直线与圆（知识归纳与题型突破，4考点8题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与圆（题型清单） 01 考点归纳 考点一、直线的方程 考点二、两条直线的位置关系 考点三、圆的方程 考点四、直线与圆、圆与圆的位置关系 02 知识速记 1、 直线的方程 1．直线的倾斜角 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率 (1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90˚时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(u，v)，则k＝． 3．直线方程的五种形式 名称 几何要素 方程形式 适用范围 点斜式 点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直 斜截式 斜率k， 纵截距b y＝kx＋b 两点式 点(x1，y1)， 点(x2，y2)， x1≠x2， y1≠y2 ＝ 与坐标轴不垂直 截距式 纵、横截距， a≠0，b≠0 ＋＝1 不过原点且不垂直于坐标轴 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A≠0或B≠0) 所有直线 常用结论 1．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． 2．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 2、 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 　(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2．两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ ． (2)点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两平行直线间的距离公式 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 3、 圆的方程 1．圆的定义与方程 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)． 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 4、 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2．圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，则圆心距d＝|C1C2|＝． 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置 关系 圆心距与半径的关系 图示 公切线 条数 外离 d>r1＋r2 4 内含 d<|r1－r2| 0 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 2 内切 d＝|r1－r2| 1 外切 d＝r1＋r2 3 03 题型归纳 题型一　直线的方程 例题：1-1．过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 1-2．过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1-1．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 1-2．过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 1-3．已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型二　直线方程的综合应用 例题：2-1．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 2-2．直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 2-1．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 2-2．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2-3．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 题型三　两条直线的平行与垂直 例题：3-1．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3-2．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 巩固训练 3-1．已知直线：，：，若，则m的值为（    ） A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3 3-2．若直线与互相垂直，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3-3．若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（  ） A． B． C． D． 题型四　两条直线的综合应用 例题：4-1．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4-2．已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 4-1．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4-2．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4-3．已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 题型五　圆的方程 例题：5-1．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5-2．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 巩固训练 5-1．圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 5-2．经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 5-3．过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型六　轨迹方程和最值问题 例题：6-1．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6-2．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 6-1．若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6-2．已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 6-3．已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七　圆的切线、弦长 例题：7-1．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 7-2．若直线与圆只有一个公共点，则（    ） A． B．1 C．0 D．2 巩固训练 7-1．若直线与圆交于点A，B，则（    ） A． B． C． D． 7-2．已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 7-3．已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型八　直线与圆、圆与圆的位置关系综合 例题：8-1．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 8-2．已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 巩固训练 8-1．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8-2．已知圆，直线，点P为上一动点．过点P作圆M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8-3．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与圆（题型清单） 01 考点归纳 考点一、直线的方程 考点二、两条直线的位置关系 考点三、圆的方程 考点四、直线与圆、圆与圆的位置关系 02 知识速记 1、 直线的方程 1．直线的倾斜角 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率 (1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90˚时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(u，v)，则k＝． 3．直线方程的五种形式 名称 几何要素 方程形式 适用范围 点斜式 点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直 斜截式 斜率k， 纵截距b y＝kx＋b 两点式 点(x1，y1)， 点(x2，y2)， x1≠x2， y1≠y2 ＝ 与坐标轴不垂直 截距式 纵、横截距， a≠0，b≠0 ＋＝1 不过原点且不垂直于坐标轴 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A≠0或B≠0) 所有直线 常用结论 1．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． 2．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 2、 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 　(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2．两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ ． (2)点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两平行直线间的距离公式 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 3、 圆的方程 1．圆的定义与方程 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)． 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 4、 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2．圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，则圆心距d＝|C1C2|＝． 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置 关系 圆心距与半径的关系 图示 公切线 条数 外离 d>r1＋r2 4 内含 d<|r1－r2| 0 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 2 内切 d＝|r1－r2| 1 外切 d＝r1＋r2 3 03 题型归纳 题型一　直线的方程 例题：1-1．过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，化简得. 故选：C. 1-2．过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 巩固训练 1-1．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由斜截式方程求解即可. 【详解】由直线的倾斜角可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的一般方程为：. 故选：D. 1-2．过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项. 【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴， 所以直线方程为， 故选：A. 1-3．已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 由直线，可得斜率为，即，可得， 根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点，可得直线的方程为，即. 故选：D 题型二　直线方程的综合应用 例题：2-1．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 2-2．直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线l：的倾斜角为，可得，从而利用两角和的正切公式求出直线的斜率，由直线的点斜式方程，即可得答案. 【详解】设直线l：的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：C 巩固训练 2-1．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【详解】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 2-2．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直线所过定点及直线与坐标轴的交点，结合图象可确定满足题意的临界状态，结合直线斜率和倾斜角关系可求得结果. 【详解】由题意知：直线恒过定点； 直线与轴分别交于点，； 在平面直角坐标系中作出直线如下图所示， 结合图象可知：若直线与直线交点位于第二象限，则临界状态为如图所示的位置，其中过点，与直线平行； ，，倾斜角为，倾斜角为， 直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 2-3．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 题型三　两条直线的平行与垂直 例题：3-1．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数. 【详解】设与直线平行的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是． 故选:A 3-2．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 巩固训练 3-1．已知直线：，：，若，则m的值为（    ） A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出或1，检验后得到答案. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，直线：，：，两直线平行，满足要求. 当时，直线：，：，两直线重合，舍去， 故选：B 3-2．若直线与互相垂直，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由两直线互相垂直的条件，列方程求的值. 【详解】若直线与互相垂直， 则有，解得. 故选：A 3-3．若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用斜率公式表示出；再根据两直线垂直列出关系式求解即可. 【详解】由题意得，直线l的斜率必存在，且. 因为直线l与斜率为的直线垂直 所以，解得. 故选：A. 题型四　两条直线的综合应用 例题：4-1．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为． 故选：D． 4-2．已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行列式计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，且. 故选：B. 巩固训练 4-1．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值. 【详解】因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 4-2．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据给定条件，求出直线的斜率及所过的点，再利用直线的点斜式方程求出方程. 【详解】依题意，直线的斜率，则直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程是，即. 故选：B 4-3．已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 题型五　圆的方程 例题：5-1．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程. 【详解】由题意可得方程为. 故选：C. 5-2．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 巩固训练 5-1．圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可. 【详解】由，所以圆心和半径分别为. 故选：D 5-2．经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解. 【详解】由题意得，圆的半径， 所以圆的标准方程为， 所以圆的一般方程为． 故选：A. 5-3．过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 题型六　轨迹方程和最值问题 例题：6-1．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案. 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：C. 6-2．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果. 【详解】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 巩固训练 6-1．若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【详解】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 6-2．已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相关点法求得点的轨迹方程，进而求得面积. 【详解】设线段的中点，， 则，即， 又因为端点在圆上运动，所以， 即， 整理得：， 所以点的轨迹方程是以圆心为，半径为的圆. 所以该圆的面积为. 故选：C. 6-3．已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解. 【详解】的圆心为，半径为， 由题意得，故在圆外， 所以的最大值为． 故选：D 题型七　圆的切线、弦长 例题：7-1．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】先求出圆心和半径，利用弦长与半径的关系可得答案. 【详解】圆化为标准方程为：,圆心为，； 圆心到直线的距离为，所以弦长为. 故选：B. 7-2．若直线与圆只有一个公共点，则（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】 根据给定条件，可得直线与圆相切，再借助点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，直线与圆相切，而圆的圆心，半径为1， 因此，解得， 所以. 故选：C 巩固训练 7-1．若直线与圆交于点A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线被圆截得的弦长公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以， 故选：B. 7-2．已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。 【详解】将l的方程转化为， 令解得，即过定点， 当时，圆心到直线的距离最大值为， 此时取得最小值,根据勾股定理：. 故选：A 7-3．已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 题型八　直线与圆、圆与圆的位置关系综合 例题：8-1．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 8-2．已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据点关于直线对称确定Q在圆上．联立，求出Q点坐标，根据对称知识，即可求得答案. 【详解】由题可知，直线l经过坐标原点O，所以， 则Q在圆上． 联立方程组，两式相减得， 代入得，则， 即，则， 而关于直线对称， 则， 故选：A 巩固训练 8-1．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可． 【详解】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即,故C正确． 故选：C． 8-2．已知圆，直线，点P为上一动点．过点P作圆M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用是表示四边形的面积，从而转化为三角形的面积的2倍，又转化到求的最小值，最后转移到只需要求的最小值，这样就容易找到点的位置为的垂足，然后再利用两圆相交弦方程去求解即可. 【详解】根据圆与切线的性质可知，而四边形的面积等于， 所以要使得取最小值，即满足四边形的面积取到最小值， 又因为四边形的面积等于三角形的面积的2倍， 所以只需要满足三角形的面积取到最小值即可， 又因为，而圆，可知， 所以，即求的最小值， 又因为，所以只需要求的最小值， 由于点P为上一动点，点为定点，所以的最小值为点P到直线的距离， 此时，设垂足为，则由与垂线联立得：，即可得此时， 由可知两点在以为直径的圆上， 且以为直径的圆的方程为：， 所以直线方程为两圆的相交弦方程， 即由与为直径的圆的方程为：相减得： ， 故选：A. 8-3．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系求解即可. 【详解】因为的圆心为， 圆的圆心为， 因为直线为圆的切线，所以，， 又因为，所以， 可得，又， 所以，且平分， 所以， 则， 则最小值即的最小值， 即圆心到的距离， 所以， 所以的最小值为， 故选：B.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$