精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023～2024学年度第二学期期末考试 初二数学 2024．06 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两卷，满分100分，考试时间120分钟．所有答案都写在答题卷上． 第Ⅰ卷（选择题，共16分） 一、单选题（每题2分，共16分） 1. 下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中,属于随机事件的是（ ） A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 矩形的两条对角线相等 D. 菱形的每一条对角线平分一组对角 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=6，则CD的长为(　　) A. 14 B. 17 C. 8 D. 12 8. 某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论： ①函数的图象与轴有交点； ②函数的图象与轴没有交点： ③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 要使有意义，则x的取值范围是______． 10. 已知点在反比例函数，的图象上，则的大小关系是_____ 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 12. 如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为________． 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 14. 如图，点A、D分别在函数、的图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为______． 15. 将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形，点A、C、D的对应点分别为、、．如图，当过点C时，若，，则的长为______． 16. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“错题整理习惯”进行问卷调查．他们设计的问题：“你对自己做错的题目进行整理纠错吗？”，答案选项为：：很少，：有时，：常常，：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次参与调查的共有______名学生； （2）求出“很少”所占的百分比______； （3）若该校有名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理纠错的学生共有多少名？ 21. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值． 22. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点，点D为上一格点，点E为上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画的中位线，使点F在边上． （2）在图②中画以为对角线的． （3）在图③中作射线，在其上找到一点H，使． 23. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 24. 随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求，的值，并直接写出不等式的解集； （2）点C是线段AB上一点，过C作y轴的平行线交反比例函数在第四象限的图象于点D，若△COD的面积为5，求点C的坐标． 26. 如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标和反比例函数的表达式； （2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 27. 如图1，点O为矩形的对称中心， ，点E为边上一点（），连结并延长，交于点F．四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点G． （1）求证：． （2）当时，求的长． （3）令． ①求证：． ②如图2，连结，分别交于点H，K．记四边形的面积为，的面积为，当时，则b的值为 ，的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期末考试 初二数学 2024．06 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两卷，满分100分，考试时间120分钟．所有答案都写在答题卷上． 第Ⅰ卷（选择题，共16分） 一、单选题（每题2分，共16分） 1. 下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念进行判断即可； 【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，正确掌握知识点是解题的关键； 2. 下列事件中,属于随机事件的是（ ） A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 矩形的两条对角线相等 D. 菱形的每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的性质结合随机事件与必然事件的概念逐一进行分析判断即可. 【详解】A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是必然事件，故不符合题意； B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，是随机事件，故符合题意； C. 矩形的两条对角线相等，正确，是必然事件，故不符合题意； D. 菱形的每一条对角线平分一组对角，正确，是必然事件，故不符合题意， 故选B. 【点睛】本题考查了随机事件与必然事件，涉及了平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的性质等，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，进行化简，则不能化简的选项中式子即为所求． 【详解】=2，故选项A错误， =4 ，故选项B错误， =，故选项C错误， ，是最简二次根式，故选项D正确， 故选D 【点睛】此题考查最简二次根式，难度不大 4. 下列式子从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据比例的基本性质，可知A、B、C不正确，D是分子分母同除以a，故正确. 故选：D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 6. 若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程即的两根， ，， ∴异号， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B．由图象得：，，符合题意； D ．由图象得：，， ，结论错误，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=6，则CD的长为(　　) A. 14 B. 17 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】∵DE：EA=3：4，∴DE:AD=3：7. ∵EF∥AB, ∴EF:AB=DE:AD=3：7，∴AB=6×7÷3=14. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=14. 故选A. 8. 某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论： ①函数的图象与轴有交点； ②函数的图象与轴没有交点： ③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识点；①先求出函数的解析式，再与直线联立，看方程组是否有解即可得；②根据解析式可得，即可判断②；③根据点在函数的图象上可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】由题意得：， 联立， 整理得：， 此方程根的判别式为，方程有实数根， 函数的图象与轴有交点，结论①正确； ∵，， ∴函数的图象与轴没有交点，结论②正确； 点在函数的图象上， ， ， 点也在函数的图象上，则结论③正确； 综上，结论正确的是①②③， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 要使有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，由此得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记条件列得不等式求解是解题的关键． 10. 已知点在反比例函数，的图象上，则的大小关系是_____ 【答案】y1＞y3＞y2 【解析】 【分析】先根据反比例函数的系数-（k2+1）＜0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据-1＜2＜，判断出y1、y2、y3的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，k=-（k2+1）＜0， ∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵-1＜0＜2＜， ∴y1＞0＞y3＞y2， 故答案为：y1＞y3＞y2． 【点睛】本题考查了由反比例函数的图象和性质确定y2，y1，y3的关系．注意是在每个象限内，y随x的增大而增大．不能直接根据x的大小关系确定． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同分母分式的加减运算法则先计算，由结果等于0得到分子，再根据增根的定义得到，代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴最简公分母， 解得，， ∴， 解得， ． 12. 如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线与平分线的定义得出，即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ． ． 故答案为：． 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求出与的值，再整体代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ 故答案为：3． 14. 如图，点A、D分别在函数、的图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点B（b，0），点C（a，0）利用反比例函数图象上点的坐标特征表示AB、BC、CD，再根据正方形的性质求出b的值即可． 【详解】解：设点B（b，0），点C（a，0）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴点A（b，），即OB＝−b，AB＝， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴点D（a，），即OC＝a，CD＝， 又∵ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD， 即＝a−b＝， 解得a＝，b＝， ∴点A， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点B，点C坐标，分别表示出正方形的边长是解决问题的关键． 15. 将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形，点A、C、D的对应点分别为、、．如图，当过点C时，若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质．连接，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，， 由勾股定理得，， ， 由勾股定理得，， ，，， ， ，即， 解得，． 故答案为：． 16. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接，    四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零次幂，二次根式的化简，二次根式的加减运算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查零次幂，二次根式的化简，二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 18. 解方程： 【答案】，. 【解析】 【分析】用因式分解法解一元二次方程. 【详解】解： ∴， 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的技巧是本题的解题关键. 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据分式的乘除法则进行化简，再代入已知值即可. 【详解】解：原式= = ． 当时，原式=-1-2=-3. 20. 某中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“错题整理习惯”进行问卷调查．他们设计的问题：“你对自己做错的题目进行整理纠错吗？”，答案选项为：：很少，：有时，：常常，：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次参与调查的共有______名学生； （2）求出“很少”所占的百分比______； （3）若该校有名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理纠错的学生共有多少名？ 【答案】（1） （2） （3）名 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由题意可知“有时”的人数和百分比，用“有时”的人数除以“有时”所占百分比即可得出总人数； （2）“很少”所占的百分比等于“很少”的人数除以调查的总人数； （3）用该校学生的人数乘以“总是”对错题进行整理纠错的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次参与调查的学生有：（名）， 故答案为：； 【小问2详解】 “很少”所占的百分比， 故答案为：； 【小问3详解】 该校“总是”对错题进行整理纠错的学生共有：（名）． 21. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值． 【答案】（1） 证明：， 方程有两个不相等的实数根； （2）12或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，勾股定理，公式法解一元二次方程． （1）先计算出，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为，，然后分类讨论，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：一元二次方程的解为，即，， ， 不可能是斜边长度， 当是斜边长度时，，解得， 当5是斜边长度时，， 解得或（舍弃负数值）， 综合上述，的值为12或3． 22. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点，点D为上一格点，点E为上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画的中位线，使点F在边上． （2）在图②中画以为对角线的． （3）在图③中作射线，在其上找到一点H，使． 【答案】（1） 如下图所示； （2） 如下图所示； （3） 点H如下图所示． 【解析】 【分析】（1）利用格点找出的中点，即为点F； （2）由图可知，因此将点A向右移动两格即为点G，连接可得； （3）连接并延长，与的交点即为点H． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：理由如下：由图可知，， 四边形以为对角线的平行四边形； 【小问3详解】 解：理由如下：由（2）知四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查格点作图，解题的关键是掌握格点作图的特点、平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质． 23. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． ． （2） 证明：，平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，则，可证出结论； （2）由等腰三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】（1）该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 （2）至少还需增加2名业务员 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数每人投递件数人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，由题意，得 ， 解得：，（舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为． 【小问2详解】 4月：（万件）， ， 该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务． ， 至少还需增加2名业务员． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求，的值，并直接写出不等式的解集； （2）点C是线段AB上一点，过C作y轴的平行线交反比例函数在第四象限的图象于点D，若△COD的面积为5，求点C的坐标． 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形面积等知识点，正确表达的面积是解题的关键． （1）将代入即可求出值，观察图象即可求出不等式的解集； （2）利用待定系数法求函数解析式，设点的坐标为，则，则，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得： ，解得， 由图象可得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的下方， 不等式的解集为或； 【小问2详解】 将代入得： ，解得， ， 设交轴于，点的坐标为，则， 则， 解得， 点的坐标为或． 26. 如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标和反比例函数的表达式； （2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C（9，3）， （2） （3）存在，（－3，6）或（12，6）或或 【解析】 【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标； （2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作CH⊥x轴，交于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBH=90°， ∵∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠CBH， ∴∆AOB≅∆BHC， ∴BH=OA=6，CH=OB=3， ∴OH=9， ∴C(9，3) ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C， ∴k=9×3=27， ∴； 【小问2详解】 如图所示，过点D作轴，，, 同（1）方法可得：， ∵， ∴四边形OGEA为矩形， ∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6， ∴D(6，9)， ∵点A’恰好落在反比例函数图象上， ∴当y=6时，x=， ∴m=， ∴D’(6+，9)即D’(，9)； 【小问3详解】 当OA’=OP时，如图所示： ∵A’(，6)， OA’=， 四边形OPQA’是菱形， A’Q∥OP，A’Q=OP， Q(12,6)， 当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)； 当A’O=A’P时，如图所示： 点A’与点Q关于x轴对称， Q(，-6)； 当PO=PA’时，如图设P（m,0）， 则PO=PA’， ∴， 解得：， ∴OP=A’Q=， ∴Q(，6)， 综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ． 【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键． 27. 如图1，点O为矩形的对称中心， ，点E为边上一点（），连结并延长，交于点F．四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点G． （1）求证：． （2）当时，求的长． （3）令． ①求证：． ②如图2，连结，分别交于点H，K．记四边形的面积为，的面积为，当时，则b的值为 ，的值为 ． 【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵四边形与关于所在直线成轴对称， ∴， ∴， ∴； （2） （3）①证明：如图2，作于，连接， ∵点O为矩形的对称中心，过点O， ∴点O为的中点，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 【解析】 【分析】（1）由矩形，可得，则，由四边形与关于所在直线成轴对称，可得，则，进而可证； （2）如图1，作于，设，则，，证明四边形是矩形，则，，，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解，进而可求的长； （3）①如图2，作于，连接，则，证明，则，即，由，可得，则，进而可得；②如图3，连接，由题意得，，，，证明，，则，证明，则，，证明，则，，证明，则，，，证明，则，，由，可求，则，，进而可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，作于， 设，则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点O为矩形的对称中心， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴的长为； 【小问3详解】 ①略 ②解：如图3，连接， ∵四边形与关于所在直线成轴对称， ∴， ∵点O为矩形的对称中心， ∴， 同理， 由（1）知，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $