精品解析：2024年陕西省西安市新城区中考模拟预测数学试题

2024年陕西省初中学业水平考试·全真模拟卷（三） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的算术平方根（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的钢块零件的俯视图为（　　） A. B. C. D. 3. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，交于点F，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 从地面竖直向上抛射一小球．在落地前，小球向上的速度是运动时间的一次函数，经测量，小球的初始速度（时小球的速度）为，经过小球的速度是．小球经过多少秒后，达到最高点（此时速度为0）（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 6. 如图，在中，是直径，点C、D均在上，连接，且，若的半径为，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7. 已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（ ） A. 最大值，最大值为 B. 最小值，最小值为 C. 最大值，最大值为 D. 最小值，最小值为 第二部分（非选择题 共99分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 8. 下列实数：，，，0中，最小的无理数是______． 9. 如图，正六边形内接于，对角线交于点，已知的半径为，则的长为______． 10. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算生角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，若设边的长为a，边的长为b，边的c，则．当，，时，______． 11. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点A在y轴正半轴上，顶点C、D在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，连接、交于点P，反比例函数的图象恰好经过点P，已知，则的面积为______． 12. 如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作，分别交、于点E、F，若的值为，则的长为______． 三、解答题（共13小题，计84分．解答应写出过程） 13. 计算：． 14. 解不等式组：． 15. 解方程：． 16. 如图，在中，请用尺规作图法在边上确定一点D，连接，使得平分的面积．（不写作法、保留作图痕迹） 17. 如图，四边形是矩形，以为边向上作等边，连接．求证：． 18. 为全面落实立德树人根本任务，引导学生树立正确的劳动观念，养成良好的劳动习惯，充分发挥劳动教育的综合育人作用，营造学校关心支持劳动教育的良好氛围，某校开展了以“劳动砺心智·实践促成长”为主题的劳动教育实践活动．七年级提供了四类活动：A． 物品整理，B． 环境美化，C． 植物栽培，D． 工具制作．要求七年级学生每人只能参加一项．七（1）班的小亮和小雨对四个项目都很感兴趣，不知如何选择，于是两人决定采用摸球的方式来选择．两人规定：在一个不透明的口袋中装有分别标有字母A、B、C、D的四个小球，分别代表四个活动，这些小球除字母外其余都相同，搅匀放好．小亮先从袋中任意摸出一个，并选择该小球上字母代表的活动；搅匀后，小雨再从袋中剩下的三个小球中任意摸出一个，并选择该小球上字母代表的活动． （1）“小亮摸到标有字母D的小球”属于______事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用列表法或画树状图的方法，求他们有一人选到“C． 植物栽培”活动的概率． 19. 如图，图形甲是边长为n的正方形，图形乙是直角边长分别为的直角三角形，，将平面图形甲绕一条边旋转一周，得到立体图形①；将图形乙绕较长的直角边旋转一周，得到立体图形②，试猜想这两个立体图形的体积有什么关系，并通过计算验证自己的猜想．（，） 20. 函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 a 0 b … （1）填空：表中______，______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于y轴对称； ②当时，函数有最小值，最小值为0； ③当时，函数y的值随x的增大而减小． 其中正确的是______．（请写出所有正确命题的序号） 21. 某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽． 22. 全面推行学校课后延时服务，某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据． 调查主题：七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告 【设计调查方式】 在七、八年级中各随机抽取了10名学生家长对课后延时服务的评分（满分10分）． 【收集、整理、描述数据】 家长对课后延时服务的评分统计图（满分10分）： 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 1.2 八年级 8 7 1.8 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）上述表格中：______，______，______； （2）在七、八两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致．据此推断：七、八两个年级中，______年级家长的评价更一致（填“七”或“八”）； （3）综合上表中的统计量，现要给评分突出的年级老师颁奖，你认为应该给哪个年级的老师颁奖？请说明理由．（写出一条理由即可） 23. 如图，是圆内接三角形，点O是边上一点，过点O作于点E，交过点C的切线于点D，． （1）求证：是此圆的直径； （2）若点O是边的中点，，，求此圆的半径长． 24. 如图是一块铁皮材料的示意图，由抛物线和矩形构成．矩形的长是8，宽是2，抛物线的顶点P在的垂直平分线上，且到的距离为4．以中点O为原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．现要在该铁皮材料中截取矩形，小华设计了两种方案： 方案一：如图1，矩形的面积记为，点A、D在抛物线上，点B、C在上，； 方案二：如图2，矩形的面积记为，点、在抛物线上，点、在上，． 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）分别求出、，并比较、的大小． 25. 【定义新知】 定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边． 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，，，，判断四边形是否为和谐四边形，并说明理由； （2）如图2，在矩形中，，连接，在的延长线上取一点E，连接，使得四边形是和谐四边形，是和谐对角线，是和谐边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是某市规划中的居民户外活动广场，入口C设在上，、为两条笔直的小路，将广场分为三部分，三角形部分为市民健身区，方便市民健身，三角形部分为观赏区，用于种植各类鲜花，三角形部分为娱乐区，供老年人排练合唱或广场舞使用，与是广场的两条主干道．已知四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边．为了不影响周围居民，计划在娱乐区外围修建隔离带（宽度忽略不计），已知，求隔离带的长度（即的周长）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年陕西省初中学业水平考试·全真模拟卷（三） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的算术平方根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出． 【详解】． 故选：B 【点睛】本题考查的是一个数的算术平方根，它是这个数的正的平方根，0的算术平方根是0． 2. 如图所示的钢块零件的俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从不同位置看简单组合体，根据从不同位置看简单组合体的定义和画法画出它的俯视图即可． 【详解】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 3. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，负整数指数幂，按照相关计算法则计算即可，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方运算法则． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，，交于点F，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质以及三角形的外角定理，掌握平行线的基本性质以及三角形外角的性质是解题关键．根据平行线的性质和三角形外角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 根据三角形外角定理，， ∴， 故选：A． 5. 从地面竖直向上抛射一小球．在落地前，小球向上的速度是运动时间的一次函数，经测量，小球的初始速度（时小球的速度）为，经过小球的速度是．小球经过多少秒后，达到最高点（此时速度为0）（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，用待定系数法求出函数表达式，进而求解． 【详解】解：设函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 即函数的表达式为：， 当时， 则， 故选：B． 6. 如图，在中，是直径，点C、D均在上，连接，且，若的半径为，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理和勾股定理，根据直径所对圆周角是直角判断是直角三角形，再根据判断，最后由勾股定理即可求解 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵所对的圆周角是， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵的半径为， ∴， 又， ∴， 故选：C 7. 已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（ ） A. 最大值，最大值为 B. 最小值，最小值为 C. 最大值，最大值为 D. 最小值，最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象及性质，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数最值的求法． 先根据二次函数有最小值推出、关系式，代入后再根据二次函数性质及最值求法即可得解． 【详解】解：中有最值， 则二次函数中有最小值， 即， ， ， 根据二次函数性质可得有最小值，且最小值为． 故选：． 第二部分（非选择题 共99分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 8. 下列实数：，，，0中，最小的无理数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较无理数的大小，先从所给实数中找出无理数，再比较大小即可． 【详解】解：，，，0中，，是无理数， ， ， 最小的无理数是． 故答案为：． 9. 如图，正六边形内接于，对角线交于点，已知的半径为，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先由圆与内接正六边形性质得到是等边三角形，是线段的垂直平分线，从而确定，在中，由含的直角三角形性质、勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，连接并延长，交于，如图所示： 在正六边形中，对角线，且每一个内角均为， ， ，， ，则， 正六边形内接于， ，且，则是等边三角形， ， ， 是线段的垂直平分线，则，即， 在中，，，设，则，由勾股定理可得，解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆与多边形，涉及正多边形性质、圆的性质、等边三角形的判定与现在、垂直平分线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆与多边形综合题型的解法是解决问题的关键． 10. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算生角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，若设边的长为a，边的长为b，边的c，则．当，，时，______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据和，，，可以计算出的长，即可得出答案． 【详解】解：依题意： 把，，代入， 得 故答案为：5 11. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点A在y轴正半轴上，顶点C、D在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，连接、交于点P，反比例函数的图象恰好经过点P，已知，则的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，平行四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 设，根据题意得到，，求出，，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵反比例函数的图象恰好经过点P， ∴设 ∵四边形是平行四边形，连接、交于点P， ∴点P是，得中点， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：16． 12. 如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作，分别交、于点E、F，若的值为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形综合，涉及三角形全等的判定和性质，矩形和平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．过F作于G，证明，得到，将沿方向平移至，连接，得四边形是平行四边形，得，证点、、三点共线，过H作的垂线，交的延长线于点I，延长交的延长线于点K，得四边形为矩形，证，求出，，最后利用即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为2，M是的中点， ∴，，， ∴， 如图，过作于G， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 过H作的垂线，交的延长线于点I，延长交的延长线于点K， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点、、三点共线， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计84分．解答应写出过程） 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，特殊角的三角函数值的运算，先去绝对值，进行特殊角的三角函数值和零指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 14. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据解分式方程的一般步骤：去分母、求出整式方程的解、检验、得出结论，即可得解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 16. 如图，在中，请用尺规作图法在边上确定一点D，连接，使得平分的面积．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】 如图，点D即为所求作的点． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段的垂直平分线，三角形中线的性质，作线段的垂直平分线，交于点D，连接即可． 【详解】解：根据作图可知：为的中线， ∴． 17. 如图，四边形是矩形，以为边向上作等边，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，要证明，只要证明即可，根据题意目中的条件，利用矩形的性质和等边三角形的性质可以得到两个三角形全等的条件，从而可以解答本题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】略 18. 为全面落实立德树人根本任务，引导学生树立正确的劳动观念，养成良好的劳动习惯，充分发挥劳动教育的综合育人作用，营造学校关心支持劳动教育的良好氛围，某校开展了以“劳动砺心智·实践促成长”为主题的劳动教育实践活动．七年级提供了四类活动：A． 物品整理，B． 环境美化，C． 植物栽培，D． 工具制作．要求七年级学生每人只能参加一项．七（1）班的小亮和小雨对四个项目都很感兴趣，不知如何选择，于是两人决定采用摸球的方式来选择．两人规定：在一个不透明的口袋中装有分别标有字母A、B、C、D的四个小球，分别代表四个活动，这些小球除字母外其余都相同，搅匀放好．小亮先从袋中任意摸出一个，并选择该小球上字母代表的活动；搅匀后，小雨再从袋中剩下的三个小球中任意摸出一个，并选择该小球上字母代表的活动． （1）“小亮摸到标有字母D的小球”属于______事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用列表法或画树状图的方法，求他们有一人选到“C． 植物栽培”活动的概率． 【答案】（1）随机； （2）． 【解析】 【分析】本题考查随机事件及概率，解题的关键是掌握用列表法求出所有的结果数． （1）根据“小亮摸到标有字母D的小球”可能发生，也可能不发生可知“小亮摸到标有字母D的小球”是随机事件； （2）列表求出所有结果数，再用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：根据“小亮摸到标有字母D的小球”可能发生，也可能不发生可知“小亮摸到标有字母D的小球”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： A B C D A B C D 由表可得，一共有12种等可能的结果，其中他们有一人选到“C. 植物栽培”活动的有6种结果， ∴他们有一人选到“C. 植物栽培”活动的概率为. 19. 如图，图形甲是边长为n的正方形，图形乙是直角边长分别为的直角三角形，，将平面图形甲绕一条边旋转一周，得到立体图形①；将图形乙绕较长的直角边旋转一周，得到立体图形②，试猜想这两个立体图形的体积有什么关系，并通过计算验证自己的猜想．（，） 【答案】 图形①的体积等于图形②的体积， 理由：设图形①、②的体积分别为、， 则， ， ∴， 故图形①的体积等于图形②的体积. 【解析】 【分析】本题主要考查计算圆柱和圆锥的体积，设图形①、②的体积分别为V1、V2，然后分别求得图形①、②的体积，即可解答． 【详解】略 20. 函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 a 0 b … （1）填空：表中______，______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于y轴对称； ②当时，函数有最小值，最小值为0； ③当时，函数y的值随x的增大而减小． 其中正确的是______．（请写出所有正确命题的序号） 【答案】（1），3 （2） 如图，即为函数的图象， （3）②③ 【解析】 【分析】本题考查了新函数的研究方法，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数是解答本题的关键． （1）已知解析式，代入的值，即可算出对应的值，即可得出答案； （2）利用描点法求得函数图象； （3）结合图象即可分析函数的对称性、增减性、最值，进而可得答案． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：，3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结合图象可得，当时，函数图象关于y轴不对称，故①错误； 结合图象可得，当时，函数有最小值，最小值为0，故②正确； 结合图象可得，当时，函数y的值随x的增大而减小，故③正确， 故答案为：②③． 21. 某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽． 【答案】宽为120米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过F作于G，则，证明，可得，再，得到，即可解答，熟练证明三角形相似是解题的关键. 【详解】解：如图所示，过F作于G，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为120米. 22. 全面推行学校课后延时服务，某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据． 调查主题：七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告 【设计调查方式】 在七、八年级中各随机抽取了10名学生家长对课后延时服务的评分（满分10分）． 【收集、整理、描述数据】 家长对课后延时服务的评分统计图（满分10分）： 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 1.2 八年级 8 7 1.8 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）上述表格中：______，______，______； （2）在七、八两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致．据此推断：七、八两个年级中，______年级家长的评价更一致（填“七”或“八”）； （3）综合上表中的统计量，现要给评分突出的年级老师颁奖，你认为应该给哪个年级的老师颁奖？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）8，7.5，8； （2）七； （3）应该给七年级的老师颁奖， 综合上表中的统计量，两个年级的平均数相同，但七年级的中位数、众数都比八年级高，并且方差比八年级要小，说明七年级家长对课后延时服务较为满意，评价更一致，因此，应该给七年级的老师颁奖． 【解析】 【分析】本题考查折线统计图、平均数、中位数、众数、方差，理解题意，会求相关统计量是解答的关键． （1）根据平均数、众数、中位数的求法，结合图中数据求解即可； （2）根据方差越小，数据波动越小求解即可； （3）根据表格中所给两个年级的平均数、中位数、众数、方差比较，即可得出结论． 【小问1详解】 解：七年级的平均数（分），其中数据8出现了4次，出现次数最多，故众数（分）， 将八年级的数据从小到大排序，第5个和第6个数据分别为7和8， ∴中位数（分）， 故答案为：8，7.5，8； 【小问2详解】 解：∵， ∴七年级年级评分的10个数据的波动小，即七年级家长的评价更一致， 故答案为：七； 【小问3详解】 略 23. 如图，是圆内接三角形，点O是边上一点，过点O作于点E，交过点C的切线于点D，． （1）求证：是此圆的直径； （2）若点O是边的中点，，，求此圆的半径长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是此圆的直径. （2）． 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用平行线的判定和性质可得，即可解答； （2）设此圆的半径为r，证明，利用相似的性质列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点O是边的中点， ∴点O为圆心. 设此圆的半径为r，则，， 由（1）知，， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍）， ∴此圆的半径长为. 24. 如图是一块铁皮材料的示意图，由抛物线和矩形构成．矩形的长是8，宽是2，抛物线的顶点P在的垂直平分线上，且到的距离为4．以中点O为原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．现要在该铁皮材料中截取矩形，小华设计了两种方案： 方案一：如图1，矩形的面积记为，点A、D在抛物线上，点B、C在上，； 方案二：如图2，矩形的面积记为，点、在抛物线上，点、在上，． 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）分别求出、，并比较、的大小． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，实数的大小比较等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，实数的大小比较是解题的关键． （1）由题意知，，，，设抛物线的函数表达式为，将代入，得，可求，进而可得抛物线的函数表达式； （2）由题意知轴，轴，如图1，设分别交x轴于点G、H，由，可得点D的横坐标为2，当时，，则，，根据，计算求解即可；如图2，设、分别交x轴于点、，由，可得，当时，，可求，，则，，根据，计算求解即可，最后比较大小即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意知轴，轴， 如图1，设分别交x轴于点G、H， ∵， ∴点D的横坐标为2， 当时，， ∴， ∴， ∴； 如图2，设、分别交x轴于点、， ∵， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 【定义新知】 定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边． 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，，，，判断四边形是否为和谐四边形，并说明理由； （2）如图2，在矩形中，，连接，在的延长线上取一点E，连接，使得四边形是和谐四边形，是和谐对角线，是和谐边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是某市规划中的居民户外活动广场，入口C设在上，、为两条笔直的小路，将广场分为三部分，三角形部分为市民健身区，方便市民健身，三角形部分为观赏区，用于种植各类鲜花，三角形部分为娱乐区，供老年人排练合唱或广场舞使用，与是广场的两条主干道．已知四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边．为了不影响周围居民，计划在娱乐区外围修建隔离带（宽度忽略不计），已知，求隔离带的长度（即的周长）． 【答案】（1）是， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. 在中，∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是和谐四边形. （2）6；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及和谐四边形的应用： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可得出结论； （2）根据四边形是和谐四边形的性质进行求解即可； （3）根据四边形是和谐四边形和四边形是和谐四边形得出，，，再证明，由得，得出，过点D作于M，设，则，根据勾股定理求出x的值，求出，再求出的周长即可 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形是矩形， ∴，. ∵四边形是和谐四边形，是和谐对角线，是和谐边， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴. （3）∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即 ∴. ∵， ∴相似比为1， ∴， ∴， 如图，过点D作于M， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的周长， 故隔离带的长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $