精品解析：河南省许昌市襄城县部分学校阶段性学情监测2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

襄城县第一初级中学2023-2024学年下期阶段性学情监测（等级评价）八年级数学试题 分值：120分 时间：100分钟 温馨提示：亲爱的同学，阶段性学情监测（等级评价）是对本阶段教与学效果检测，有利于促进教师更好的教，学生更好的学，做到教学相长． 1、本试卷共8页三大题，分值120分，时间100分． 2、请把试卷班级、姓名、学号等信息填写完整；并在规定区域答题，不得超出密封线． 3、自信+智慧+细心=成功．请认真审题、静心思考、规范作答、细心检验，期待你的精彩绽放！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，化简后能与合并的是( ) A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，2， C. 1，，2 D. 4，5，6 3. 对于函数 y＝3-x，下列结论正确的是（ ） A. y 值随 x 的增大而增大 B. 它的图象必经过点（-1,3） C. 它的图象不经过第三象限 D. 当 x＞1 时，y＜0. 4. 函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　 A. B. C. D. 6. 已知点、在一次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ） A. （0， -8） B. （0， -5） C. （-5，0） D. （0， -6） 8. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法判断 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A 4尺 B. 4.55尺 C. 5尺 D. 5.55尺 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为8，，点是边上一动点，点在上，且． 有下列结论： ①点坐标为； ②； ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积最小． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 一次函数的图象不经过第四象限，则的取值范围是 _________． 13. 如图，将矩形纸片沿直线翻折，使点恰好落在边的中点处，点在边上，若，则______． 14. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠BDC的平分线交BC于点P，作点P关于BD的对称点，若点落在矩形ABCD的边上，则AB的长为 _______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 18. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）请计算说明海港会受到台风影响； （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 19. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线：上，两条直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的2倍，求出点的坐标． 21. 端午节前夕，某商铺用1200元购进批发价分别为每袋30元和50元的蜜枣粽、肉粽进行销售，并分别以每袋35元与60元的价格售出，设购进蜜枣粽x袋，肉粽y袋． （1）若该商铺将粽子全部售出共赚了215元，则购进蜜枣粽和肉粽各多少袋？ （2）若要求购进密枣粽的数量不得少于肉粽的数量，则应该如何分配购进的两种粽子的数量并全部售出才能获得最大利润？此时最大利润是多少？ 22. 某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入，输出；输入，输出；输入，输出． （1）______，______，______； （2）在平面直角坐标系中，请作出时的函数图象； （3）请写出一条该函数的性质：__________________； （4）根据函数图象，关于的方程有解，的取值范围为___________． 23. 如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 襄城县第一初级中学2023-2024学年下期阶段性学情监测（等级评价）八年级数学试题 分值：120分 时间：100分钟 温馨提示：亲爱的同学，阶段性学情监测（等级评价）是对本阶段教与学效果检测，有利于促进教师更好的教，学生更好的学，做到教学相长． 1、本试卷共8页三大题，分值120分，时间100分． 2、请把试卷班级、姓名、学号等信息填写完整；并在规定区域答题，不得超出密封线． 3、自信+智慧+细心=成功．请认真审题、静心思考、规范作答、细心检验，期待你的精彩绽放！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，化简后能与合并的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】分别化简，与是同类二次根式才能合并. 【详解】因为 A. =2; B. =2; C. =; D. =. 所以，只有选项B能与合并. 故选B 【点睛】本题考核知识点：同类二次根式.解题关键点：理解同类二次根式的定义. 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，2， C. 1，，2 D. 4，5，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析解题即可． 【详解】解：A. 5，12，13能构成直角三角形， 故A不符合题意； B. 1，2，能构成直角三角形， 故B不符合题意； C. 1，，2能构成直角三角形， 故C不符合题意； D. ， 4，5，6不能构成直角三角形， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 对于函数 y＝3-x，下列结论正确的是（ ） A. y 的值随 x 的增大而增大 B. 它的图象必经过点（-1,3） C. 它的图象不经过第三象限 D. 当 x＞1 时，y＜0. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的增减性判断A； 将（-1,3）的横坐标代入函数解析式，求得y，即可判断B； 根据函数图像与系数的关系判断C； 根据函数图像与x轴的交点可判断D. 【详解】函数y＝3-x，k=-1＜0，b=3＞0， 所以函数经过一、二、四象限，y随x的增大而减小， 故A错误，C正确； 当x=-1时，y=4，所以图像不经过（-1,3），故B错误； 当y=0时，x=3，又因为y随x的增大而减小， 所以当x＞3时，y＜0，故D错误. 故答案为C. 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合是解决函数类问题的关键. 4. 函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据a、b的符号进行判断，两函数图象能共存于同一坐标系的即为正确答案． 【详解】解：分四种情况： ①当a＞0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，无选项符合； ②当a＞0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第一、三、四象限；y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，C选项符合； ③当a＜0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、四象限；y=bx+a的图象经过第一、三、四象限，C选项符合； ④当a＜0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第二、三、四象限；y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，无选项符合． 故选C． 【点睛】一次函数y=kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 5. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDF=∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF=∠DBC=∠DFC=20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 由折叠可得∠ADB=∠BDF， ∴∠DBC=∠BDF， 又∠DFC=40°， ∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°， 又∵∠ABD=48°， ∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°， ∴∠E=∠A=112°， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键． 6. 已知点、在一次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，由题意得出随着的增大而增大，结合，即可得出答案． 详解】解：∵一次函数中，， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ） A. （0， -8） B. （0， -5） C. （-5，0） D. （0， -6） 【答案】B 【解析】 【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题． 【详解】解：∵A（12，13）， ∴OD=12，AD=13， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=AD=13， 在Rt△ODC中，OC==5， ∴C（0，-5）． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】作DF⊥BC，BE⊥CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得BC=DC，即可得出四边形ABCD是菱形． 【详解】解：如图，作DF⊥BC,BE⊥CD 由已知可得，ADBC,ABCD ∴四边形ABCD是平行四边形 在Rt△BEC和Rt△DFC中 ∴Rt△BEC≌Rt△DFC， ∴BC=DC ∴四边形ABCD是菱形 故选B． 【点睛】本题考核知识点：菱形的判定，解题关键是通过全等三角形证一组邻边相等． 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A. 4尺 B. 4.55尺 C. 5尺 D. 5.55尺 【答案】B 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：． 所以，原处还有4.55尺高的竹子． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为8，，点是边上一动点，点在上，且． 有下列结论： ①点的坐标为； ②； ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积最小． 其中正确的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，作于，求出，，即可得出，从而判断①；连接，证明，即可判断②；由全等三角形的性质得出，从而得出，即可判断③；证明为等边三角形，当为的中点时，，此时最小，则最小，由③可知为定值，可得最大，即可判断④． 【详解】解：如图，作于， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴为等边三角形， 当为的中点时，，此时最小，则最小， 由③可知为定值，可得最大，故④不正确； 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 一次函数的图象不经过第四象限，则的取值范围是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，根据一次函数的性质得出，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 13. 如图，将矩形纸片沿直线翻折，使点恰好落在边的中点处，点在边上，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，根据折叠的性质，得到，设，在中利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵将矩形纸片沿直线翻折，使点恰好落在边的中点处， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到． 【详解】解： 的垂直平分线交于点F， （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∴ ∵，是角平分线 ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠BDC的平分线交BC于点P，作点P关于BD的对称点，若点落在矩形ABCD的边上，则AB的长为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，结合矩形的性质可得，则，在中，勾股定理即可求得． 【详解】四边形是矩形， ，， 平分∠BDC， ， 作点P关于BD的对称点，若点落在矩形ABCD的边上， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，求得是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2）2 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算； （2）先化简二次根式，然后进行除法运算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 17. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝ 【解析】 【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形； （2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE//BC，BC＝2DE， ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF， ∴DE＝BF， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形， ∴BD＝EF， ∵D是AC的中点，AC＝12cm， ∴CD＝AC＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴BD＝＝10（cm）， ∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键． 18. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）请计算说明海港会受到台风的影响； （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）见解析 （2）7小时 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理逆定理得出是直角三角形，由等面积法得出，由此即可得出答案； （2）当，时，台风在上运动期间会影响海港，利用勾股定理得出的长，从而得出，结合台风的速度为，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点 ∵，，， ∴ ∴是直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港会受台风影响； 【小问2详解】 解：当，时，台风在上运动期间会影响海港， 在中， ∴ ∵台风的速度为20千米/小时 ∴（小时） 答：台风影响该海港持续的时间为7小时． 19. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 【答案】（1）矩形，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定； （1）先证明四边形为平行四边形，再由由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，证明如下： ∵， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． 【小问2详解】 证明：四边形是矩形 ， 在菱形中，． ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线：上，两条直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的2倍，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、根据两直线的交点求不等式的解集、三角形面积公式、一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）联立，得出，结合图象即可得出答案； （3）先求出，再求出，得到，设，再根据，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点，分别直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：联立， 解得：， ∴， ∴由图象可得：不等式的解集为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中，当时，，解得，即， ∴， ∵直线上存在一点， ∴设 ∵的面积等于的面积的2倍， ∴， 解得：或， ∴或． 21. 端午节前夕，某商铺用1200元购进批发价分别为每袋30元和50元的蜜枣粽、肉粽进行销售，并分别以每袋35元与60元的价格售出，设购进蜜枣粽x袋，肉粽y袋． （1）若该商铺将粽子全部售出共赚了215元，则购进蜜枣粽和肉粽各多少袋？ （2）若要求购进密枣粽的数量不得少于肉粽的数量，则应该如何分配购进的两种粽子的数量并全部售出才能获得最大利润？此时最大利润是多少？ 【答案】（1）购进蜜枣粽25袋，购进肉粽9袋； （2）购进蜜枣粽15袋，购进肉粽15袋，全部售出才能获得最大利润，此时最大利润是225元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知需要列二元一次方程组，求解即可 （2）根据题意用x的代数式表示出肉粽的数量，求出x的取值范围，再表示出总利润，根据一次函数性质以及自变量取值范围可求利润最大值． 【小问1详解】 解：（1）根据题意得： ， 解得：， ∴购进蜜枣粽25袋，购进肉粽9袋； 【小问2详解】 解：设获得总利润为W元， ∵购进密枣粽的数量不得少于肉粽的数量， ∴ ，即 ， 解得： ， 根据题意得W＝ ＝ ， ∵﹣1＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴x＝15时，W最大，最大值是﹣15+240＝225， 此时 ＝15， ∴购进蜜枣粽15袋，购进肉粽15袋，全部售出才能获得最大利润，此时最大利润是225元． 【点睛】本题考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程组和函数关系式，并确定自变量的取值范围，利用一次函数性质求最值． 22. 某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入，输出；输入，输出；输入，输出． （1）______，______，______； （2）在平面直角坐标系中，请作出时的函数图象； （3）请写出一条该函数的性质：__________________； （4）根据函数图象，关于的方程有解，的取值范围为___________． 【答案】（1） （2）图见解析 （3）当时，随着的增大而增大； （4） 【解析】 【分析】此题考查一次函数与一元一次方程、反比例函数和一次函数的图象和性质、一次函数图象交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数求解即可； （2）根据利用两点法作出图象即可； （3）根据图象写出一条性质即可； （4）根据方程有解，得到直线与直线有交点，数形结合进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，当，输出； ， ； 当时，， 当时，，输入，输出； 输入，输出． ， 解得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知：当时，， 当时，， 当时，， 解得， 得到点，，根据即可作出函数图象如下： 【小问3详解】 解：该函数的性质：当时，随着的增大而增大； 【小问4详解】 解：∵有解， ∴直线与直线有交点， 如图， 当直线过点时，， ∴当时，有解． 故答案为：． 23. 如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 【答案】（1）△CDF等腰三角形；（2）∠APD=45°． 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°． 【详解】（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中，， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF， 如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ，∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°， ∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$