精品解析：江苏省南京市南京师范大学附属中学新城初级中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年江苏省南京师大附中新城初级中学七年级（下）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件中，可以判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 判断命题“如果，则”是假命题，只需一个反例，反例中的n可以是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5. 《九章算术》中有问题大意如下：现多人共同买东西，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则不足4元，问人数，物价各是多少？设共有x人，物价y元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. __________． 8. 某细胞的直径是0.000074米，用科学记数法表示0.000074是____________． 9. 已知，，则的值是____________． 10. 已知方程组，则用含x的代数式表示____________． 11. 已知两个正方形的边长的和是，若它们面积的差是，则它们面积的和是____________． 12. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为___________． 13. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：_______． 14. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是____________． 15. 如图，中，是中线，点D在边上，，，相交于点O，若与面积之差为6，则的面积为____________． 16. 一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．若是完全平方数，则正整数x的值为____________． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 利用数轴确定不等式组的解集，并写出它的所有整数解． 20. 若关于x，y二元一次方程组的解互为相反数，求a的值． 21. 已知，，．若，试比较m，q的大小关系． 22. 已知：如图，点D在上，且平分，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 校园足球：为落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批传统足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： （1）传统足球表面由黑色五边形和白色六边形共32块皮块围成，每个五边形外面围绕5个六边形，每个六边形外则围着3个五边形和3个六边形，即白皮块数与黑皮块数比是．请运用适当的方法求出每个足球表面白皮、黑皮的块数． （2）该学校决定购买足球80个，现有甲、乙两种类型足球价格分别为90元、70元，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6000元．运用数学知识，确定该学校最多购买甲足球多少个？ 24. 尺规作图：已知，边上求作点D，使得．要求： （1）简写作图思路； （2）尺规作图，保留作图痕迹． 25. 折纸实验如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． （1）当时，则____________；____________； （2）两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）． 26. 教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下探究： （1）根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． （2）当，时，根据负整数指数幂定义， 得____________， ∵， ∴． （3）当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年江苏省南京师大附中新城初级中学七年级（下）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选： D． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式的定义，依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的定义，解题的关键是：熟练掌握因式分解的定义． 【详解】A、，是整式的乘法，不符合题意， B、，等式右边不是整式乘积的性质，不是因式分解，不符合题意， C、是因式分解，符合题意， D、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意， 故选：C． 3. 如图，下列条件中，可以判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法逐一分析，即可判断． 【详解】解：A、和是内错角，，能判定，故A符合题意； B、和不是同位角，也不是内错角，不能判定，故B不符合题意； C、，是同位角，可判定，不能判定，故C不符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行判定，不能判定，故D不符合题意． 故选：A． 4. 判断命题“如果，则”是假命题，只需一个反例，反例中的n可以是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，使，从而对各选项进行判断． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，则”是假命题，举出即可． 故选：B． 5. 《九章算术》中有问题大意如下：现多人共同买东西，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则不足4元，问人数，物价各是多少？设共有x人，物价y元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得等量关系：人数物品价值；人数物品价值，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设有x人，物品价值y元， 由题意得：； 故选：D． 6. 如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，先设，利用外角可得，，再进一步可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴设， ∴，， ∴， ∴， 故选C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，根据，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 某细胞的直径是0.000074米，用科学记数法表示0.000074是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】用科学记数法表示0.000074是 故答案为：． 9. 已知，，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的逆用，幂的乘方的逆用，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，再代入已知条件即可得到答案，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 10. 已知方程组，则用含x的代数式表示____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握根据二元一次方程，用一个未知数表示另一个未知数．根据，把用表示出来，然后再把代入进行化简即可． 【详解】解：∵， 由①得：， ， ∴， 故答案为：． 11. 已知两个正方形边长的和是，若它们面积的差是，则它们面积的和是____________． 【答案】##58平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了用二元方程组解决实际问题，平方差公式应用，关键是找出题中数量间的两组相等的关系，列并解这个方程组即可解决问题．可根据题意列方程组解答比较容易，设大正方形的边长为x厘米，小正方形的边长为y厘米，再根据边长之和为10厘米和面积之差为40平方厘米，列出方程组，解这个方程组，求出小正方形的边长，进一步求得面积即可． 【详解】解：设这两个正方形的边长分别为，， 则， 由②得， ∴③ 联立①③，解得， ∴，． 答：这两个正方形的面积和为． 故答案为 12. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论． 【详解】解：设它是n边形，则 （n−2）•180°＝1080°， 解得n＝8． 360°÷8＝45°， 故答案为． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 13. 命题“直角三角形两锐角互余”逆命题是：_______． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【解析】 【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解． 【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键． 14. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解；先求出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解，可以写出这三个整数解，然后即可得到a的取值范围． 【详解】由可得 ∵不等式组有3个整数解， ∴这3个整数解为 ∴ 故答案为：． 15. 如图，中，是中线，点D在边上，，，相交于点O，若与的面积之差为6，则的面积为____________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键．设的面积为a，易求，，即可求得，进一步可求解． 【详解】解：设的面积为a， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之差为6， ∴， ∴， 即的面积为36． 故答案为：36． 16. 一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．若是完全平方数，则正整数x的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键．设，则，然后运用完全平方公式变形整理得到，再得出二元一次方程组，解之可得． 【详解】解：设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：994． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键； （1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键；先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】原式 当，时， 原式 19. 利用数轴确定不等式组的解集，并写出它的所有整数解． 【答案】，画图见解析；整数解是： ，，，3，4． 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解法，不等式组的整数解．先分别解两个不等式，求出它们的解集，利用数轴再求两个不等式解集的公共部分．正确求解两个一元一次不等式，并准确找到它们的解集的公共部分，即为不等式组的解集，再把解集中包含的整数写出即可． 【详解】解：， 解不等式①得，． 解不等式②得，． 在数轴上表示不等式的解集如下： ∴原不等式组的解集是：． ∴不等式组的整数解是： ，，，3，4． 20. 若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知方程组的解得情况求参数．解题的关键是求出的值．根据方程的组的解互为相反数，得到，代入，求出的值，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数， ∴， 代入，得：，解得：， ∴， 将：，代入， 得：， 解得：； 21. 已知，，．若，试比较m，q的大小关系． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则； 把p、m、q代入中，去括号合并得到最简结果，根据即可做出判断． 【详解】由题意得： ∵ ∴ ∴ 22. 已知：如图，点D在上，且平分，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，然后利用等量代换可得，从而利用内错角相等，两直线平行可证明； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 23. 校园足球：为落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批传统足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： （1）传统足球表面由黑色五边形和白色六边形共32块皮块围成，每个五边形外面围绕5个六边形，每个六边形外则围着3个五边形和3个六边形，即白皮块数与黑皮块数比是．请运用适当的方法求出每个足球表面白皮、黑皮的块数． （2）该学校决定购买足球80个，现有甲、乙两种类型足球价格分别为90元、70元，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6000元．运用数学知识，确定该学校最多购买甲足球多少个？ 【答案】（1）白皮有20块，黑皮有12块 （2）该学校最多购买甲足球20个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程或不等式是解题的关键； （1）设白皮有x块，则黑皮有块，根据白皮块数与黑皮块数比是列方程即可； （2）设该学校购买甲足球m个，则购买乙足球个，根据购买甲、乙两种足球的总费用不超过6000元列不等式求解即可． 【小问1详解】 设白皮有x块，则黑皮有块， 由题意得：， 解得： ，则 答：白皮有20块，黑皮有12块 小问2详解】 设该学校购买甲足球m个，则购买乙足球个 由题意得： 解得： 答：该学校最多购买甲足球20个 24. 尺规作图：已知，在边上求作点D，使得．要求： （1）简写作图思路； （2）尺规作图，保留作图痕迹． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，作一个角等于已知角，熟练掌握三角形内角和定理及作一个角等于已知角是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可知，当时，，即作即可； （2）根据作一个角等于已知角尺规作图，作出，角的另一边交于点D，即得答案． 【小问1详解】 在中，， 在中，， ， ， 因此求作点D，只要作即可； 【小问2详解】 如图，点D就是所求作的点． 25. 折纸实验如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． （1）当时，则____________；____________； （2）两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质： （1）由折叠的性质得到，由长方形的对边是平行的，得到，，由对顶角的性质得到，即可得到； （2）由折叠可得，，由长方形的对边是平行的，得，可得，再进一步可得答案； 【小问1详解】 解：由折叠可得， ∴， ∵长方形的对边是平行的， ∴，， ∴， ∴； 小问2详解】 解：由折叠可得，， ∵长方形的对边是平行的， ∴，， ∴， ∴， ∴； 26. 教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： （1）根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． （2）当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． （3）当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是幂的含义，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义； （1）直接利用幂的含义证明即可； （2）根据负整数指数幂的含义可得结论； （3）根据负整数指数幂把化为，再结合同底数幂的除法运算可得结论． 【小问1详解】 解：∵，m、n是正整数， ∴ ； 【小问2详解】 解：当，时，根据负整数指数幂的定义， 得， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵m、n是正整数时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$