专题11 平面向量【好题汇编】-五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

专题11 平面向量 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 平面向量概念及线性运算 2024天津 2023天津 2022Ⅰ卷 2021 浙江卷 2020北京 Ⅱ卷 平面向量的线性运算一般考查基础的三角形法则，属于简单题目。对于此类题目可以转化成坐标运算 考点02 平面向量的坐标运算 2023 北京 ⅠⅡ卷 2021 乙卷 2020江苏卷 平面向量数量积运算是高考数学高频考点，一般考查向量的平行垂直以及夹角问题，容易与充要条件相结合，考查比较简单，但是属于易错点。 考点03 平面向量的数量积及夹角问题 2024ⅠⅡ 甲北京 2023 甲 乙卷 2022甲 乙 2021 浙江 Ⅱ卷 2020Ⅱ Ⅲ卷 考点01 平面向量概念及线性运算 一、选择题 1．(2022新高考全国I卷·)在中，点D在边AB上，．记，则 (　　) A． B． C． D． 2. (2021年高考浙江卷)已知非零向量，则“”是“”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学·)在中，D是AB边上的中点，则= (　　) A． B． C． D． 二、填空题 4．(2023年天津卷·)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________． 5 (2020北京高考)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________． 6．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 考点02 平面向量的坐标运算 1．(2023年北京卷·)已知向量满足，则 (　　) A． B． C．0 D．1 2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·)已知向量，若，则 (　　) A． B． C． D． 二、填空题 3．(2023年新课标全国Ⅱ卷·) 已知向量，满足，，则______． 4 (2021年高考全国乙卷·)已知向量，若，则__________． 5 (2020江苏高考)在中，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是________． 考点03 平面向量的数量积及夹角问题 1、 选择题 1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·全国·高考甲卷）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5 (2023年全国甲卷) 已知向量满足，且，则(　　) A． B． C． D． 6 (2023年全国乙卷) 已知的半径为1，直线PA与相切于点A．直线PB与交于B．C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为 (　　) A． B． C． D． 7．(2022年高考全国乙卷数学·) 已知向量满足，则 (　　) A． B． C．1 D．2 8．(2020年高考课标Ⅲ卷) 已知向量a，b满足，，，则 (　　) A． B． C． D． 2、 填空题 9．(2021年高考浙江卷·) 已知平面向量满足．记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________． 10．(2021年新高考全国Ⅱ卷·) 已知向量，，，_______． 11．(2022年高考全国甲卷数学·) 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 12．(2020年高考课标Ⅱ卷·) 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________． 13．(2021高考北京·第13题) 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 平面向量 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 平面向量概念及线性运算 2024天津 2023天津 2022Ⅰ卷 2021 浙江卷 2020北京 Ⅱ卷 平面向量的线性运算一般考查基础的三角形法则，属于简单题目。对于此类题目可以转化成坐标运算 考点02 平面向量的坐标运算 2023 北京 ⅠⅡ卷 2021 乙卷 2020江苏卷 平面向量数量积运算是高考数学高频考点，一般考查向量的平行垂直以及夹角问题，容易与充要条件相结合，考查比较简单，但是属于易错点。 考点03 平面向量的数量积及夹角问题 2024ⅠⅡ 甲北京 2023 甲 乙卷 2022甲 乙 2021 浙江 Ⅱ卷 2020Ⅱ Ⅲ卷 考点01 平面向量概念及线性运算 一、选择题 1．(2022新高考全国I卷·)在中，点D在边AB上，．记，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 2. (2021年高考浙江卷)已知非零向量，则“”是“”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】:若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件,故选B． 3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学·)在中，D是AB边上的中点，则= (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】3． 二、填空题 4．(2023年天津卷·)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________． 【答案】①． ②． 【解析】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到，即，则； ：因为，则，可得， 得到，即，即．于是．记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号，则时，有最大值． 故答案：；． 5 (2020北京高考)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________． 【答案】(1)． (2)． 【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、，， 则点，，， 因此，，．故答案为：；． 6．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 考点02 平面向量的坐标运算 1．(2023年北京卷·)已知向量满足，则 (　　) A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】向量满足， 所以．故选：B 2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·)已知向量，若，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：．故选：D． 二、填空题 3．(2023年新课标全国Ⅱ卷·) 已知向量，满足，，则______． 【答案】 【解析】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以． 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即故答案为：． 4 (2021年高考全国乙卷·)已知向量，若，则__________． 【答案】 【解析】因为，所以由可得， ，解得．故答案为：． 5 (2020江苏高考)在中，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是________． 【答案】 【解析】三点共线，可设，， ，即， 若且，则三点共线，，即， ，，,,，， 设，，则，． 根据余弦定理可得，， ，，解得，的长度为． 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去．故答案为：或． 考点03 平面向量的数量积及夹角问题 1、 选择题 1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 3．（2024·全国·高考甲卷）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 5 (2023年全国甲卷) 已知向量满足，且，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,所以, 即,即,所以． 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以,, ．故选:D． 6 (2023年全国乙卷) 已知的半径为1，直线PA与相切于点A．直线PB与交于B．C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时，设， 则： ，则当时，有最大值． 当点位于直线同侧时，设， 则： ，则 当时，有最大值．综上可得，的最大值为．故选：A． 7．(2022年高考全国乙卷数学·) 已知向量满足，则 (　　) A． B． C．1 D．2 【答案】C【解析】∵，又∵ ∴9，∴ 故选：C． 8．(2020年高考课标Ⅲ卷) 已知向量a，b满足，，，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，． ， 因此，．故选：D． 2、 填空题 9．(2021年高考浙江卷·) 已知平面向量满足．记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】:由题意，设，则，即， 又向量在方向上投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即,所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为．故答案为． 10．(2021年新高考全国Ⅱ卷·) 已知向量，，，_______． 【答案】 【解析】:由已知可得， 因此，．故答案为：． 11．(2022年高考全国甲卷数学·) 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以，所以． 故答案为：． 12．(2020年高考课标Ⅱ卷·) 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________． 【答案】 【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：．故答案为：． 13．(2021高考北京·第13题) 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________． 【答案】①． 0 ②． 3 【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则，，， ．故答案为：0；3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$