精品解析：山西省太原市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年第二学期八年级期末学业诊断 数学 注意事项： 1．本试卷全卷共6页，满分100分，考试时间上午8∶00—9∶30． 2．答卷前，学生务必将自己的姓名、考试编号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 通过手机银行，用户可以随时随地进行各种银行业务操作．下面是某手机银行服务项目的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 中心对称图形，是指把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】A．找不到中心点旋转沿后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．找不到中心点旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．找不到中心点旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．可以找到一中心点旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若分式有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不为0，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 故选：C． 3. 在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B．根据，不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误，符合题意； C．∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 4. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A项是整式的乘法，故A不符合题意； B项多项式转化成几个式子的积，存在分式，故B不符合题意； C项把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故C符合题意； D项没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故D不符合题意； 故选：C． 5. 要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式、公因式，解题的关键是掌握最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为． 故选：D． 6. 如图，将沿射线平移6个单位长度得到，点分别平移到了点，当点落在线段上时，连接．若，则线段的长度为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得出，结合得出，即可得出答案，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平移的性质可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 在中，，平分交于点D．若，，则点D到距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于E，根据题意求出，根据角平分线的性质求出，得到答案． 【详解】解：过点D作于E， ∵，， ∴， ∵平分，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴，即点D到线段的距离为3， 故选：A． 8. 如图，对角线与相交于点O．若，，，则的长度为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据平行四边形的性质得出，，再推出，则，进而利用勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，，点，分别是，的中点，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得，由三角形中位线定理得，，，，结合角平分线的定义得，，进一步得，，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点，分别是，的中点，，， ∴，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段的长度为． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，角分平线定义，平行线的性质，等角对等边等知识点．解题的关键是掌握勾股定理，三角形中位线定理． 10. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题．把答案写在答题卡相应位置．） 11. 不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． 根据不等式得基本性质：“基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变”，解不等式即可； 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称点坐标特点，代数式求值．熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 根据关于原点对称点坐标互为相反数即可求出答案． 【详解】点与点关于原点对称， ， 解得：，， ， 故答案为：． 13. “交木如井．画以藻文”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．如图，是一副“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形．这个正八边形的每个内角的度数为______． 【答案】135 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键； 根据多边形内角和公式列式计算即可解答； 【详解】“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形， 这个正八边形的每个内角的度数为， 故答案为：135． 14. 如图，一次函数（a，b为常数．）的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握函数值即为直线在x轴上方是解题的关键； 不等式就是函数值大于等于0时x的取值范围，可以由函数图象在x轴上方的部分得出x的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象与与x轴，y轴交于点，， 由图象可知：当时，直线在x轴的上方， ∴不等式的解集是； 故答案为：． 15. 已知．在中，，，，将绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点．当点落在的角平分线上时，连接与的角平分线相交于点，则点到的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】延长交于点D，过点P作于点E，过点作于点F，连接，则点到的距离为的长，由旋转的性质以及勾股定理可得：，从而得到均为等腰直角三角形，进而得到，再证得为等腰直角三角形，可得，从而得到为等腰直角三角形，然后根据，可得，从而得到，再根据，可得，然后根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点D，过点P作于点E，过点作于点F，连接，则点到的距离为的长， ∵平分， ∴， 在中，，，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，图形的旋转，综合性比较强，求出是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集. 【答案】x>3，在数轴上表示这个不等式组的解集见解析. 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】先分别求出中两个不等式的解.解①得：x>3，解②得：x⩾1. 则不等式组的解集是：x>3. 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握在数轴上表示不等式的解集和解一元一次不等式组. 18. 先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，………………第一步 去括号得，，………………第二步 解得，，………………第三步 检验：当时，，………………第四步 是原方程的根．………………第五步 任务： （1）小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； （2）请你改正并写出完整的解方程过程； （3）解分式方程产生增根的原因是______． 【答案】（1）一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“” （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验的方法是解题的关键． （）根据去分母的方法即可判定； （）运用解分式方程的方法即可求解； （）根据解分式方程的方法，增根的概念即可求解． 【小问1详解】 解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误， 错误的原因是：方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“”． 【小问2详解】 解：原方程可化为． 方程两边都乘以去分母，得． 整理，得． 解得． 检验：当时，，所以是原分式方程的增根， 所以原方程无解． 【小问3详解】 解：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 20. 如图，在中，平分交对角线于点，平分交对角线于点，连接，．求证∶． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，证明，再证明四边形为平行四边形即可得证．证明是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∴． 21. 习总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校计划组织600名师生前往山西老陈醋的发源地——清徐研学．现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆． （1）求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数； （2）由于实际参加研学活动的人数比原计划增加了35人、学校决定同时租用A、B两种型号的客车共14辆，为确保所有参加活动的师生都有座位（可以坐不满），求最多租用B型客车多少辆？ 【答案】（1）50个；40个 （2）6辆 【解析】 【分析】本题主要考查了方式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，根据等量关系列出方程和不等式是解题关键． （1）设每辆型客车乘客座位数为个，则每辆型客车乘客座位数为个，根据“若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆”，列方程求解即可； （2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列不等式求解即可； 【小问1详解】 解：设每辆型客车乘客座位数为个，则每辆型客车乘客座位数为个． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意． ． 答：每辆型客车的乘客座位数为50个，每辆型客车的乘客座位数为40个． 【小问2详解】 解：设租用型客车辆，则租用型客车辆． 根据题意，得． 解这个不等式，得． 因为为整数，且取最大值，所以． 答：最多租用型客车数量6辆． 22. 阅读下列材料，完成相应任务． 等周线 问题：一个平面图形的周长能被一条直线平分吗？ 答案是肯定的．由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能度量其一半．过这一半的两个端点就能作出这条直线． 定义：一条直线平分一个平面图形的周长，我们称这条直线为这个平面图形的等周线．例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，过圆心的每一条直线都是它的等周线． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条等周线． 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条等周线呢？ 情形1：当等周线经过三角形的一个顶点时： 已知∶如图3，． 求作：直线m，使直线m经过点A且平分的周长． 小雨的想法是：以点B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点D（点D在点B的左侧）．通过“截长补短”，将平分周长的问题转化为平分线段的问题． 情形2：当等周线不经过三角形的顶点时： 利用小雨的思路同样可以作出此时三角形的等周线； 发现结论：通过操作实验我们可以发现一个平面图形有无数条等周线． 任务： （1）在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条等周线（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； （2）如图3是小雨用尺规所作的不完整的图形，请你将小雨的图形补全．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； （3）结论应用∶如图4，在中，，点Q为的中点，直线是的等周线，请你直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，过的交点作直线l，即可； （2）在直线上作，再取的中点，即可求解； （3）延长至点H，使，连接，在上取点G，使，连接，证明，可得，可得到是等边三角形，再由直线是的等周线，可得，然后根据三角形中位线定理可得，过点A作于点M，在上取点N，使，设，则，根据直角三角形的性质可得，再由，可求出x，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线l即为所求； 【小问2详解】 解：如图，直线m即为所求； 【小问3详解】 解：如图，延长至点H，使，连接，在上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线是的等周线， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点A作于点M，在上取点N，使， ∴是等腰直角三角形， ∴可设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，理解新定义是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，点O是边的中点，连接．保持不动，将从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段与线段相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究． （1）初步思考：如图2，连接，“勤学”小组在旋转的过程中发现，请你证明这一结论； （2）操作探究：如图3，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现垂直平分，请你证明这一结论； （3）拓展延伸：已知，，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）线段的长度为1或或． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，证明，得到，证明是线段的垂直平分线，得到是的中位线，据此证明即可； （2）延长交于点，先证明，求得，利用等腰三角形性质即可证明结论成立； （3）分当、和，三种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质或勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接交于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴点是线段的中点， ∵点O是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 证明：延长交于点， 由（1），是线段的垂直平分线， ∴， 由题意得， ∴， ∵，， ∴， ∴垂直平分； 【小问3详解】 解；当时，则点在线段的垂直平分线上，作于点，如图， 由题意得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，如图， 由题意得， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 当时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴在同一直线上， 设， ∴，， 在中，，即， 解得， ∴； 综上，线段的长度为1或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线、分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期八年级期末学业诊断 数学 注意事项： 1．本试卷全卷共6页，满分100分，考试时间上午8∶00—9∶30． 2．答卷前，学生务必将自己的姓名、考试编号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 通过手机银行，用户可以随时随地进行各种银行业务操作．下面是某手机银行服务项目的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将沿射线平移6个单位长度得到，点分别平移到了点，当点落在线段上时，连接．若，则线段的长度为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 7. 在中，，平分交于点D．若，，则点D到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，的对角线与相交于点O．若，，，则的长度为（ ） A. B. 10 C. D. 9. 如图，在中，，点，分别是，的中点，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则线段的长度为（ ） A B. C. D. 10. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 二、填空题（本大题共5个小题．把答案写在答题卡相应位置．） 11. 不等式的解集为______． 12. 已知点与点关于原点对称，则______． 13. “交木如井．画以藻文”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．如图，是一副“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形．这个正八边形的每个内角的度数为______． 14. 如图，一次函数（a，b为常数．）的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为______． 15. 已知．在中，，，，将绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点．当点落在的角平分线上时，连接与的角平分线相交于点，则点到的距离为______． 三、解答题（本大题共8个小题．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 分解因式： （1） （2） 17. 解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集. 18. 先化简，再求值：，其中， 19. 下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，………………第一步 去括号得，，………………第二步 解得，，………………第三步 检验：当时，，………………第四步 是原方程的根．………………第五步 任务： （1）小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； （2）请你改正并写出完整的解方程过程； （3）解分式方程产生增根的原因是______． 20. 如图，在中，平分交对角线于点，平分交对角线于点，连接，．求证∶． 21. 习总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校计划组织600名师生前往山西老陈醋的发源地——清徐研学．现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆． （1）求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数； （2）由于实际参加研学活动人数比原计划增加了35人、学校决定同时租用A、B两种型号的客车共14辆，为确保所有参加活动的师生都有座位（可以坐不满），求最多租用B型客车多少辆？ 22. 阅读下列材料，完成相应任务． 等周线 问题：一个平面图形的周长能被一条直线平分吗？ 答案是肯定的．由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能度量其一半．过这一半的两个端点就能作出这条直线． 定义：一条直线平分一个平面图形的周长，我们称这条直线为这个平面图形的等周线．例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，过圆心的每一条直线都是它的等周线． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条等周线． 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条等周线呢？ 情形1：当等周线经过三角形一个顶点时： 已知∶如图3，． 求作：直线m，使直线m经过点A且平分的周长． 小雨想法是：以点B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点D（点D在点B的左侧）．通过“截长补短”，将平分周长的问题转化为平分线段的问题． 情形2：当等周线不经过三角形顶点时： 利用小雨的思路同样可以作出此时三角形的等周线； 发现结论：通过操作实验我们可以发现一个平面图形有无数条等周线． 任务： （1）在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条等周线（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； （2）如图3是小雨用尺规所作的不完整的图形，请你将小雨的图形补全．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； （3）结论应用∶如图4，在中，，点Q为的中点，直线是的等周线，请你直接写出线段的长度． 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，点O是边的中点，连接．保持不动，将从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段与线段相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究． （1）初步思考：如图2，连接，“勤学”小组在旋转的过程中发现，请你证明这一结论； （2）操作探究：如图3，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现垂直平分，请你证明这一结论； （3）拓展延伸：已知，，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$