训练(14) 互斥事件和独立事件-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(十四)　互斥事件和独立事件 定义 符号 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立 P(A)＋P(B)＝1 相互独立事件 一般地，如果事件A是否发生__________事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件 一、选择题 1.下列事件A，B是相互独立事件的是(　　) A.一枚硬币抛掷两次，事件A为“第一次为正面”，事件B为“第二次为反面” B.袋中有2个白球、2个黑球，不放回地摸两球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子，事件A为“出现点数为奇数”，事件B为“出现点数为偶数” D.事件A为“人能活到20岁”，事件B为“人能活到50岁” 2.(多选)从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是(　　) A.“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件 B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C.“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件 D.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 3.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4.若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为(　　) A.0.28 B.0.12 C.0.42 D.0.16 4.抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时，产生的整数随机数中，每组中数字的个数为(　　) A.1 B.2 C.10 D.12 5.甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为(　　) A.0.2 B.0.8 C.0.4 D.0.1 6.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为(　　) A.0.48 B.0.4 C.0.32 D.0.24 7.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　) A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 8.经统计某射击运动员射击命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间的整数随机数，用0,1,2表示没有击中，用3,4,5,6,7,8,9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7525,0293,7140,9857,0347,4373,8638,7815,1417,5550,0371,6233,2616,8045,6011,3661,9597,7424,7610,4281.根据以上数据，估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为(　　) A. B. C. D. 9.某校组织“最强大脑”PK赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为(　　) A. B. C. D. 10.(多选)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列命题正确的是(　　) A.P(B)＝ B.事件B与事件A1相互独立 C.事件B与事件A2相互独立 D.A1，A2互斥 二、填空题 11.某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二年级男生有370人.现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19，则该校高三年级学生共有________人. 12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________. 13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________. 14.袋子中有大小、形状完全相同的三个小球，分别写有“中”“国”“梦”三个字，从中任意摸出一个小球，记录下所写汉字后放回，……；如此操作下去，直到“中”“国”两个字都摸到就停止摸球，则恰好第三次就停止摸球的概率为________. 三、解答题 15.若进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率. 16.某市四所重点中学进行高二期中联考，共有5 000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机地抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表： 分组 频数 频率 [80,90) ① ② [90,100) 0.050 [100,110) 0.200 [110,120) 36 0.300 [120,130) 0.275 [130,140) 12 ③ [140,150] 0.050 合计 ④ (1)根据上面的频率分布表，推出①②③④处的数字分别为________，________，________，________. (2)补全[80,150]上的频率直方图. (3)根据题中的信息估计总体： ①成绩在120分及以上的学生人数； ②成绩在[126,150]的概率. 1.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 2.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________. 答案 训练(十四)　互斥事件和独立事件 [知识整合] 不影响 [知能演练] 1.A　把一枚硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，事件A，B应为对立事件；选项D中事件B受事件A的影响. 2.BC 3.B　甲、乙两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率P＝(1－0.7)×0.4＝0.12，故选B. 4.B　抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的点数分别为x，y，则x＋y＝10.产生的整数随机数中，每组中数字的个数为2，满足题意的数组为(4,6)，(5,5)，(6,4).故选B. 5.B 6.D　由题意可知该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P＝0.8×0.6×(1－0.5)＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24，故选D. 7.B　根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C.则P(A)＝0.9，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P()P()＝1－0.2×0.2＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864. 故选B. 8.A　由题意，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为7525,0347,7815,5550,6233,8045,3661,7424，共8组，则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为＝.故选A. 9.C　比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜. 所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率P＝3＋××＋××＝.故选C. 10.AD　根据题意画出树状图，得到相关事件的样本点数： 因此P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B)＝＝，A正确；又P(A1B)＝，因此P(A1B)≠P(A1)P(B)，B错误；同理，C错误；A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选AD. 11.解析　∵在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19， ∴高二年级女生人数为0.19×2 000＝380， 则高三年级学生人数为2 000－650－370－380＝600. 答案　600 12.解析　甲、乙两球都落入盒子的概率 P＝×＝； 事件A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是：“甲、乙两球都不落入盒子”， P()＝×＝， 所以P(A)＝1－＝. 答案　　 13.解析　根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错； 由相互独立事件的概率乘法公式， 可得P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128. 答案　0.128 14.解析　由题意，恰好第三次就停止摸球的情况：中梦国，国梦中，中中国，国国中，梦中国，梦国中，共计6种.而3次所有的摸球情况共有3×3×3＝27种，故恰好第三次就停止摸球的概率为＝. 答案　 15.解析　记事件A为“进入商场的一位顾客购买甲种商品”；记事件B为“进入商场的一位顾客购买乙种商品”；记事件C为“进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；记事件D为“进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”. (1)∵C＝A∩＋∩B， ∴P(C)＝P(A∩＋∩B)＝P(A∩)＋P(∩B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. (2)∵＝∩，∴P()＝P(∩)＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2， ∴P(D)＝1－P()＝0.8. 16.(1)解析　＝120，③处的数字为＝0.100， ②处的数字是1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处的数字是0.025×120＝3，④处的数字是1. 答案　3　0.025　0.100　1 (2)解析　由频率分布表补全[80,150]上的频率直方图，如图所示. (3)解析　①120分及以上的学生人数为 (0.275＋0.100＋0.050)×5 000＝2 125. ②成绩在[126,150]的概率为 0.4×0.275＋0.100＋0.050＝0.26. [提升演练] 1.B 2.解析　设5人为甲、乙、丙、丁、戊，从5人中选3人有以下10个样本点：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊. 甲、乙都被选中的样本点有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，故甲、乙都被选中的概率为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$