训练(11) 空间直线、平面的垂直-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(十一)　空间直线、平面的垂直 1.直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的________________垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线________ ⇒a∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 3.两个角 名称 定义 范围 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角 [0°，90°] 二面角的平面角 在二面角α ­l ­β的棱上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB所构成的∠AOB称为二面角的平面角 [0°，180°] 一、选择题 1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 2.在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论错误的是(　　) A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAB⊥平面PBC C.平面PBC⊥平面PCD D.平面PCD⊥平面PAD 3.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　　) A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 4.(多选)设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列四个命题错误的是(　　) A.若m∥l，且m⊥α，则l⊥α B.若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n C.若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ D.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β 5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　) A.60° B.45° C.30° D.120° 6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B­AD­C的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 7.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. 8.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　) A.20° B.40° C.50° D.90° 9.如图，在斜三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 10.(多选)如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断正确的是(　　) A.平面PB1D⊥平面ACD1 B.A1P∥平面ACD1 C.异面直线A1P与AD1所成角的范围是 D.三棱锥D1 ­APC的体积不变 二、填空题 11.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成的角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________. 12.在三棱锥P ­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____________心. (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心. 13.已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对. 14.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2，BB1＝3，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝__________时，CF⊥平面B1DF. 三、解答题 15.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.求证： (1)直线A1B1∥平面ABD； (2)平面ABD⊥平面BCC1B1. 16.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAC； (2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P ­ABC的体积. 1.(多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E­ACD，F­ABC，F­ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A.V3＝2V2 B.V3＝V1 C.V3＝V1＋V2 D.2V3＝3V1 2.如图，在四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点. (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F­ABC的体积. 答案 训练(十一)　空间直线、平面的垂直 [知识整合] 1.两条相交直线　a，b⊂α　a∩b＝O　l⊥a　l⊥b 平行　a⊥α　b⊥α 2.垂线　l⊂β　l⊥α　α⊥β　l⊂β　α∩β＝a　l⊥a [知能演练] 1.A　∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又m⊂α， ∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义， 可知l⊥m.故l与m不可能平行.故选A. 2.C　由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确.故选C. 3.C　由PA⊥平面ABC⇒PA⊥BC，A正确； 由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即B、D正确.故选C. 4.BCD　A.若m∥l，且m⊥α，由线面垂直的性质可得l⊥α，A选项正确； B.若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n是错误的，当m和n平行时，也可能满足前边的条件； C.若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ，不正确，垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的； D.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β是错误的，平面β和α可能平行或相交. 5.A　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos ∠ABO＝， 即∠ABO＝60°.故选A. 6.C　由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中， ∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，其大小为60°.故选C. 7.D　如图，连接BC1，PC1，PB，因为AD1∥BC1， 所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1＝2，PC1＝D1B1＝，sin ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.故选D. 8.B　如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1=40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°.故选B. 9.A　∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.∵BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1， ∴AC⊥平面ABC1. 又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC. 又平面ABC1∩平面ABC＝AB， ∴点C1在底面ABC上的射影点H必在直线AB上.故选A. 10.ABD　对于A，根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD1，又DB1⊂平面PB1D，则平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1，易证明平面BA1C1∥平面ACD1，又A1P⊂平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；对于C，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，故C错误；对于D， =，因为点P到平面ACD1的距离不变，且△ACD1的面积不变，所以三棱锥P ­ACD1的体积不变，故D正确.故选ABD. 11.解析　在Rt△SAB中，SA＝SB， S△SAB＝·SA2＝8，解得SA＝4. 设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h， 在Rt△SAO中，∠SAO＝30°， 所以r＝2，h＝2，所以圆锥的体积为 πr2·h＝π×(2)2×2＝8π. 答案　8π 12.解析　(1)如图①，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中， PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC， 即O为△ABC的外心. (2)如图②，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G， ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB， ∴PC⊥AB. ∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC， 又CG⊂平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高， 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心. 答案　(1)外　(2)垂 13.解析　如图，由于PD⊥平面ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PDA，平面PBC⊥平面PDC，共7对. 答案　7 14.解析　由已知得B1D⊥平面ACC1A1， 又CF⊂平面ACC1A1，所以B1D⊥CF， 若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF， 设AF＝x(0＜x＜3)，则CF2＝x2＋4， DF2＝1＋(3－x)2，CD2＝12＋32＝10， 所以由CF2＋DF2＝CD2， 得x2＋4＋1＋(3－x)2＝10， 解得x＝1或x＝2， 所以当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF. 答案　1或2 15.证明　(1)因为三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，所以A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD， AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD. (2)因为三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱， 所以AB⊥BB1.又AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B， 所以AB⊥平面BCC1B1.又AB⊂平面ABD， 所以平面ABD⊥平面BCC1B1. 16.(1)证明　由题设可知，PA＝PB＝PC. 由△ABC是正三角形，可得△PAC≌△PAB， △PAC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.从而PB⊥PA，PB⊥PC， 又PA，PC⊂平面PAC，PA∩PC＝P， 故PB⊥平面PAC，又PB⊂平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAC. (2)解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 由题设可得rl＝，l2－r2＝2，解得r＝1，l＝.从而AB＝. 由(1)可得PA2＋PB2＝AB2， 故PA＝PB＝PC＝. 所以三棱锥P ­ABC的体积为··PA·PB·PC＝××3＝. [提升演练] 1.CD 2.(1)证明　由于AD＝CD，E是AC的中点， 所以AC⊥DE. 由于 所以△ADB≌△CDB， 所以AB＝CB，故AC⊥BE， 由于DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BED， 所以AC⊥平面BED，由于AC⊂平面ACD， 所以平面BED⊥平面ACD. (2)解析　依题意AB＝BD＝BC＝2，∠ACB＝60°，三角形ABC是等边三角形， 所以AC＝2，AE＝CE＝1，BE＝， 由于AD＝CD，AD⊥CD，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以DE＝1. DE2＋BE2＝BD2，所以DE⊥BE， 由于AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 由于△ADB≌△CDB，所以∠FBA＝∠FBC， 由于所以△FBA≌△FBC， 所以AF＝CF，所以EF⊥AC， 由于S△AFC＝·AC·EF，所以当EF最短时，三角形AFC的面积取最小值. 过E作EF⊥BD，垂足为F， 在Rt△BED中，·BE·DE＝·BD·EF， 解得EF＝， 所以DF＝＝，BF＝2－DF＝， 所以＝， 过F作FH⊥BE，垂足为H，则FH∥DE， 所以FH⊥平面ABC， 且＝＝，所以FH＝， 所以VF­ABC＝·S△ABC·FH＝××2××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$