训练(10) 空间直线、平面的平行-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(十)　空间直线、平面的平行 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与__________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线________ ________，________， ________⇒l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线________ ________，________，________⇒a∥b 一、选择题 1.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　) A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点 2.已知平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面 4.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是(　　) A.m∥α，m∥n⇒n∥α B.m∥α，n∥α⇒m∥n C.m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n D.m∥α，n⊂α⇒m∥n 6.如图，不在同一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　) A.相似但不全等的三角形 B.全等三角形 C.面积相等的不全等三角形 D.以上结论都不对 7.已知点E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 8.(多选)已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的是(　　) A.若m⊂α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β D.若m⊥α，m⊥β，则α∥β 9.已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线.给出下列命题：①若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β. 其中正确的命题是(　　) A.①② B.①②③ C.①③ D.②③ 10.如图，在四棱锥P ­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，=(　　) A. B. C. D. 二、填空题 11.如图所示，正方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________. 12.在棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________. 13.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________. 14.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH边上及其内部运动，则M只需满足条件　　　　时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况). 三、解答题 15.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点.求证：GH∥平面ABC. 16.如图，在四棱锥P ­ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点. (1)求证：CE∥平面PAD； (2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由. 1.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直. (1)证明：EF∥平面ABCD. (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度). 答案 训练(十)　空间直线、平面的平行 [知识整合] 1.此平面内　平行　l∥α　l⊂β　α∩β＝b 2.相交直线　平行　α∥β　α∩γ＝a　β∩γ＝b [知能演练] 1.A　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥….故选A. 2.D　∵平面α∥平面β， ∴平面α与平面β没有公共点. ∵a⊂α，b⊂β，∴直线a，b没有公共点， ∴直线a，b的位置关系是平行或异面.故选D. 3.B　当平面α内有无数条直线和平面β平行时，两平面可以平行，也可以相交，故A不正确.当α，β平行于同一条直线时，两平面可以相交也可以平行，故C不正确.由于垂直于同一平面的两平面可以相交也可以平行，故D不正确.根据两平面平行的判定定理可知，当α内有两条相交直线与平面β平行时，一定有α∥β.反之，当α∥β时，一定有α内的两条相交直线与平面β平行，故选B. 4.A　B选项，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；C选项，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；D选项，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.A不满足，故选A. 5.C　A中，n还有可能在平面α内；B中m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中m，n可能异面.故选C. 6.B　由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′， 则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′. 同理BC＝B′C′，AB＝A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. 故选B. 7.D　如图所示， 作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接MN，由面面平行的性质得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，故选D. 8.ABC　若m⊂α，n∥α，则m与n可能平行或异面，故A错误；若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故B错误；若α∩β＝n，m∥n，则m还可能在平面α或β内，故C错误；若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，则α∥β，故D正确.故选ABC. 9.D　对于①，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以①错误；对于②，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以②正确；对于③，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，③正确.故选D. 10.D　如图，连接AC交BE于G，连接FG， 因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.故选D. 11.解析　在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2， ∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点， ∴EF＝AC＝. 答案　 12.解析　如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平面BPC1.在△A1EF中，A1F=A1E=，EF=2， S△A1EF=， 从而所得截面面积为2S△A1EF=. 答案　 13.解析　∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 答案　平行四边形 14.解析　因为H，N分别是CD和CB的中点，连接HN，BD(图略)，易知BD∥HN. 又BD⊂平面B1BDD1，HN⊄平面B1BDD1， 故HN∥平面B1BDD1， 故不妨取M点与H点重合便符合题意. 答案　M与H重合(答案不唯一) 15.证明　设FC的中点为I，连接GI，HI， 在△CEF中，因为G是CE的中点， 所以GI∥EF，又EF∥OB，所以GI∥OB， 在△CFB中，因为H是FB的中点， 所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B， HI，GI⊂平面GHI，OB，BC⊂平面ABC， 所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC. 16.(1)证明　取PA的中点H，连接EH，DH， 因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，EH＝AB， 又AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形DCEH为平行四边形， 所以CE∥DH， 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD， 因此CE∥平面PAD. (2)解析　存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF. 证明如下： 取AB的中点F，连接CF，EF(图略)， 则AF＝AB， 因为CD＝AB，所以AF＝CD， 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形， 因此CF∥AD.又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD， 由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C， 故平面CEF∥平面PAD， 故存在AB的中点F满足要求. [提升演练] 1.A 2.(1)证明　过点E作EE′⊥AB于点E′，过点F作FF′⊥BC于点F′，连接E′F′(图略). ∵底面ABCD是边长为8的正方形，△EAB，△FBC均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直， ∴EE′⊥AB，FF′⊥BC， ∴EE′⊥平面ABCD，FF′⊥平面ABCD， ∴EE′∥FF′，且EE′＝FF′， ∴EE′F′F为平行四边形，∴EF∥E′F′， ∵E′F′⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)解析　过点G，H分别作GG′⊥CD，HH′⊥DA，交CD，DA于点G′，H′，连接F′G′，G′H′，H′E′，AC(图略)，由(1)及题意可知，G′，H′分别为CD，DA的中点，EFGHE′F′G′H′为长方体，故该包装盒可分成一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成. 由底面ABCD是边长为8的正方形可得 E′F′＝H′E′＝AC＝4， ∴所求该包装盒的容积为 V＝VEFGHE′F′G′H′＋4VAEE′H′H ＝E′F′×E′H′×EE′＋4××SEE′H′H×AC ＝4×4×4＋×4×4×8 ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$