训练(9) 空间点、直线、平面之间的位置关系-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(九)　空间点、直线、平面之间的位置关系 1. 基本事实 内容 推论 基本事实1 过不在一条直线上的__________，有且只有一个平面 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的____________ 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线________ 2.异面直线 定义 异面直线：不同在________一个平面内，没有公共点 夹角、范围 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角或夹角，其范围是________________ 判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线 3.空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A ______个 平行 a∥α ______个 在平面内 a⊂α ______个 平面与平面 平行 α∥β ______个 相交 α∩β＝l ______个 一、选择题 1.(多选)下列关于异面直线的说法错误的是(　　) A.若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B.若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C.若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D.若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面 2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 3.(多选)如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列说法正确的是(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 4.如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点，则异面直线SA与PD所成角的正切值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 5.已知空间中两条不重合的直线a，b，则“a与b没有公共点”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P(　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上 7.已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　) A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 8.如图所示，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　) A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线BC 9.已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线(　　) A.只有一条，不在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，一定在平面α内 D.有无数条，不一定在平面α内 10.(多选)下列命题正确的是(　　) A.梯形一定是平面图形 B.若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行 C.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 D.若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 二、填空题 11.如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 12.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，以下四个命题，正确命题的序号是　　　　. ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直. 13.如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小是________. 14.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，C1是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________. 三、解答题 15.如图，在三棱锥P­ABC中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且＝＝. (1)证明：E，F，G，H四点共面； (2)证明：三条直线EG，FH，AC交于一点. 16.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 1.(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则(　　) A.直线BC1与DA1所成的角为90° B.直线BC1与CA1所成的角为90° C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 2.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A.AB＝2AD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30° C.AC＝CB1 D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 答案 训练(九)　空间点、直线、平面之间的位置关系 [知识整合] 1.三个点　公共直线　平行 2.任何　(0°，90°] 3.1　0　无数　0　无数 [知能演练] 1.ABC　在选项A、B、C中的两直线可能平行、相交或异面，故A、B、C均错误；由异面直线的定义可知，D正确.故选ABC. 2.A　如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.故选A. 3.CD　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A、B错误，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故C、D正确. 4.B　连接OP，易知O为AB的中点，因为P为SB的中点，所以OP∥SA，且OP＝SA，所以∠DPO或其补角为异面直线SA与PD所成的角，在Rt△SOB中，SO＝OB＝2，所以OP＝.在等腰三角形PCD中，OP⊥CD，OD＝2，所以tan∠DPO＝＝＝，故选B. 5.B　“直线a与b没有公共点”表示两条直线a∥b或者a与b是异面直线，所以“a与b没有公共点”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B. 6.B　如图，∵EF⊂平面ABC， HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC.故选B. 7.B　在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错误；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错误. 8.C　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β， 又D∈AB，所以D∈平面ABC， 所以点D在平面ABC与平面β的交线上. 又C∈平面ABC，C∈β， 所以点C在平面β与平面ABC的交线上， 所以平面ABC∩平面β＝CD. 9.B　假设过点P且平行于l的直线有两条分别为m与n，则m∥l且n∥l.由基本事实4得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条.又点P在平面α内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面α内.故选B. 10.AC　对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误. 11.解析　易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD. 答案　AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD 12.解析　还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN. 答案　②③④ 13.解析　连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°. 答案　60° 14.解析　取圆柱下底面弧的另一中点D，连接C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， 所以C1D=AD， 所以直线AC1与AD所成角的正切值为， 即异面直线AC1与BC所成角的正切值为. 答案　 15.证明　(1)在△PAB中，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EF∥PB，EF＝PB. 在△PBC中，因为＝＝， 所以GH∥PB，＝＝＝， 从而GH＝PB. 所以GH∥EF，即E，F，G，H四点共面. (2)由(1)知，GH∥EF，GH<EF， 所以EG，FH必相交于一点，设为点O. 因为O∈EG，EG⊂平面PAC，所以O∈平面PAC.同理O∈平面ABC，即O是平面PAC与平面ABC的公共点.因为平面PAC∩平面ABC＝AC，所以O∈AC，即三条直线EG，FH，AC交于一点. 16.(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得GH綊AD. 又BC綊AD，∴GH綊BC， ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)解析　C，D，F，E四点共面. 由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面. [提升演练] 1.ABD　2.D 学科网（北京）股份有限公司 $$