训练(8) 空间几何体-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(八)　空间几何体 1.多面体的结构特征 2.旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3.直观图 (1)画法：常用______________. (2)规则 ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)________； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的________. 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝______ S圆锥侧＝______ S圆台侧＝____ 5.空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体　　　　　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝______ 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝______ 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝______ V＝______ 一、选择题 1.如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=5，O′C′=2，∠A′O′C′=30°，则原图形的面积是(　　) A.4 B.4 C.10 D.6 2.如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是(　　) A.一个六棱柱中挖去一个棱柱 B.一个六棱柱中挖去一个棱锥 C.一个六棱柱中挖去一个圆柱 D.一个六棱柱中挖去一个圆台 3.用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是(　　) A.2 B.2π C.或 D.或 4.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　) A. B. C.1 D. 5.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 6.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A.20＋12 B.28 C. D. 7.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为(　　) A.7 B.6 C.4 D.2 8.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A.12π B.24π C.36π D.144π 9.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是今有上、下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为(　　) A.13.25立方丈 B.26.5立方丈 C.53立方丈 D.106立方丈 10.(多选)下面有关球的描述正确的有(　　) A.用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 B.一个正方体的表面积等于24 cm2，则该正方体的内切球的体积为4π cm3 C.一个正方体的表面积等于6，则该正方体的外接球的表面积是3π D.两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是7 二、填空题 11.如图所示，在所有棱长为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________. 12.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____________个面，其棱长为________. 13.已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________. 14.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为________，球O的表面积为________. 三、解答题 15.如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10,8,15(单位：cm)，球的直径为5 cm，求该组合体的体积和表面积. 16.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积. 1.已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为(　　) A. B.π C.2π D.3π 2.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若＝2，则＝(　　) A. B.2 C. D. 答案 训练(八)　空间几何体 [知识整合] 3.(1)斜二测画法　(2)垂直　平行于坐标轴 不变　一半 4.2πrl　πrl　π(r′＋r)l 5.S底h　S底h　4πR2　πR3 [知能演练] 1.C　在平行四边形O′A′B′C′中，作C′M⊥O′A′. 在Rt△C′O′M中，C′M＝O′C′sin 30°＝1. 所以平行四边形O′A′B′C′面积为 S1＝O′A′·C′M＝5×1＝5. 所以原图形面积为S＝2S1＝10. 故选C. 2.C　根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解.螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.故选C. 3.C　设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝，同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝，故选C. 4.C　设△ABC的外接圆圆心为O1，记OO1＝d，圆O1的半径为r，球O的半径为R，△ABC的边长为a，则S△ABC＝a2＝，可得a＝3，于是r＝，由题知，球O的表面积为16π，则R＝2，由R2＝r2＋d2易得d＝1，即O到平面ABC的距离为1. 5.B　设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π×，解得l＝2.故选B. 6.D　作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图， 因为该四棱台上、下底面边长分别为2,4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝＝， 下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4， 所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝××(16＋4＋)＝.故选D. 7.B　设底面ABC的面积为S.因为侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，所以水的体积为S×8.当底面ABC水平放置时，设液面高为h，则Sh＝×8S，可得h＝6.故选B. 8.C　由题意知球的直径 2R＝ ＝6， ∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.故选C. 9.B　由题意得，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B. 10.AC　易知A正确；设正方体棱长为a cm，则6a2＝24，所以a＝2，正方体内切球半径为棱长的一半，即R＝＝1(cm)，所以体积V＝πR3＝π(cm3)，故B不正确.设正方体的棱长为a，则6a2＝6，故a＝1，又其外接球的直径2R＝a＝，所以R＝，所以S＝4πR2＝3π，故C正确.如图①所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝－＝1；如图②所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝＋＝7，故D不正确.故选AC. 11.解析　将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝. 答案　 12.解析　依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面.设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1.解得x＝－1.故题中的半正多面体的棱长为－1. 答案　26　－1 13.解析　如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即rl＝2.由于侧面展开图为半圆，可知πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1. 答案　1 14.解析　因为AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3， 所以四面体ABCD的体积为××1×2×3＝1； 把此四面体补形为长方体，球的直径即为长方体的体对角线. 设球O的半径为r，则(2r)2＝12＋22＋32＝14.其表面积为4πr2＝14π. 答案　1　14π 15.解析　由已知可得V长方体＝10×8×15＝1 200(cm3)， 又V半球＝×πR3＝×π×3 ＝(cm3)， 所以所求几何体体积为 V＝V长方体＋V半球＝1 200＋(cm3). 因为S长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15) ＝700(cm2)， 故所求几何体的表面积S表面积＝S长方体全＋S半球－S半球底＝700＋(cm2). 16.解析　过C作CE垂直于AD，交AD的延长线于点E， 由已知得CE＝2，DE＝2，CB＝5， S表面积＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧 ＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2 ＝(60＋4)π. V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝. [提升演练] 1.B　2.C 学科网（北京）股份有限公司 $$