训练(6) 正弦定理、余弦定理-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(六)　正弦定理、余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝________＝________＝2R(R为△ABC外接圆半径) a2＝________________， b2＝________________， c2＝________________ 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝________________， cos B＝________________， cos C＝________________ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角； (3)已知两边和其中一边的对角，求另一边 2.三角形面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高). (2)S＝bcsin A＝__________＝________. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径). 一、选择题 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，∠B＝60°，c＝2，b＝，则∠C＝(　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.无解 2.在△ABC中，已知三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则的值等于(　　) A.1 B.2 C.－2 D. 3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC的形状是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　) A.3 B. C. D.3 5.在△ABC中，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝，则＝(　　) A. B.2 C. D. 6.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＋c＝a，且cos B＝，则(　　) A.A＝2B B.A＝B C.A＋B＝90° D.2A＝B 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 8.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　) A.6 B.3 C.2 D.2或3 9.在△ABC中，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　) A.4π B.8π C.9π D.36π 10.(多选)下列命题正确的是(　　) A.在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B B.在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立 C.在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 二、填空题 11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________. 12.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________. 13.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________. 14.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC⊥CD，CD＝AC，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________. 三、解答题 15.在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝. (1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形. 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，b＝2c，cos A＝－. (1)求c的值； (2)求sin B的值； (3)求sin(2A－B)的值. 2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. 答案 训练(六)　正弦定理、余弦定理 [知识整合] 1.　　b2＋c2－2bccos A　a2＋c2－2accos B　a2＋b2－2abcos C　　　 2.(2)absin C　acsin B [知能演练] 1.A　由正弦定理得＝⇒sin C＝＝＝. ∴C＝45°或C＝135°. ∵∠B＝60°，∴C＝135°(舍). 故C＝45°.故选A. 2.B　三角形ABC中，已知三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，可设a＝2t，b＝3t，c＝4t， 由余弦定理可得cos C＝＝－， 由正弦定理可得＝＝＝＝2. 故选B. 3.D　由正弦定理，得＝＝， 即tan B＝tan C＝1，所以B＝C＝，所以A＝，所以△ABC为等腰直角三角形.故选D. 4.C　因为c2＝(a－b)2＋6， 所以c2＝a2＋b2－2ab＋6.① 因为C＝，由余弦定理得， c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 所以S△ABC＝absin C＝×6×＝. 5.B　因为A＝60°，a＝， 由正弦定理可得＝＝＝＝2， 所以＝＝2. 故选B. 6.A　由题意得cos B＝ ＝＝＝， 所以a＝b，又b＋c＝a，所以c＝b， 所以cos A＝＝＝－， cos 2B＝2cos2 B－1＝2×2－1＝－， 所以cos A＝cos 2B，因为A，B∈(0，π)，A＋B<π， 所以A＝2B，故A正确，B、D错误； sin A＝＝， sin B＝＝， 所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝－≠0， 所以A＋B≠90°，故C错误.故选A. 7.D　根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形. 8.D　因为S△ABC＝2＝bcsin A， 所以bc＝6，又sin A＝，所以cos A＝， 又a＝3，由余弦定理得 9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13， 可得b＝2或b＝3. 9.C　已知bcos A＋acos B＝2，由正弦定理可得 2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2(R为△ABC的外接圆半径).利用两角和的正弦公式得 2Rsin(A＋B)＝2，则2Rsin C＝2， 因为cos C＝，所以sin C＝， 所以R＝3.故△ABC的外接圆面积为9π. 故选C. 10.ABD　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选ABD. 11.解析　∵bsin A＋acos B＝0， ∴＝， 由正弦定理得－cos B＝sin B， ∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝. 答案　 12.解析　S△ABC＝acsin B＝ac＝，所以ac＝4. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝3ac－ac＝2ac＝8. 所以b＝2. 答案　2 13.解析　∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°， ∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2. 答案　2 14.解析　设∠ABC＝α，∠ACB＝β， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝4－2cos α. 由正弦定理得＝， 所以sin β＝. 又CD＝AC，在△BCD中，由余弦定理得 BD2＝3＋3(4－2cos α)－2×××cos， 即BD2＝15－6cos α＋6sin α＝15＋12sin. 当α＝时，BD取得最大值3. 答案　3 15.解析　选条件①. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 选条件②. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c，B＝C＝，A＝. 由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2. 选条件③. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由③c＝b，与b＝c矛盾. 因此，选条件③时问题中的三角形不存在. 16.(1)解析　由已知得sin2A＋cos A＝， 即cos2A－cos A＋＝0. 所以2＝0，cos A＝. 由于0＜A＜π，故A＝. (2)证明　由正弦定理及已知条件可得 sin B－sin C＝sin A. 由(1)知B＋C＝， 所以sin B－sin＝sin， 即sin B－cos B＝，sin＝. 由于0＜B＜，故B＝. 从而△ABC是直角三角形. [提升演练] 1.解析　(1)因为a2＝b2＋c2－2bccos A， 即6＝b2＋c2＋bc，而b＝2c， 代入得6＝4c2＋c2＋c2，解得c＝1. (2)由(1)可求出b＝2，而0＜A＜π， 所以sin A＝＝， 又＝， 所以sin B＝＝＝. (3)因为cos A＝－， 所以＜A＜π，故0＜B＜， 又sin A＝＝， 所以sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝－，cos 2A＝2cos2 A－1＝2×－1＝－， 而sin B＝，所以cos B＝＝， 故sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×＋×＝. 2.(1)解析　由A＝2B，sin Csin＝ sin Bsin可得， sin Csin B＝sin Bsin， 而0＜B＜， 所以sin B∈，即有sin C＝sin＞0， 而0＜C＜π，0＜C－A＜π，显然C≠C－A， 所以C＋C－A＝π，而A＝2B，A＋B＋C＝π， 所以C＝. (2)证明　由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，sin C(sin Acos B－cos Asin B) ＝sin B(sin Ccos A－cos Csin A)， 再由正弦定理可得， accos B－bccos A＝bccos A－abcos C， 然后根据余弦定理可知， (a2＋c2－b2)－(b2＋c2－a2) ＝(b2＋c2－a2)－(a2＋b2－c2)， 化简得2a2＝b2＋c2，故原等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$