训练(5) 倍角公式、三角恒等式-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(五)　倍角公式、三角恒等式 倍角公式：sin 2α＝________________； cos 2α＝________＝________＝________； tan 2α＝________________. 变形：cos2 α＝，sin2 α＝ 辅助角公式：y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝ 一、选择题 1.在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3,1)，则cos 2θ＝(　　) A.－ B. C.－ D. 2.函数f(x)＝1－2sin2 x是(　　) A.偶函数且最小正周期为 B.奇函数且最小正周期为 C.偶函数且最小正周期为π D.奇函数且最小正周期为π 3.已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos ＝(　　) A. B.－ C. D.－ 4.若sin x＝－，则cos 2x＝(　　) A. B.－ C. D.－ 5.已知x∈，cos x＝，则tan 2x＝(　　) A. B.－ C. D.－ 6.已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　) A. B. C. D. 7.化简：＝(　　) A.－sin α B.－cos α C.sin α D.cos α 8.已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos 的值为(　　) A. B. C.± D.± 9.函数f(x)＝sin x·cos的图象的一条对称轴是(　　) A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 10.若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A. B. C. D. 二、填空题 11.已知tan α和tan β是方程2x2＋x－6＝0的两个根，则tan[2(α＋β)]＝________. 12.在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos＝________. 13.已知cos＝，θ∈，则sin＝________. 14.＝________.(用数字作答) 三、解答题 15.已知函数f(x)＝2cos x·(sin x＋cos x)，求f的值. 16.已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 1.已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)在上单调递增 2.若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________. 答案 训练(五)　倍角公式、三角恒等式 [知识整合] 2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α [知能演练] 1.D　∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3,1)， ∴|OP|＝，∴sin θ＝. 则cos 2θ＝1－2sin2 θ＝1－2×2＝. 故选D. 2.C　∵f(x)＝1－2sin2 x＝cos 2x， ∴f(－x)＝cos(－2x)＝cos 2x＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数且最小正周期T＝＝π， 故选C. 3.B　∵cos α＝，α∈(π，2π)， ∴∈. ∴cos＝－＝－＝－. 故选B. 4.C　因为sin x＝－，所以cos 2x＝1－2sin2x＝. 故选C. 5.D　∵cos x＝，x∈，∴sin x＝－. ∴tan x＝－， ∴tan 2x＝＝＝－. 6.B　由2sin 2α＝cos 2α＋1， 得4sin αcos α＝2cos2α. 又α∈，所以tan α＝，即sin α＝. 故选B. 7.C　原式＝＝＝sin α.故选C. 8.C　∵θ为第二象限角，∴为第一、三象限角. ∴cos的值有两个. 由sin(π－θ)＝，可知sin θ＝， ∴cos θ＝－，∴2cos2＝. ∴cos＝±.故选C. 9.B　f(x)＝sin x·cos ＝sin x· ＝sin xcos x－sin2x ＝sin 2x＋cos 2x－ ＝－ ＝sin－. 令2x＋＝＋kπ，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z. 当k＝0时，x＝， 即函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝， 故选B. 10.A　由tan 2α＝＝＝，化简得sin α＝，从而得tan α＝，故选A. 11.解析　由题得tan α＋tan β＝－，tan α×tan β＝－3. 所以tan(α＋β)＝＝＝－. 所以tan[2(α＋β)]＝＝＝－. 答案　－ 12.解析　由题意知cos θ＝，sin θ＝. ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－， sin 2θ＝2sin θcos θ＝， ∴cos＝cos 2θcos－sin 2θsin ＝－×－×＝－1. 答案　－1 13.解析　由题意可得， cos2＝＝， cos＝－sin 2θ＝－， 即sin 2θ＝. 因为cos＝>0，θ∈， 所以0<θ<，2θ∈， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝， 由两角差的正弦公式，可得 sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝. 答案　 14.解析　 ＝＝ ＝＝. 答案　 15.解析　因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2 x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1， 所以f＝sin ＋1＝sin ＋1＝2. 16.解析　(1)f(x)的定义域为 . f(x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为x∈， 所以2x－∈， 由y＝sin x的图象可知， 当2x－∈， 即x∈时，f(x)单调递减； 当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增. 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增. [提升演练] 1.C　f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x， 选项A中：2x∈，此时f(x)单调递增； 选项B中：2x∈，此时f(x)先递增后递减； 选项C中：2x∈，此时f(x)单调递减； 选项D中：2x∈，此时f(x)先递减后递增，所以选C. 2.解析　因为3sin α－sin β＝，α＋β＝， 所以3sin α－cos α＝， 则(3sin α－)2＝cos2α， 整理得(sin α－3)2＝0，解得sin α＝. 所以cos 2β＝cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝. 答案　　 学科网（北京）股份有限公司 $$