训练(4) 两角和与差的三角函数-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(四)　两角和与差的三角函数 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和的余弦 cos(α＋β)＝______________ Cα＋β α，β∈R 两角差的余弦 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β Cα－β 两角和的正弦 sin(α＋β)＝______________ Sα＋β α，β∈R 两角差的正弦 sin(α－β)＝________________ Sα－β 两角和的正切 tan(α＋β)＝ Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β)＝ Tα－β α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 一、选择题 1.sin 105°cos 75°－cos 105°sin 75°的化简结果是(　　) A.－ B. C.－ D. 2.若tan α＝，tan β＝－，则tan(α＋β)＝(　　) A.－ B. C. D.－ 3.设α∈，若sin α＝，则cos等于(　　) A. B. C.－ D.－ 4.已知tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)的值为(　　) A.－ B.－ C.－ D. 5.若sin α＝，且α∈，则tan＝(　　) A.－ B. C.7 D. 6.函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期是(　　) A. B. C.π D.2π 7.sin 162°sin 78°－cos 18°cos 102°＝(　　) A. B.－ C. D.－ 8.已知cos α＝，cos(β－α)＝，且0＜β＜α＜π，则cos β＝(　　) A.－ B.－ C. D. 9.函数f(x)＝sin－sin是(　　) A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数 10.已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 二、填空题 11.cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝________. 12.函数y＝sin x＋cos x，x∈的最小值是________. 13.已知α∈，cos α＝，则cos＝________. 14.＝________. 三、解答题 15.已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α＋β)＝－2，求sin(α－β)的值. 16.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α，β的终边与单位圆分别交A，，B－，两点. (1)求cos(α＋β)的值； (2)若α∈，β∈，求2α－β的值. 1.若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2 cossin β，则(　　) A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1 C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1 2.若函数f(x)＝Asin x－cos x的一个零点为，则A＝________；f＝________. 答案 训练(四)　两角和与差的三角函数 [知识整合] cos αcos β－sin αsin β　sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β [知能演练] 1.B　sin 105°cos 75°－cos 105°sin 75°＝sin(105°－75°)＝sin 30°＝.故选B. 2.C　tan(α＋β)＝＝＝，故选C. 3.B　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝，所以原式＝ ＝cos α＋sin α＝＋＝. 4.B　tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)] ＝－＝－ ＝－. 5.D　若sin α＝，且α∈， 则cos α＝－＝－＝－， 所以tan α＝＝＝－， 故tan＝＝ ＝. 故选D. 6.C　因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以最小正周期T＝＝π.故选C. 7.A　sin 162°sin 78°－cos 18°cos 102°＝sin 18°sin 78°＋cos 18°cos 78°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝. 8.D　∵cos α＝，cos(β－α)＝， 且0＜β＜α＜π， ∴－π＜β－α＜0，sin α＝ ＝， ∴sin(β－α)＝－＝－， ∴cos β＝cos[(β－α)＋α] ＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝×－×＝. 9.B　因为f(x)＝sin－sin ＝sin xcos＋cos xsin－sin xcos＋cos x·sin＝cos x， 所以函数f(x)的最小正周期为＝2π. 又f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝f(x)，且其定义域为R，所以函数f(x)为偶函数. 10.D　2tan θ－tan＝2tan θ－＝7， 解得tan θ＝2.故选D. 11.解析　原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]＝cos 30°＝. 答案　 12.解析　因为y＝sin x＋cos x，x∈， 所以y＝2sin， 因为x∈，故x＋∈， 所以≤sin≤1,1≤2sin ≤2， 即y＝sin x＋cos x，x∈的最小值为1. 答案　1 13.解析　∵α∈，cos α＝， ∴sin α＝. ∴cos＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝－. 答案　－ 14.解析　＝tan 30°＝×＝. 答案　 15.解析　由α为锐角，cos α＝， 得sin α＝＝. 所以tan α＝. tan β＝tan(α＋β－α)＝＝＝2， 由题意及同角三角函数的基本关系可得 sin β＝，cos β＝， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ ×－×＝－. 16.解析　(1)由A，B， 得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝， 则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－. (2)由已知得cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝－， sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝. ∵cos 2α＜0，α∈，∴2α∈， ∵β∈，∴2α－β∈， 则sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝×－×＝－， ∴2α－β＝－. [提升演练] 1.C　法一　设β＝0，则sin α＋cos α＝0， 取α＝π，排除A，B；再取α＝0， 则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除D；选C. 法二　由sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝sin ＝sin ＝sincos β＋cossin β， 故sincos β＝cossin β， 故sincos β－cossin β＝0， 即sin＝0， 故sin＝sin(α－β)＋cos(α－β)＝0， 故sin(α－β)＝－cos(α－β)，故tan(α－β)＝－1. 故选C. 2.解析　f＝Asin－cos＝A－＝0， 解得A＝1. f(x)＝sin x－cos x＝2sin， 故f＝2sin＝2sin＝－. 答案　1　－ 学科网（北京）股份有限公司 $$