训练(3) 向量基本定理及坐标表示-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(三)　向量基本定理及坐标表示 基本概念 内容 平面向量基本定理 (1)如果e1，e2是同一平面内的两个________的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，_______一对实数λ1，λ2，使a＝________. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔____________ 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则 a＋b＝________________，a－b＝________________， λa＝________________，|a|＝________________. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________，||＝______________ 一、选择题 1.已知向量e1，e2不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是(　　) A.e1－e2与e2－e1 B.2e1－3e2与e1－e2 C.－e1－2e2与2e1＋4e2 D.e1－2e2与2e1－e2 2.设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是(　　) A.e1＋2e2和e1－e2 B.4e1＋2e2和2e2－4e1 C.e1－2e2和4e2－2e1 D.2e1＋e2和e1＋2e2 3.已知向量a＝(1，)，b＝(－2,2)，则a与b的夹角是(　　) A. B. C. D. 4.已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，).若a－2b与c共线，则k＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零实数λ，使得a＝λ(a＋b)，则t＝(　　) A.6 B.－6 C.－ D. 6.如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的中点，则＝(　　) A.－＋ B.＋ C.＋ D.－ 7.已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A.(－23，－12) B.(23,12) C.(7,0) D.(－7,0) 8.如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 9.已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　) A.－a＋b B.a－b C.－a－b D.－a＋b 10.(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 二、填空题 11.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________. 12.已知向量a，b满足a＝(1，)，|b|＝a·b＝2，则满足条件的一个向量b＝________. 13.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________. 14.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是________. 三、解答题 15.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标. 16.已知＝(4,0)，O＝(2,2)，O＝(1－λ )O＋λ(λ2≠λ). (1)求O·O及O在O上的投影向量； (2)证明A，B，C三点共线，当A＝B时，求λ的值； (3)求|O|的最小值. 1.在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A.[－5,3] B.[－3,5] C.[－6,4] D.[－4,6] 2.已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为________. 答案 训练(三)　向量基本定理及坐标表示 [知识整合] 不共线　有且只有　λ1e1＋λ2e2　x1y2－x2y1＝0 (x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1)　　(x2－x1，y2－y1) [知能演练] 1.D　只要两向量不共线便可作为基底，故对于A选项，e1－e2＝－，共线，不满足； 对于B选项，2e1－3e2＝2，共线，不满足； 对于C选项，2e1＋4e2＝－2共线，不满足； 对于D选项，e1－2e2与2e1－e2不共线，故满足.故选D. 2.C　因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，所以e1－2e2与4e2－2e1是共线向量，不可以作为基底. 3.C　设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 又θ∈[0，π]，则θ＝. 故选C. 4.A　a－2b＝(，3)，∵a－2b与c共线， ∴()2－3·k＝0，∴k＝1. 故选A. 5.B　∵a＝(3，t)，b＝(－1,2)， ∴a＋b＝(2,2＋t). ∵a＝λ(a＋b)， ∴(3，t)＝λ(2,2＋t)＝(2λ，2λ＋tλ)， ∴2λ＝3,2λ＋tλ＝t，∴λ＝，t＝－6. 6.B　由题可得＝＋＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋. 故选B. 7.A　由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)， 所以解得 所以c＝(－23，－12). 8.D　∵在△ABC中，BE是边AC上的中线， ∴＝.∵O是边BE的中点， ∴＝(＋)＝＋＝a＋b. 9.B　设c＝λa＋μb， ∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴∴ ∴c＝a－b.故选B. 10.AC　平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图， 对于A，与不共线，可作为基底；对于B，与为共线向量，不可作为基底；对于C，与是两个不共线的向量，可作为基底；对于D，与在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底. 11.解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案　a＋b 12.解析　设b＝(x，y)， ∵向量a，b满足a＝(1，)，|b|＝a·b＝2， ∴x＋y＝2且＝2， ∴或 ∴b＝(2,0)或(－1，). 答案　(2,0)或(－1，) 13.解析　由题意得2a＋b＝(4,2)， 因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)， 所以4λ－2＝0，解得λ＝. 答案　 14.解析　＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(－2k，－2). ∵A，B，C三点共线，∴，共线， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－. 答案　－ 15.解析　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)， c＝(1,8). (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)∵a＝(5，－5)， mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)设O为坐标原点， ∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20). ∴M(0,20).又＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴＝(9，－18). 综上可知，M(0,20)，N(9,2)，＝(9，－18). 16.解析　(1)O·O＝8， 设O与O的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 设e为与O同向的单位向量，则e＝， 所以O在O上的投影向量为 |O|cos θ e＝4×e＝2e＝(1，). (2)A＝O－O＝(－2,2)， B＝O－O＝(1－λ)O－(1－λ)O＝(λ－1)A， 因为A与B有公共点B， 所以A，B，C三点共线. 当A＝B时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)|O|2＝(1－λ)2O2＋2λ(1－λ)O·O＋λ2O2＝16λ2－16λ＋16＝162＋12. 所以当λ＝时，|O|取到最小值2. [提升演练] 1.D　建立如图所示坐标系， 由题易知，C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，∵PC＝1， ∴设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]， 则·＝(3－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，4－sin θ) ＝－3cos θ－4sin θ＋cos2θ＋sin2θ ＝1－5sin(θ＋φ)sin φ＝，cos φ＝∈[－4,6]， 故选D. 2.解析　由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)， a－b＝(－7,2＋2λ)， ∵(a＋2b)∥(a－b)， ∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0， 解得λ＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$