广东省清远市华侨中学2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（五）立体几何2

清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 2023—2024学年度第二学期高一数学暑假作业（五）立体几何2 班别：____________ 姓名：_____________ 座号：__________ 得分：________ A组基础巩固 一、单选题 1．平面与平面平行的充分条件可以是（ ） A. 内有无穷多条直线都与平行 B. 直线，，且直线a不在内，也不在内 C. 直线，直线，且， D. 内的任何一条直线都与平行 2.若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是 A. 内的所有直线都与直线a异面 B. 内不存在与a平行的直线 C. 内的直线都与a相交 D. 直线a与平面有公共点 3.已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 4.设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　) A.6 cm B.6 cm C.2 cm D.3 cm 二、多选题 7.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，成立的是(　　) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 8.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9.已知平面和直线a，b,c，，则与的位置关系是________. 10.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________. 四、解答题 11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图． （1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD； （2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的 交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC. 12.如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求： （1）BE与CG所成的角；（2）FO与BD所成的角． 13.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F． （1）求证：PC⊥平面AEF； （2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD． B组能力提升 一、单选题 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为(　　) A. B. C. D. 2..如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（    ） A．EF平面 B． C．EF与AD1所成角为60° D．EF与平面所成角的正弦值为 二、多选题 3.三棱锥中，平面平面ABC，，，则（    ） A． B．三棱锥的外接球的表面积为 C．点A到平面SBC的距离为 D．二面角的正切值为 三、填空题 4.如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号是　_______________． 四、解答题 5.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． （1）证明：PB∥平面AEC； （2）设AP＝1，AD＝，三棱锥P­ABD的体积V＝， 求A到平面PBC的距离． 6.如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.(1)当点M与端点D重合时，证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值. C组知识拓展 1.已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC． 2023—2024学年度第二学期高一数学暑假作业（五）参考答案 A组基础巩固 1．【解析】A选项，内有无穷多条直线都与平行，并不能保证平面内有两条相交直线与平面平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；B选项,直线，，且直线a不在内，也不在内,直线a可以是平行平面与平面的相交直线，故不能保证平面与平面平行，故B错误；C选项, 直线，直线，且，,当直线，同样不能保证平面与平面平行，故C错误；D选项, 内的任何一条直线都与平行,则内至少有两条相交直线与平面平行，故平面与平面平行; 故选:D. 2.【解析】直线不平行于，包括两种情况：或，当时，内的所有直线都与直线共面，A错；当时，内必然有直线与直线平行， B错；从而C也错；当，直线和平面有无数个公共点，当，直线与平面有唯一公共点，D正确. 考点：直线和平面的位置关系. 3.【解析】选项A中，,，得到和还有可能平行，所以错误； 选项B中，，，，不一定得到，所以错误； 选项C中，，和可能平行也可能相交，所以错误； 选项D中，由知内必有直线，因为，所以， 又因为，所以得到，所以正确．故选：D 4.【解析】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A． 5.【解析】，，则可能平行，错；，，由线面平行的性质可得，正确；，，则， 与异面；错，，，与可能平行、相交、异面，错，.故选B. 6.【解析】设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知πr2×r＝π×22×6，得r＝2， ∴水面的高度是×2＝6(cm). 7.【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l. ∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确. ∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确. ∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α. ∴AB⊄β，l⊂β，∴AB∥β.故C也正确. ∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立， 当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立. 故D不一定成立. 8.【解析】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，， 则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 9.【解析】若αβ,可以保证存在直线a,b,c,且abc，a⊂α，b，c⊂β，故平行关系有可能；若α∩β=l,且abcl,此种情况下也能保证存在直线a,b,c,且abc，a⊂α，b，c⊂β，故两面相交也有可能，由上讨论知，在题设条件下，α与β的关系是平行或相交，故答案为：平行或相交. 10.【解析】如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD. 因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角. 由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝BD， 又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°. 11.【解析】证明：（1）因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D 平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD. （2）如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E. 因为AO1平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点． 连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC. 因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC. 12.【解析】（1）因为CG∥BF，所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°． （2）连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°． 13.【解析】（1）为矩形， 平面，BC平面 ， 又∵PA∩AB＝A，PA与AB平面PAB，平面 又∵AE平面PAB 又，PB∩BC＝B，PB与BC平面PBC， 平面， ∵PC平面PBC 又，，AE与AF平面AEF 平面； （2）为矩形 平面 平面 平面 平面 B组能力提升 1.【解析】如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，设AC、BD交于O，连A1O， ∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O， ∴∠A1OA为二面角的平面角． 在中，. 即截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于．选C． 2..【解析】对于A，连接BD1，在中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B， 又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，∴EF平面ABC1D1，故A正确； 对于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB， 又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正确； 对于C，由，得EF与AD1所成角为. 在中，，所以， 所以EF与AD1所成角不为60°，故C错误； 对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角， 在中，，所以，故D正确．故选：C． 3.【解析】对于A，因为平面平面ABC，，即，平面平面，平面SAB，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以，故A正确； 对于B，因为，，，所以平面SAB，因为平面SAB， 所以.又平面ABC，平面ABC，所以，即， 所以三棱锥外接球的直径为SC.因为，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积，故B错误； 对于C，因为平面SAB，平面SBC，所以平面平面SBC，过点A作，交SB于点G，根据面面垂直的性质定理，可得平面SBC，故点A到平面SBC的距离为AG，由，，得，则， 则，故C错误；对于D，，，所以∠SBA为二面角的平面角，在中，，故D正确；故选：AD. 4.【解析】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确； 因为水面EFGH所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形EFGH的面积是变化的，③不对； 因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以④正确； 因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变 ，即BE•BF是定值， 所以⑤正确；综上知①②④⑤正确， 故填①②④⑤. 5.【解析】(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO 因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点． 又点E为PD的中点，所以EO∥PB． 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC． （2）作AH⊥PB于点H． PA⊥平面ABCD, 又ABCD为矩形，, AP＝1，AD＝, ， 由，可得AB＝． 由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．因为 ，所以 . 6.【解析】（1）当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知上平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面 （2）矩形中作，垂足为点O，折起后得，    由平面，平面，可得，所 平面，，所以平面， 平面，可得，所以A，O，E三点共线， 因此与相似，满足， 设，所以，，，，，要使点射影落在线段上，则，所以， 所以， 当时，. （3）过点做交于，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 由（2）可知平面，平面，所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面，可得平面， 连接，是直线与平面所成的角，即， 由题意可得，， 因为，，所以是二面角平面角，即，， ，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值为. C组知识拓展 1.【解析】证明:如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC， 又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC． 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 因为ADPA＝A，所以BC⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 1 2023—2024 学年度第二学期高一数学暑假作业（五）立体几何 2 班别：____________ 姓名：_____________ 座号：__________ 得分：________ A 组基础巩固 一、单选题 1．平面 与平面 平行的充分条件可以是（ ） A.  内有无穷多条直线都与  平行 B. 直线 / /a  ， / /a  ，且直线 a不在 内，也不在 内 C. 直线 a  ，直线b  ，且 / /a  ， / /b  D.  内的任何一条直线都与  平行 2.若直线 a不平行于平面 ,则下列结论成立的是 A. 内的所有直线都与直线 a异面 B. 内不存在与 a平行的直线 C. 内的直线都与 a相交 D. 直线 a与平面 有公共点 3.已知直线 ,a b与平面 , ,   ，能使  的充分条件是（ ） A. ,     B. , ,a b a b      C. / / , / /a a  D. / / ,a a  4.设 l,m,n均为直线，其中 m,n在平面 内，“l ”是“l m且 l n”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设 l，m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若 l m ，m  ，则 l  B. 若 l  ， //l m，则m  C. 若 / /l  ，m  ，则 //l m D. 若 / /l  ， / /m  ，则 //l m 6.将若干毫升水倒入底面半径为 2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为 6 cm，若将这些水倒入轴截 面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( ) A.6 3 cm B.6 cm C.2 3 18 cm D.3 3 12 cm 二、多选题 7.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点 A∈α，A∉l，直线 AB∥l，直线 AC⊥l，直线 m∥α，m∥β，则下 列四种位置关系中，成立的是( ) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 2 8.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN OP 的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 9.已知平面 ,  和直线 a，b,c， / / / / , , ,a b c a b c     ，则 与  的位置关系是________. 10.空间四边形 ABCD中，平面 ABD⊥平面 BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且 AB＝AD，则 AC 与平面 BCD所成的角是________. 四、解答题 11.在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，如图． （1）求证：平面 AB1D1∥平面 C1BD； （2）试找出体对角线 A1C与平面 AB1D1和平面 C1BD的 交点 E，F，并证明：A1E＝EF＝FC. 12.如图，在正方体 ABCD­EFGH中，O为侧面 ADHE的中心．求： （1）BE与 CG所成的角；（2）FO与 BD所成的角． 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 3 13.如图，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD为矩形，AE⊥PB于点 E，AF⊥PC于点 F． （1）求证：PC⊥平面 AEF； （2）设平面 AEF交 PD于点 G，求证：AG⊥PD． B 组能力提升 一、单选题 1.在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，截面 A1BD与底面 ABCD所成二面角 A1－BD－A的正切值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2..如图，在棱长为 2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是 DD1，DB的中点，则下列选项中 错误的是（ ） A．EF //平面 1 1ABC D B． 1EF BC C．EF与 AD1所成角为 60° D．EF与平面 1 1BBCC所成角的正弦值为 3 3 二、多选题 3.三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面 ABC， 3 90SAB ABC BAC     ， 2SA AC  ，则（ ） A． SA BC B．三棱锥 S ABC 的外接球的表面积为 8 3  C．点 A到平面 SBC的距离为 3 6 D．二面角 S BC A  的正切值为 2 3 3 三、填空题 4.如图，透明塑料制成的长方体 ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于水平地面上， 再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； ④棱 A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE•BF 是定值．其中所有正确命 题的序号是 _______________． 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 4 四、解答题 5.如图，四棱锥 P­ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD，E为 PD的中点． （1）证明：PB∥平面 AEC； （2）设 AP＝1，AD＝ 3，三棱锥 P­ABD的体积 V＝ 3 4 ， 求 A到平面 PBC的距离． 6.如图，在矩形 ABCD中， 1AB  ， 3BC  ，M是线段 AD上的一动点，将 ABM 沿着 BM折起， 使点 A到达点 A的位置，满足点 A平面 BCDM 且点 A在平面 BCDM 内的射影 E落在线段 BC上.(1) 当点 M与端点 D重合时，证明： A B 平面 ACD ； (2)求三棱锥 E A BM 的体积的最大值； (3)设直线 CD与平面 A BM 所成的角为 ，二面角 A BM C   的平面角为  ，求 2sin cos   的最 大值. C 组知识拓展 1.已知 P是△ABC所在平面外的一点，且 PA⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 PBC，求证：BC⊥AC． 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 5 2023—2024 学年度第二学期高一数学暑假作业（五）参考答案 A 组基础巩固 1．【解析】A选项， 内有无穷多条直线都与  平行，并不能保证平面 内有两条相交直线与平面  平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故 A错误；B选项,直线 / /a  ， / /a  ，且直线 a不 在 内，也不在  内,直线 a可以是平行平面 与平面  的相交直线，故不能保证平面 与平面  平行，故 B错误；C选项, 直线 a  ，直线b  ，且 / /a  ， / /b  ,当直线 a b∥ ，同样不能 保证平面 与平面 平行，故 C错误；D选项,  内的任何一条直线都与  平行,则 内至少有两 条相交直线与平面  平行，故平面 与平面  平行; 故选:D. 2.【解析】直线 不平行于 ，包括两种情况： 或 ，当 时， 内的所有直 线都与直线 共面，A错；当 时， 内必然有直线与直线 平行，B错；从而C也错；当 ， 直线和平面有无数个公共点，当 ，直线 与平面 有唯一公共点，D正确. 考点：直线和平面的位置关系. 3.【解析】选项 A中，  ,   ，得到 和  还有可能平行，所以错误； 选项 B中， a   ，b a ，b  ，不一定得到  ，所以错误； 选项 C中， / / , / /a a  ， 和 可能平行也可能相交，所以错误； 选项 D中，由 / /a  知 内必有直线 / /l a，因为 a  ，所以 l  ， 又因为 l  ，所以得到  ，所以正确．故选：D 4.【解析】设 l,m,n均为直线，其中 m,n在平面 内，“l ”，则“l m且 l n”，反之若“l m且 l n”，当 m//n时，推不出“l ”，∴ “l ”是“l m且 l n”的充分不必要条件，选 A． 5.【解析】l m ，m  ，则 ,l  可能平行，A错；l  ， //l m，由线面平行的性质可得m  ， B正确； / /l  ，m  ，则 //l m， l与m异面；C错， / /l  ， / /m  ， l与m可能平行、相 交、异面，D错，.故选 B. 6.【解析】设圆锥中水的底面半径为 r cm，由题意知 1 3 πr2× 3r＝π×22×6，得 r＝2 3， ∴水面的高度是 3×2 3＝6(cm). 7.【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l. ∵AB∥l，∴AB∥m.故 A 一定正确. 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 6 ∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故 B 一定正确. ∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α. ∴AB⊄ β，l⊂β，∴AB∥β.故 C 也正确. ∵AC⊥l，当点 C 在平面α内时，AC⊥β成立， 当点 C 不在平面α内时，AC⊥β不成立. 故 D不一定成立. 8.【解析】设正方体的棱长为 2，对于 A，如图（1）所示，连接 AC，则 //MN AC，故 POC （或其 补角）为异面直线 ,OP MN所成的角，在直角三角形OPC， 2OC  ， 1CP  ，故 1 2tan 22 POC   ， 故MN OP 不成立，故 A错误. 对于 B，如图（2）所示，取 NT 的中点为Q，连接 PQ，OQ， 则OQ NT ， PQ MN ， 由正方体 SBCM NADT 可得 SN 平面 ANDT，而OQ 平面 ANDT， 故 SN OQ ，而 SN MN N ，故OQ 平面 SNTM ， 又MN  平面 SNTM ，OQ MN ，而OQ PQ Q ， 所以MN 平面OPQ，而 PO 平面OPQ，故MN OP ，故 B正确. 对于 C，如图（3），连接 BD，则 //BD MN，由 B的判断可得OP BD ， 故OP MN ，故 C正确. 对于 D，如图（4），取 AD的中点Q，AB的中点K，连接 , , , ,AC PQ OQ PK OK 则 //AC MN， 因为 DP PC ，故 //PQ AC，故 //PQ MN ， 所以 QPO 或其补角为异面直线 ,PO MN 所成的角， 因为正方体的棱长为 2，故 1 2 2 PQ AC  ， 2 2 1 2 3OQ AO AQ     ， 2 2 4 1 5PO PK OK     ， 2 2 2QO PQ OP  ，故 QPO 不是直角， 故 ,PO MN 不垂直，故 D错误. 故选：BC. 9.【解析】若α / / β,可以保证存在直线 a,b,c,且 a / / b / / c，a⊂α，b，c⊂β，故平行关系有可能；若α∩β=l, 且 a / / b / / c / / l,此种情况下也能保证存在直线 a,b,c,且 a / / b / / c，a⊂α，b，c⊂β，故两面相交也有 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 7 可能，由上讨论知，在题设条件下，α与β的关系是平行或相交，故答案为：平行或相交. 10.【解析】如图所示，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO. 因为 AB＝AD，所以 AO⊥BD，又平面 ABD⊥ 平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，AO⊂平面 ABD，所以 AO⊥平面 BCD. 因此，∠ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成的角. 由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以 AO＝OC＝ 1 2 BD， 又 AO⊥OC，所以∠ACO＝45°. 11.【解析】证明：（1）因为在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD // B1C1， 所以四边形 AB1C1D是平行四边形，所以 AB1∥C1D.又因为 C1D 平面 C1BD，AB1平面 C1BD， 所以 AB1∥平面 C1BD.同理，B1D1∥平面 C1BD.又因为 AB1∩B1D1＝B1，AB1平面 AB1D1，B1D1 平面 AB1D1，所以平面 AB1D1∥平面 C1BD. （2）如图，设 A1C1与 B1D1交于点 O1，连接 AO1，与 A1C交于点 E. 因为 AO1平面 AB1D1，所以点 E也在平面 AB1D1内，所以点 E就是 A1C与平面 AB1D1的交点． 连接 AC交 BD于 O，连接 C1O与 A1C交于点 F，则点 F就是 A1C与 平面 C1BD的交点．下面证明 A1E＝EF＝FC. 因为平面 A1C1CA∩平面 AB1D1＝EO1，平面 A1C1CA∩ 平面 C1BD＝C1F，平面 AB1D1∥平面 C1BD，所以 EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是 A1C1的中点， 所以 E是 A1F的中点，即 A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以 A1E＝EF＝FC. 12.【解析】（1）因为 CG∥BF，所以∠EBF（或其补角）为异面直线 BE与 CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以 BE与 CG所成的角为 45°． （2）连接 FH，因为 HD∥EA，EA∥FB，所以 HD∥FB，又 HD＝FB，所以四边形 HFBD为平行四 边形．所以 HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线 FO与 BD所成 的角．连接 HA，AF，易得 FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又 知 O为 AH的中点，所以∠HFO＝30°，即 FO与 BD所成的角为 30°． 13.【解析】（1） ABCD 为矩形， BC AB  PA  平面 ABCD，BC平面 ABCD BC PA  ， 又∵PA∩AB＝A，PA与 AB平面 PAB， BC 平面 PAB 又∵AE平面 PAB AE BC  又 AE PB ，PB∩BC＝B，PB与 BC平面 PBC， AE 平面 PBC， ∵PC平面 PBC AE PC  又 AF PC ， AE AF A∩ ，AE与 AF平面 AEF PC 平面 AEF ； （2） ABCD 为矩形 CD AD  PA  平面 ABCD CD PA  CD PA 平面 PAD CD AG  PC  平面 AEF PC AG  AG 平面 PCD AG PD  清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 8 B 组能力提升 1.【解析】如图，在正方体 A1B1C1D1－ABCD中，设 AC、BD交于 O，连 A1O， ∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面 AA1O，∴BD⊥A1O， ∴∠A1OA为二面角的平面角． 在 1Rt AOA 中， 11 2 A Atan AOA AO    . 即截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1－BD－A 的正切值等于 2．选 C． 2..【解析】对于 A，连接 BD1，在 1DD B 中，E、F分别为 D1D、DB的中点，则 EF //D1B， 又∵D1B平面 ABC1D1，EF平面 ABC1D1，∴EF //平面 ABC1D1，故 A正确； 对于 B，∵ AB 平面 1 1BCC B ， 1B C 平面 1 1BCC B ，∴B1C⊥AB， 又 B1C⊥BC1，AB平面 ABC1D1，BC1平面 ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面 ABC1D1，又∵BD1平面 ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而 EF // BD1，∴EF⊥B1C，故 B正确； 对于 C，由 1//EF BD ，得 EF与 AD1所成角为 1AD B∠ . 在 1Rt BAD△ 中， 12, 2 2AB AD  ，所以 1 2 2tan 3 22 2 AD B    ， 所以 EF与 AD1所成角不为 60°，故 C错误； 对于 D，由 1//EF BD ，且 1 1DC 平面 1 1BBCC，所以 1 1D BC 为 EF与平面 BB1C1C所成的角， 在 1 1Rt DC B△ 中， 1 1 1 12, 2 2, 2 3DC BC BD   ，所以 1 1 2 3sin 32 3 D BC   ，故 D正确．故选：C． 3.【解析】对于 A，因为平面 SAB 平面 ABC， 90SAB  ，即 SA AB ，平面 SAB 平面 ABC AB ， SA平面 SAB，所以 SA平面 ABC，又因为 BC 平面 ABC，所以 SA BC ，故 A正确； 对于 B，因为 SA BC ， AB BC ， SA AB A  ，所以 BC 平面 SAB，因为 SB平面 SAB， 所以 BC SB .又 SA平面 ABC， AC 平面 ABC，所以 SA AC ，即 90SAC SBC   ， 所以三棱锥 S ABC 外接球的直径为 SC.因为 2SA AC  ，所以 2 2 2 2SC SA AC   ， 所以三棱锥 S ABC 的外接球的表面积   2 2 4 4 2 8 2 SCS          ，故 B错误； 对于 C，因为 BC 平面 SAB，BC 平面 SBC，所以平面 SAB 平面 SBC，过点 A作 AG SB ，交 SB于点 G，根据面面垂直的性质定理，可得 AG 平面 SBC，故点 A到平面 SBC的距离为 AG，由 3 90ABC BAC    ， 2AC  ，得 3AB  ，则  222 3 7SB    ， 则 3 2 2 21 77 AB SAAG SB      ，故 C错误；对于 D，SB BC ， AB BC ，所以∠SBA为二面角 S BC A  的平面角，在 Rt SAB 中， 2 2 3tan 33 SASBA AB     ，故 D正确；故选：AD. 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 9 4.【解析】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线 也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确； 因为水面 EFGH所在四边形，从图 2，图 3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随 倾斜度变化而变化，所以水面四边形 EFGH的面积是变化的，③不对； 因为棱 1 1AD 始终与 BC平行， BC与水面始终平行，所以④正确； 因为水的体积是不变的，高始终是 BC也不变，所以底面积也不会变 ，即 BE•BF 是定值， 所以⑤正确；综上知①②④⑤正确， 故填①②④⑤. 5.【解析】(1)证明：如图，设 BD与 AC的交点为 O，连接 EO 因为四边形 ABCD为矩形，所以点 O为 BD的中点． 又点 E为 PD的中点，所以 EO∥PB． 因为 EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC． （2）作AH⊥PB于点H． PA⊥平面ABCD, ,PA BC PA AB  又ABCD为矩形，AD AB , AP＝1，AD＝ 3 , 1 3 6 6 V AP AB AD AB    ， 由 3 4 V  ，可得 AB＝ 3 2 ． 由题设知 BC⊥平面 PAB，所以 BC⊥AH，故 AH⊥平面 PBC，即 AH的长就是点 A到平面 PBC的距 离．因为 2 2 13 2 PB AP AB   ，所以 3 13 13 AP ABAH PB    . 6.【解析】（1）当点 M与端点 D重合时，由 90BAD   可知 A B A D  ， 由题意知 A E 上平面 BCD，CD平面 BCD，所以  A E CD， 又 BC CD ， A E BC E  ， AE 平面 A BC ， BC 平面 A BC ， 所以CD 平面 A BC ，又 A B 平面 A BC ，可知 A B CD  A D CD D  ，CD平面 ACD ， A D 平面 ACD ， 所以 A B 平面 ACD （2）矩形中作 AO BM ，垂足为点 O，折起后得 A O BM  ， 由 A E 平面 BCD， BM  平面 BCD，可得 A E BM  ，所 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 10 ,A E A O  平面 A OE ， A E A O A   ，所以 BM 平面 A OE ， OE 平面 A OE ，可得 BM OE ，所以 A，O，E三点共线， 因此 ABE 与 ABM 相似，满足 AB AM BE AB  ， 设 AM t ，所以 1BE t  ， 2 1BM t  ， 2 1 1 OE t t   ， 2 1 tAO A O t    ， 2 2 2 1tA E A O OE t     ，要使点 A射影 E落在线段 BC上，则 AO OE ，所以 1, 3t  ， 所以 22 2 4 2 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 3 6 6 6 2E A BM A BEM BEM tV V A E S t t t t t                     ， 当 2t  时，  max 1 12E A BM V    . （3）过点 E做 //EQ CD交 BM于Q，所以直线 EQ与平面 A BM 所成的角即为直线CD与平面 A BM 所 成的角， 由（2）可知 BM 平面 A OE ， BM  平面 A BM ，所以平面 A BM 平面 A OE ， 作 EH A O ，垂足为H，平面 A BM 平面 A OE A O  ，EH 平面 A OE ，可得 EH 平面 A BM ， 连接HQ， EQH 是直线 EQ与平面 A BM 所成的角，即 EQH   ， 由题意可得 2 3 1tEH t   ， 2 1EQ t  ， 2 2 2 1sin 1EH EQ t          因为 A O BM  ，OE BM ，所以 A OE 是二面角 A BM C   平面角，即 A OE   ， 2 1cos OE A O t     ， 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1sin cos 1 2 44t t t                      ，当且仅当 2t  时“＝”成立， 故 2sin cos   的最大值为 1 4 . C 组知识拓展 1.【解析】证明:如图，在平面 PAC内作 AD⊥PC于点 D，因为平面 PAC⊥平面 PBC，平面 PAC平 面 PBC＝PC，AD⊂平面 PAC，且 AD⊥PC，所以 AD⊥平面 PBC， 又 BC⊂平面 PBC，所以 AD⊥BC． 因为 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以 PA⊥BC， 因为 ADPA＝A，所以 BC⊥平面 PAC， 又 AC⊂平面 PAC，所以 BC⊥AC．