训练(2) 向量的数量积-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(二)　向量的数量积 基本概念 内容 向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角. (2)共线与垂直 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.当θ＝时，a与b垂直 投影向量 设a，b是两个非零向量，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量 向量的数量积 a·b＝|a||b|cos θ 向量数量积 的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则 (1)0·a＝0. (2)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (3)a⊥b⇔____________. (4)当a与b同向时，a·b＝|a||b|. 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝______或者|a|＝______. (5)cos θ＝________. (6)a·b≤________ 向量数量积 的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 一、选择题 1.在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝(　　) A.20 B.－20 C.20 D.－20 2.已知|a|＝2，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝(　　) A.0 B.－2 C.－ D.2 3.已知向量|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，则|a＋b|为(　　) A.9 B.7 C.3 D. 4.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为(　　) A. B. C. D. 5.已知a，b为两个不共线的向量，若向量c，d满足b＋c＝2a，a＋d＝2b，且|c－d|＝3，a·b＝2c·d，则|a＋b|＝(　　) A. B.4 C. D.2 6.在△ABC中，BC＝7，AC＝8，M为AB的中点，＝2，BQ交CM于N，则·＝(　　) A.－6 B.－3 C.3 D.6 7.已知m，n为两个非零向量，则“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b 9.(多选)下面四个结论正确的是(　　) A.向量a，b(a≠0，b≠0)，若a⊥b，则a·b＝0 B.若空间四个点P，A，B，C，＝＋，则A，B，C三点共线 C.已知向量a＝(－1，－2)，b＝(2，x)，若x＞－1，则〈a，b〉为钝角 D.任意向量a，b，c满足(a·b)·c＝a·(b·c) 10.(多选)在△ABC中，下列命题正确的是(　　) A.－＝ B.＋＋＝0 C.若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形 D.若·＞0，则△ABC为锐角三角形 二、填空题 11.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 12.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝______. 13.已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________. 14.已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 三、解答题 15.已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9. (1)求向量a与b的夹角θ； (2)求向量a在a＋b方向上的投影的数量. 16.在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，C＝2P. (1)若四边形ABCD是矩形，求A·B的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且A·B＝6，求A与A夹角的余弦值. 1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 2.设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 答案 训练(二)　向量的数量积 [知识整合] a·b＝0　|a|2　　　|a||b| x1x2＋y1y2　　 x1x2＋y1y2＝0 [知能演练] 1.B　·＝||||cos 120°＝5×8×＝－20. 2.B　因为|a|＝2，|b|＝1，所以a2＝4，b2＝1， 又a－b与a＋2b互相垂直， 所以(a－b)·(a＋2b)＝a2－2b2＋a·b＝4－2·1＋a·b＝2＋a·b＝0， 所以a·b＝－2，故选B. 3.D　依题意得|a＋b|＝＝＝＝.故选D. 4.B　∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7， ∴a·b＝－， ∴cos θ＝＝－. 又θ∈[0，π]，∴θ＝.故选B. 5.A　因为b＋c＝2a，a＋d＝2b， 所以c＝2a－b，d＝2b－a， a＋b＝c＋d，c－d＝3(a－b)， c·d＝5a·b－2a2－2b2， 因为|c－d|＝3，所以|a－b|＝1， 又a·b＝2c·d， 所以a·b＝2(5a·b－2a2－2b2)， 所以a·b＝4(－2a·b＋a2＋b2)＝4|a－b|2＝4， 所以|a＋b|2＝|a－b|2＋4a·b＝1＋4×4＝17， 所以|a＋b|＝，故选A. 6.A　设＝k·＝k·(＋)＝·＝＋， 因为B，N，Q三点共线，所以＋＝1， 解得k＝， 所以·＝·＝×(＋)·(－)＝(2－2)＝(72－82)＝－6， 故选A. 7.B　设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则＜θ＜π，则cos θ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m||n|＜0成立，但m，n的夹角不为钝角.故“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B. 8.D　由题意得|a|＝|b|＝1，a，b的夹角θ＝60°， 故a·b＝|a||b|cos θ＝. 对A项，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0； 对B项，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0； 对C项，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0； 对D项，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0. 故选D. 9.AB　C项中，x＝4时，两个向量共线，夹角为π，故C不正确；D项中，向量运算不满足结合律，D不正确.故选AB. 10.BC　∵－＝，∴A错误； ∵＋＋＝0，∴B正确， ∵(＋)·(－)＝2－2＝0， ∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形， ∴C正确；∵·＞0，∴A为锐角，但不能判断三角形的形状，∴D错误，故选BC. 11.解析　|a＋2b|2＝(a＋2b)2 ＝|a|2＋2|a||2b|cos 60°＋(2|b|)2 ＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12， 所以|a＋2b|＝＝2. 答案　2 12.解析　由题意知(ka－b)·a＝0， 即ka2－b·a＝0. 因为a，b为单位向量，且夹角为45°， 所以k×12－1×1×＝0，解得k＝. 答案　 13.解析　因为(2a－b)·(a＋b)＝6， 所以2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1， 所以a·b＝－1， 所以cos〈a，b〉＝＝－， 又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为. 答案　 14.解析　因为＝， 故＝，解得λ＝. 答案　 15.解析　(1)因为|a|＝2，|b|＝1， (2a－3b)·(2a＋b)＝9， 所以a2＝4，b2＝1,4a2－4a·b－3b2＝9， 所以a·b＝1， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 又θ∈[0°，180°]， 所以θ＝〈a，b〉＝60°. (2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7， |a＋b|＝， 所以向量a在a＋b方向上的投影的数量为＝＝＝. 16.解析　(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以A·D＝0， 由C＝2P， 得D＝D，C＝C＝－D. 所以A·B＝(A＋D)· ＝· ＝A2－A·D－D2 ＝36－×81＝18. (2)由题意得 A＝A＋D＝A＋D＝A＋A， B＝B＋C＝B＋C＝A－A， 所以A·B＝· ＝A2－A·A－A2 ＝36－A·A－18＝18－A·A. 又A·B＝6， 所以18－A·A＝6， 所以A·A＝36. 设与的夹角为θ， 则A·A＝|A||A|cos θ＝9×6×cos θ ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝. 所以A与A夹角的余弦值为. [提升演练] 1.C　由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，有4a·b＝4，故a·b＝1.选择C. 2.解析　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，又|a|＝1，|b|＝3， 所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11.故答案为11. 答案　11 学科网（北京）股份有限公司 $$