训练(1) 平面向量的概念及加、减、数乘运算-2024年高一数学暑假作业（江苏专版）

训练(一)　平面向量的概念及加、减、数乘运算 1.向量的有关概念 概念 定义 表示方法 向量 既有______又有______的量叫作向量.向量的____叫作向量的长度(或______)，记作|| 或a 零向量 __________的向量叫作零向量，其方向是__________.规定：零向量与任意向量______ 0 单位向量 长度等于______的向量，叫作单位向量 e 平行向量 方向______________的______向量叫作平行向量，也叫作__________，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上 a与b共线，记作______ 相等向量 长度______，且方向______的向量 a与b是相等向量，记作a＝b 相反向量 长度______，方向_____的向量 a的相反向量记作－a 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝________； 结合律：(a＋b)＋c＝________ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝________， 当λ＞0时，λa与a的方向______； 当λ＜0时，λa与a的方向______； 当λ＝0时，λa＝________ λ(μa)＝________； (λ＋μ)a＝________； λ(a＋b)＝_______ 3.共线定理 (1)定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一的一个实数λ，使b＝λa. (2)作用：一是判定三点共线，二是判定两向量平行. 一、选择题 1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a B.a＋b C.b－a D.a－b 2.设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定使＝成立的是(　　) A.a＝－b B.a∥b C.a＝2b D.＝ 3.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　) A. B.－ C. D.－ 4.下列各式中不能化简为的是(　　) A.＋ B.＋－ C.－＋ D.＋ 5.已知＝6，＝3，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ＋，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 7.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是(　　) A.－＝ B.＝0 C.＝＋ D.＋＋＋＝0 8.(多选)下列关于向量的说法中，正确的是(　　) A.若向量a，b互为相反向量，则＝ B.若a∥b，b∥c，则a∥c C.若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D.若与是共线向量，则A，B，C三点共线 9.(多选)《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是(　　) A.＝ B.－＝ C.＋＝ D.＝2 10.(多选)如图，P是△ABC所在的平面内一点，且满足＋＝，D，E是BP的三等分点，则下列不正确的是(　　) A.＝ B.＋＝4 C.＋＝ D.－＝－ 二、填空题 11.化简：－＝________. 12.设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则实数p＝________. 13.在△ABC中，D为AC上的一点，满足＝.若P为BD上的一点，满足＝m＋n，则m与n的关系为________；＋的最小值为________. 14.在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足＝3，若＝m＋n，则m－n＝________. 三、解答题 15.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 16.化简下列各式： (1)－＋； (2)＋＋－－. 1.在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 2.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案 训练(一)　平面向量的概念及加、减、数乘运算 [知识整合] 1.大小　方向　大小　模　长度为0　任意的 平行　1　相同或相反　非零　共线向量　a∥b　相等　相同　相等　相反 2.b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　0　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb [知能演练] 1.D　＝－＝a－b. 故选D. 2.C　由题意可知，分别表示与a，b同向的单位向量，因为＝，所以a，b同向， 对于A，a＝－b，a，b方向相反，故A错误； 对于B，a∥b，a与b可能方向相同或相反，故B错误； 对于C，a＝2b，a，b方向相同，故C正确； 对于D，＝，不能确定a，b的方向，故D错误. 故选C. 3.C　因为AM是△ABC的边BC上的中线， 所以＝， 所以＝＋＝＋ ＝＋ ＝＝. 故选C. 4.B　对于A：＋＝＋＋＝，故A不合题意； 对于B：＋－＝－，故B满足题意； 对于C：－＋＝＋＋＝，故C不合题意； 对于D：＋＝＋＋＋＝，故D不合题意. 故选B. 5.C　由题意得＝－， 所以||＝|－|， 所以|||－|||≤|－|≤|||＋|||， 则3≤||≤9，故C正确. 故选C. 6.B　为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则＋的方向为∠BAC角平分线对应的的方向. 又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与＋的方向相同. 而＝＋λ，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B. 7.C　对A：－＝＝，故A正确； 对B：由AB∥CD，故＝＝，故＝－2， 则＝＝0，故B正确； 对C：由＝－2， 故＝＝(＋)＝(＋2)＝＋，故C错误； 对D：＋＋＋＝＋＝－＝0，故D正确. 故选C. 8.ACD　由向量a，b互为相反向量，得a，b的长度相等，即|a|＝|b|，则A正确； 当b＝0时，向量a，c可以不平行，则B错误； 由a＝b，得表示向量a，b的有向线段的长度和方向都相同.由两个相等向量的起点相同，得这两个向量的终点一定相同，则C正确； 由∥，且有公共点A，得A，B，C三点共线，则D正确. 故选ACD. 9.BC　对于A，易得在正八边形ABCDEFGH中，AH∥DE， 但，方向不同，所以＝不正确，故A错误； 对于B，由－＝－＝， 所以－＝正确，故B正确； 对于C，由正八边形的性质知，∠AOC＝， 且＝＝， 根据向量加法法则可知， ＋为以，为邻边的正方形中以O为始点的一条对角线所对应的向量， 所以＝＝， 又与以，为邻边的正方形中以O为始点的一条对角线所对应的向量共线， 所以＋＝ ，故C正确； 对于D，在正八边形ABCDEFGH中， ＝，∥， 不妨设EF＝a，又∠EDG＝45°， 所以GD＝a＋2×a＝a， 所以＝＝，故D错误. 故选BC. 10.ABD　由于P是△ABC所在的平面内一点，且满足＋＝，D，E是BP的三等分点， 故＋＝， 则四边形ABCE为平行四边形， 所以＝，故A错误； 因为四边形ABCE为平行四边形，故D是AC的中点，＋＝2＝－4，故B错误； ＋＝＝，故C正确； －＝＝－＋，故D错误. 故选ABD. 11.解析　－＝－＝－＝. 答案　 12.解析　因为＝＋＝2a－b，A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即所以p＝－1. 答案　－1 13.解析　如图所示， 由＝得＝， 即＝4， 又＝m＋n， 所以＝m＋4n， 又P为BD上的一点， 所以m＋4n＝1. 因为m>0，n>0， 所以＋＝＝8＋＋≥8＋2 ＝16， 当且仅当＝， 即m＝，n＝时等号成立， 所以＋的最小值为16. 答案　m＋4n＝1　16 14.解析　＝－＝－ ＝－＝－， 则m＝，n＝－， 所以m－n＝1. 答案　1 15.解析　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， 故＝＋＝b－a＋c. 16.解析　(1)－＋＝＋＝0. (2)＋＋－－＝＋＋＋－＝＋＋＝. [提升演练] 1.B　因为＝＋，＝－， 又3＝，所以＝－2＋3， 即＝－2m＋3n.故选B. 2.A如图所示，=+=，故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$