专题14一元二次方程解法分类练（4种类型80道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题14一元二次方程解法分类练 （4种类型80道） 目录 【题型1直接开平方法】 1 【题型2配方法】 2 【题型3公式法】 3 【题型4因式分解法】 4 【题型1直接开平方法】 1．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 3．（1）；          （2）． 4．求下列方程中的值： (1)； (2)． 5．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 6．用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 7．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 8．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 9．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 10．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【题型2配方法】 11．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 12．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 13．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 14．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 15．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 16．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 17．用配方法解下列方程 (1) (2) 18．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 19．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 20．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【题型3公式法】 21．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 22．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 23．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 24．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 25．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 26．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 27．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 28．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 29．用公式法解下列方程： (1)+5x﹣1＝0 (2)6x（x+1）＝5x﹣1 30．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【题型4因式分解法】 31．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 32．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 33．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 34．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 35．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 36．用因式分解法解下列方程． (1) (2) 37．用因式分解法解下列方程． (1)； (2)． 38．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 39．用因式分解法的方法解下列方程： (1) ； (2) 40．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题14一元二次方程解法分类练 （4种类型80道） 目录 【题型1直接开平方法】 1 【题型2配方法】 7 【题型3公式法】 14 【题型4因式分解法】 21 【题型1直接开平方法】 1．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 3．（1）；          （2）． 【答案】（1） ， ;（2） ， 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）先把方程化为的形式，运用直接开平方法即可求解； （2）原方程可变形为，运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 两边直接开平方，得 ∴原方程的解是 ， ． （2）移项，得． 两边直接开平方，得． ∴原方程的解是 ， 4．求下列方程中的值： (1)； (2)． 【答案】(1), (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再开平方即可得到答案； （2）直接开平方即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 则,； （2）解：， 或， 解得，． 5．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 6．用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】解：（1）两边同除以9，得． 直接开平方，得，即，． （2）原方程可化为， 直接开平方，得，解得． 7．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可； （2）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴，． （2）∵， ∴， ∴， ∴，∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解题关键． 8．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解； （2）先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解． 【详解】（1）解：两边都除以2得：， 直接开平方得：， ∴，． （2）解：移项得：， 两边都除以得：， 直接开平方得：， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 9．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 【详解】（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 10．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 【题型2配方法】 11．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 12．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】解：（1）移项，得． 配方，得， 即． 直接开平方，得或， 解得，． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得，即． 直接开平方，得， 解得． 13．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）移项、然后二次项系数化成1，配方、根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，即可求解； （2）移项、然后二次项系数化成1，配方、根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：移项,得：， 二次项系数化成1得：， 配方,， 即，则， 解得：，； （2）解：方程变形得：   配方得：， 即， 开方得： ， 解得：，． 【点睛】考查配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程的左边化成含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数的性质，根据平方根的定义，直接开方即可． 14．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解 (2)方程无解 【分析】根据完全平方公式将方程的左边配成完全平方，右边为常数，再利用平方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解：化简得： ， ， ， ∵， ∴原方程无解； （2）解：化简得： ， ， ， ∵， ∴原方程无解； 【点睛】本题考查了用配方法求一元二次方程的解，掌握完全平方公式是解题关键． 15．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把二次项系数化为1，再根据题意，利用配方法解一元二次方程； （2）先化为一般形式，然后根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： 二次项系数化为1，， ， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， 化为一般形式，， 二次项系数化为1，， ， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 16．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即， ∴， 解得:； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 17．用配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）方程变形得：， 两边除以3得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，. 【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 18．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解； （2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解； 【详解】（1）解：， 将二次项系数化为1，得，， ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， 将二次项系数化为1，得，， ， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 19．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ， 即， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 20．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用配方法解一元二次方程； （2）根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， 解得：； （2）解：， 即， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【题型3公式法】 21．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无实数解 (2)方程无实数解 【分析】（1）利用公式法即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故方程无实数解； （2）解：∵， ∴， 故方程无实数解． 【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程．掌握相关结论即可． 22．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， 原方程的解为：，； （2）解：，，， ， ， 原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 23．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用公式法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ， ，； （2）解： ，，， ， ， ，． 【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 24．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 方程可化为：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 整理得，即， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法是解题的关键． 25．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无实数解 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， ∴， ∴； （2）解：， ， 则， ∴此方程无实数解． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． 26．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用公式法解答方程即可； （2）先把化成一般式，直接运用公式法解答方程即可． 【详解】（1）解： 则，，， 那么， 把，，，都代入中， 得，； （2）解：， 则， 所以一般式是， 则，，， 那么， 把，，，都代入中， 得，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键． 27．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】根据进行求解即可． 【详解】（1）， 解：， ∴， ∴， ∴，； （2）， 解：， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程求根公式． 28．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解 (2)方程无解 【分析】先把原方程化为一般式，然后判断的符号，如果，则用公式法求解即可，如果，则原方程无解． 【详解】（1）解： 化为一般式得：， ∴， ∴， ∴原方程无解； （2）解：， 化为一般式得， ∴， ∴， ∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键． 29．用公式法解下列方程： (1)+5x﹣1＝0 (2)6x（x+1）＝5x﹣1 【答案】(1)＝，＝ (2)没有实数解 【分析】（1）根据公式法进行计算即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据公式法进行计算即可求解． 【详解】（1）2+5x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴﹣4×2×（﹣1）＝33＞0， ∴x＝＝， 所以＝，＝； （2）6x（x+1）＝5x﹣1， 整理得6+x+1＝0， ∵a＝6，b＝1，c＝1， ∴﹣4×6×1＝﹣23＜0， 方程没有实数解． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握公式是解题的关键． 30．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用公式法计算即可． （2）用公式法计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题主要考查公式法求一元二次方程的根，熟练计算公式是解题关键． 【题型4因式分解法】 31．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】解：（1）， 或， ，． （2）原方程可化为， ， 或， ，． 32．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）方程左右两边都有因式，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解． （1）移项，得， ∴，即， ∴或，∴，． （2）因式分解，得．化简，得， ∴或，∴，． 33．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解； （2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： ， ， 或， 解得． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程． 34．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接用因式分解法求解即可； （2）先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴或 ∴， （2）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键． 35．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 36．用因式分解法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）首先把方程变形可得，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出的值即可； （2）首先对方程进行整理，得出，再因式分解可得，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）， ， 或， ；； （2）， 移项，得， ， 或， ；． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 37．用因式分解法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， ∴． （2）解： ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 38．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程； （2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， 即， ， 解得：． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 39．用因式分解法的方法解下列方程： (1) ； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， （x﹣5）（x+3）＝0， 则x﹣5＝0或x+3＝0， ∴，； （2）解：， ， 移项，得， 则（x+3）（x+1）＝0， ∴x+3＝0或x+1＝0， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键． 40．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 因式分解，得， 得， 解得：； （2）解：因式分解，得， 合并同类项，得， 得， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$