专题12 平行四边形折叠问题分类练（4种类型40道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题12 平行四边形折叠问题分类练 （4种类型40道） 目录 【题型1平行四边形折叠问题】 1 【题型2矩形折叠问题】 3 【题型3菱形折叠问题】 6 【题型4正方形折叠问题】 9 【题型1平行四边形折叠问题】 1．如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（        ）      A．8 B．10 C．12 D．16 2．如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 3．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，将▱ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若▱ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　） A．1 B．5 C．10 D．20 5．如图，在中，点E，F分别在边，上．将沿折叠，点A恰好落在边上的点G处．若，，，则长度为（    ） A． B．7 C．6 D． 6．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，，，，为上一点，将沿着翻折，点恰好落在边上的点处，连接，则长度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，对角线与交于点，点在边上，且，点为边上一动点，将沿直线翻折，使得点落在点，连接，则长的最小值为(　　)    A． B．2 C． D． 10．已知在平行四边形中， ，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（  ） A． B． C． D．4 【题型2矩形折叠问题】 11．如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（    ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 12．如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 13．如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为（　　） A．2 B． C．2或 D．2或 14．如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 15．如图， 在长方形中，，将长方形沿折叠， 点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的长为 （    ） A．8 B．6 C．5 D．4 16．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠，使得点A落在点G处，点B恰好落在边上的点H处，连接．若C，H，G三点共线，且，则的长为（    ） A． B． C． D．9 17．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 18．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 19．如图，矩形，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 20．如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是上一点，且，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则的长是（    ） A． B． C．3 D． 【题型3菱形折叠问题】 21．如图，菱形中，，，点E、F分别在边、上．若将沿直线折叠，点A恰好落在边的中点G处，则 ． 22．对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使的对应点为,C的对应点为，是折痕，若,则的长为 ． 23．如图所示菱形为边上一点，将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点，过点F作的垂线，垂足为G，若，则 ． 24．如图，菱形纸片 ，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点．则的长为 ． 25．如图，菱形中，，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则 ． 26．如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将沿直线EF折叠得到，已知，，当与菱形的对角线平行时，线段DF的长为 ． 27．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的点，将沿EF折叠，使点的对应点落在边上，若，则的长为 ． 28．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝45°，点E在边AB上，将△BCE沿CE折叠．若点B的对应点B′落在AD边所在的直线上，则BE的长为 ． 29．在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为 ． 30．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE＝4，则的长等于 ． 【题型4正方形折叠问题】 31．如图，将边长为的正方形折叠，使得A点落在边上的E点，然后压平得折痕，若的长为，则线段的长为 ． 32．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ． 33．如图，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，则的长为 ． 34．已知，正方形的边长为10，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长，交于E，当点E与的中点F的距离为1时，则此时的长为 ． 35．如图，将正方形沿折叠，落在边上的点处，若，，则折痕的长是 ． 36．如图，正方形纸片ABCD中，E为BC中点，折叠正方形，使点A与点E重合得折痕MN，则梯形ANMD与梯形BCMN的面积之比为 ． 37．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD的中点，将三角形ABE沿BE折叠使点A与恰好落在点F处，又将点C折叠使其与BF上的点M重合，且折痕GH与BF平行交CD于点H，交BC于点G，则线段DH的长度为 ． 38．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使点落在边上的点处，折痕为．若：：，则线段的长是 ． 39．如图，正方形ABCD的边长是8，点E在边AB上，AE＝，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ． 40．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将AB沿AE折叠到AG，延长EG交CD于点F．过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H，则线段FH的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题12 平行四边形折叠问题分类练 （4种类型40道） 目录 【题型1平行四边形折叠问题】 1 【题型2矩形折叠问题】 12 【题型3菱形折叠问题】 23 【题型4正方形折叠问题】 36 【题型1平行四边形折叠问题】 1．如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（        ）      A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由折叠性质可得，将周长转化为，则问题可解． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质可知， ，则的周长为： ． 故选C． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握图形翻折的性质． 2．如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得，再 证得是等边三角形，即可求解． 【详解】由折叠可得，， ， 又， ， ， ， 由折叠可得，， ， 是等边三角形， 的周长为， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得∠B=∠D=60°，AB=CD=1，与折叠的性质可得AE=AD，CD=CE=1，又由∠D=60°，可证△AED是等边三角形，可得AD=AE=DE=2，即可求得的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D=60°，AB=CD=1， ∵将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处， ∴AE=AD，CD=CE=1，又∵∠D=60°， ∴△AED是等边三角形， ∴AD=AE=DE=2， ∴的周长=2（AB+AD）=2×(1+2)=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 4．如图，将▱ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若▱ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　） A．1 B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD=10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长=AB+AD即可解决问题． 【详解】∵平行四边形ABCD是周长为20， ∴AB+AD=10， 由翻折可知：EB=DE， ∴△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=10， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．如图，在中，点E，F分别在边，上．将沿折叠，点A恰好落在边上的点G处．若，，，则长度为（    ） A． B．7 C．6 D． 【答案】A 【分析】过B作BM⊥AD于M，作FH⊥BC于H，作EN⊥BC于N，交CB延长线于N，分别求出BN、EN、AM、BM，继而在Rt△GEN中求出GN的值，设FM=BH =x，在Rt△GFH中，由勾股定理列方程解出x，即可得出结果． 【详解】解：过B作BM⊥AD于M，作FH⊥BC于H，作EN⊥BC于N，交CB延长线于N，如图1所示： 则BM⊥BC，BM=FH，FM=BH， 由折叠的性质得：AE=GE= ，GF=AF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EBN=∠A=45°， ∴△ABM和△BEN是等腰直角三角形， ∴BN=EN= BE=1，AM=BM= AB=6， ∴FH=6， 在Rt△GEN中，由勾股定理得：12+GN2= ， 解得：GN=±7（负值舍去）， ∴GN=7， 设FM=BH =x，则GH=7-1-x=6-x，GF=AF=x+6， 在Rt△GFH中，由勾股定理得：62+（6-x）2=（x+6）2， 解得：x=， ∴AF=+6=； 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 6．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长． 【详解】解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N， 由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA， ∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA， ∴四边形ADEC是等腰梯形， 连接BE， ∵AB＝AE，CB＝CE， ∴AC是BE的垂直平分线， ∵， ∴CN＝，BN＝1， ∴AN＝AB+BN＝4+1＝5， ∴AC＝＝＝2， ∴S平行四边形ABCD＝AB•DM＝AC•BF， ∴4×＝2BF， ∴BF＝， ∴CF＝＝＝， 在等腰梯形ADEC中， DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰梯形，含30°的直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 7．如图，在平行四边形中，，，，为上一点，将沿着翻折，点恰好落在边上的点处，连接，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作 于点，根据四边形是平行四边形，，，和沿着翻折，点恰好落在上的点处，可得是等边三角形，根据含30度角的直角三角形和等腰直角三角形，可得的长，再证明，可得．进而可得结论． 【详解】解：如图，连接，作于点， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， 沿着翻折，点恰好落在上的点处， ，， 是等边三角形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 8．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠可知，所以当A，，E三点共线时，的长度最小，作交CD的延长线于点G，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值． 【详解】解：连接AE，过点A作交CD的延长线于点G， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 为CD的中点，， ， ， ； 由折叠可知，， ∴， 当A，，E共线时，的长度最小， 此时，， 故选：C 【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求AE的长度． 9．如图，中，，，对角线与交于点，点在边上，且，点为边上一动点，将沿直线翻折，使得点落在点，连接，则长的最小值为(　　)    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，先求出和，当点P、O、三点共线，且点O在线段上时，从而得出的最小值，即． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴，， ∴由折叠的性质得：． 又∵在中，与互相平分，， ∴， 又∵， ∴， 所以当点P、O、三点共线，且点O在线段上时，， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形三边关系，折叠的性质等知识，知道点O在线段时取最小值是解题的关键． 10．已知在平行四边形中， ，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（  ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】过点B作交延长线于点G，过点E作于点H，先证明是等腰直角三角形，可得，设，则，，在中，根据勾股定理可得， ，从而得到，再由折叠的性质可得，，再结合，可得，从而得到是等腰直角三角形，可求出，，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作交延长线于点G，过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，图形的折叠，作适当辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 【题型2矩形折叠问题】 11．如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（    ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】连接交于点，利用勾股定理得到，利用折叠的性质可知于点，，进而得到，设，则，利用勾股定理建立等式求解，得到，再利用勾股定理算出，即可得到折痕的长． 【详解】解：连接交于点， 四边形为矩形，， ，，， ， ， ∴， ， ， 由折叠的性质可知，，，于点， ， ， ， 设，则， ， ，解得， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．根据勾股定理列出方程是解题关键． 12．如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 设，根据矩形的性质和轴对称的性质求出，，，的长度，根据勾股定理和线段的和差关系求出和的长度，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴点F在上，如图所示， 四边形是矩形，，， ，，， 设，则， 将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处， ，， ∴， ∴， ∵， ∴． 解得． 故选：A． 13．如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为（　　） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：，分别求得的长，并判断是否符合题意． 【详解】①如图，当时，过作，交于E，交于F，则垂直平分，垂直平分， ∴， 由折叠得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； ②如图，当时， 由折叠得，， ∴， 连接，则中，， ∴（不合题意）， 故这种情况不存在； ③如图，当时，    由折叠得，， ∴， ∴点落在上的中点处， 此时，， ∴． 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或2． 故选：C． 14．如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．连接、、．根据三边关系，P，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、、． ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，点O、P分别是边、的中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ∵，， ∴的最小值为 故选：C． 15．如图， 在长方形中，，将长方形沿折叠， 点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的长为 （    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，矩形的性质，得到，，，，利用勾股定理计算即可，本题考查了矩形的在，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】∵矩形，， ∴，，,, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 16．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠，使得点A落在点G处，点B恰好落在边上的点H处，连接．若C，H，G三点共线，且，则的长为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】由折叠的性质可知，，，，在中，根据，可得，．从而可求出，，．再证明，即可求得，即可由求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，， ∵C，H，G三点共线， ∴． 在中，∵， ∴，． 又∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质．熟练掌握矩形与折叠的性质是银题的关键． 17．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的折叠．熟练掌握矩形的性质及折叠的性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 根据矩形的性质及折叠的性质推出，得到，再根据勾股定理列得，求出的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得，． 故选：C． 18．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，与相交于点，由折叠的性质得，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出，得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，根据勾股定理求出的长度，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，与相交于点，    由折叠可知，垂直平分，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 19．如图，矩形，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质，首先过点E作与M，交于N，易证得，是的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得，由折叠的性质，可得，继而求得的值，又由勾股定理，即可求得的长． 【详解】解：如图，过点E作与M，交于N， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 20．如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是上一点，且，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则的长是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】首先根据题意求出，然后根据折叠的性质得到，，，进而求出，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵对折矩形纸片使与重合，得到折痕， ∴，， ∵将沿折叠，点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质． 【题型3菱形折叠问题】 21．如图，菱形中，，，点E、F分别在边、上．若将沿直线折叠，点A恰好落在边的中点G处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；解题关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 连接，，根据等边三角形的性质可知，再利用翻折变化的性质，利用勾股定理解直角三角形求长即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵四边形是边长为2的菱形，， 和都是边长为2的等边三角形， ，， 为的中点， ，， 在中，， 根据翻折变换可知， ，， ， 在中，设，则， ， ， 解得， ． 故答案为：． 22．对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使的对应点为,C的对应点为，是折痕，若,则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．连接、，利用菱形的性质，得出，证明，再结合折叠的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， 四边形是菱形，，，点O为对角线的交点， ，，，， 在中，, ， ， 在和中， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案为：4 23．如图所示菱形为边上一点，将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点，过点F作的垂线，垂足为G，若，则 ． 【答案】1 【分析】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用菱形的性质是解题关键． 连接，交于点O，根据折叠的性质及菱形的性质得出，，再由等量代换确定，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： 将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：1． 24．如图，菱形纸片 ，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点．则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作与的延长线交于点E，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出和，设，则，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程进行解答． 【详解】解：过点作与的延长线交于点E，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质知：， 在中，， ∴， 解得：，， 即的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是作辅助线构造直角三角形． 25．如图，菱形中，，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理；连接，，根据等腰三角形的三线合一可知，再利用翻折变化的性质，利用勾股定理解直角三角形求长；过作于，过作于，连接交于，依据勾股定理即可得到的长，，的长，进而得到的值． 【详解】解：连接，，如图， 四边形是边长为的菱形，， 和都是边长为的等边三角形， ，， 为的中点， ，， 在中， ， 根据翻折变换可知， ，， ， 在中，设，则， ， ， 解得 ， ． 故答案为：． 26．如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将沿直线EF折叠得到，已知，，当与菱形的对角线平行时，线段DF的长为 ． 【答案】或3 【分析】根据题意可分当AE'//BD时和当AE'//AC时，然后根据折叠的性质及菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD//BC，， ∵， ∴， ∴当AE'//BD时，如图所示： ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴点在AD上， ∴， ∴； 当AE'//AC时，如图所示： ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 过点E作EH⊥AD于点H， ∴， ∴，， ∴△EHF是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与菱形的对角线平行时，线段DF的长为或3； 故答案为或3． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等腰直角三角形与等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、等腰直角三角形与等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 27．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的点，将沿EF折叠，使点的对应点落在边上，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据菱形性质和，可得，，，过点作于点，于点，过点于点，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，，，， ， 如图，过点作于点，于点，过点于点， 得矩形，如图所示： ，， ，， ，， 由翻折可知：，， ， ， ， ， 解得， ， 在中，，， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得：， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 28．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝45°，点E在边AB上，将△BCE沿CE折叠．若点B的对应点B′落在AD边所在的直线上，则BE的长为 ． 【答案】4或 【分析】分两种情况，第一种情况，由折叠性质可知：= CB= CD，可知E点与A点重合，BE=AB，第二种情况，由折叠性质可知，BC=，得∠B=∠E= 45°，再证∠AE = 90°，设BE= E= x，得，即可得答案． 【详解】解： 第一种情况，如上图，由折叠性质可知：= CB= CD， ∴在AD线上仅D点符合题意， ∵∠B=∠D= 45°， ∴E点与A点重合，BE=AB， ∴BE=4； 第二种情况，如上图，由折叠性质可知，BC=， ∴∠B=∠E= 45°， ∵在菱形中BC=CD=， ∴∠D=∠B=∠D= 45°，ADBC，∠AE=∠B= 45°， ∴∠AE=∠DC+∠EC= 90°， ∴A=E， 设BE= E= x，则， ， 解得： ， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、一元一次方程的解法，解题的关键是注意两种情况． 29．在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为 ． 【答案】cm或2cm 【分析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=1，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）. 【详解】解：分两种情况， ①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°， ∴DE=AD=2， ∵DG⊥BC， ∴∠CDG=90°-60°=30°， ∴CG=CD=1， ∴DG=CG=，BG=BC+CG=3， ∵M为AB的中点， ∴AM=BM=1， 由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°， 在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM    ，DM＝DM， ∴△ADM≌△EDM（SSS）， ∴∠A=∠DEM=120°， ∴∠MEN+∠DEM=180°， ∴D、E、N三点共线， 设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中， 由勾股定理得：， 解得：x=，即BN=cm； ②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示： CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2cm（符合题干要求）； 综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为cm或2cm； 故答案为cm或2cm． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 30．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE＝4，则的长等于 ． 【答案】6 【分析】先根据菱形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，然后根据折叠的性质即可得． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 在和中，， ， ， ， 由折叠的性质得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形与折叠问题、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 【题型4正方形折叠问题】 31．如图，将边长为的正方形折叠，使得A点落在边上的E点，然后压平得折痕，若的长为，则线段的长为 ． 【答案】/7厘米 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，过点作交于点，再根据折叠的性质可知，可证，再由勾股定理可求出的长，由正方形的性质即可求解．解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 【详解】解：过点作交于点，交于点，由折叠的性质可知， ， ，四边形为平行四边形， ，在中，， ，， ， 在与中， ， ， ． 故答案为：． 32．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，则,，证明，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作于点，连接，则, ∵将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处． ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， 在与中， ∴ ∴， 在中， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 33．如图，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】证明，得到，勾股定理求出的长，再用等积法求出即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的折叠问题．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 34．已知，正方形的边长为10，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长，交于E，当点E与的中点F的距离为1时，则此时的长为 ． 【答案】或 【分析】由“”可证，可得，分当点E在点F的下方和当点E在点F的上方情况讨论，由勾股定理可求解． 【详解】解：连接， ∵将沿折叠， ∴， ，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 当点E在点F的下方时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当点E在点F的上方时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上所述：AP的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 35．如图，将正方形沿折叠，落在边上的点处，若，，则折痕的长是 ． 【答案】 【分析】过点F作FQ⊥AB于点Q，连接AG，FA，FG，设AD=x，则FQ=x，EB=5-x，FC=x-2，由勾股定理分别求出 ，，根据勾股定理求出，最后再由勾股定理得出EF的长． 【详解】过点F作FQ⊥AB于点Q，连接AG，FA，FG，如图， ∴四边形ABCD是正方形， ∴ ∴四边形ADFQ是矩形， ∴AD=FQ，AQ=DF， ∵ ∴ 设AD=x，则FQ=x，EB=x-5，FC=x-2， 由折叠得，EF是AG的垂直平分线， ∴FA=FG 由勾股定理得，， ∴ 在Rt中，, ∴ ∴ 在Rt中，, ∴ 整理得，， ∵ ∴原方程可转化为， 设，则原方程转化为， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴， ∴，即AD=9, ∴FQ=9， 在Rt中， ∴, 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变化的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 36．如图，正方形纸片ABCD中，E为BC中点，折叠正方形，使点A与点E重合得折痕MN，则梯形ANMD与梯形BCMN的面积之比为 ． 【答案】3：5 【分析】连接AM、ME，由折叠的性质可知，AN=NE，AM=ME，设AB=2x，AN=a，在Rt△BEN中，求得a=x，设DM=b，在Rt△ADM和Rt△EMC中，由勾股定理得到，求得DM=b=x，据此求解即可． 【详解】解：连接AM、ME， 由折叠可得，AN=NE，AM=ME， 设AB=2x，AN=a， 在Rt△BEN中，， ∴a=x， 在Rt△ADM中，设DM=b， ∴， 在Rt△EMC中，CM=2x-b， ∴， ∴DM=b=x， ∴， 故答案为：3：5． 【点睛】本题考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，梯形的面积公式，合理的引入参数，并能根据已知逐步消去参数是解题的关键． 37．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD的中点，将三角形ABE沿BE折叠使点A与恰好落在点F处，又将点C折叠使其与BF上的点M重合，且折痕GH与BF平行交CD于点H，交BC于点G，则线段DH的长度为 ． 【答案】2.5 【分析】延长BF交CD于点N，连接EN，根据正方形的性质可得∠BAD=∠D=∠BCD=90°，AB=AD=BC=CD=4，根据线段中点的定义可得AE=DE=2，再根据折叠的性质可得AB=BF=4，AE=EF=2，∠BAD=∠BFE=90°，从而可得DE=EF=2，然后证明Rt△EFN≌Rt△EDN，从而利用全等三角形的性质可得DN=FN，再设DN=FN=x，则BN=4+x，CN=4﹣x，从而在Rt△BCN中，根据勾股定理进行计算可求出BN的长，最后根据折叠的性质可得∠MHO=∠CHO，CH=MH，再结合平行线的性质可得点H是CN的中点，即可解答． 【详解】延长BF交CD于点N，连接EN，设GH交CM于点O，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝∠BCD＝90°，AB＝AD=BC＝CD＝4， ∵点E为边AD的中点， ∴AE＝DE＝AD＝2， 由折叠得： AB＝BF＝4，AE＝EF＝2，∠BAD＝∠BFE＝90°， ∴DE＝EF＝2，∠EFN＝180°﹣∠BFE＝90°， ∵EN＝EN， ∴Rt△EFN≌Rt△EDN（HL）， ∴DN＝FN， 设DN＝FN＝x， ∴BN＝BF+FN＝4+x，CN＝DC﹣DN＝4﹣x， 在Rt△BCN中，， ∴， ∴x＝1， ∴DN＝1， 由折叠得：∠MHO=∠CHO，CH=MH， ∵GH∥BM， ∴∠NMH=∠MHO，∠CHO=∠HNM， ∴∠NMH=∠HNM， ∴MH=NH， ∴CH=NH， 即点H为CN的中点． ∵CN＝CD﹣DN＝4﹣1＝3， ∴NH＝1.5， ∴DH＝DN+NH＝1+1.5＝2.5． 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理建立方程，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 38．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使点落在边上的点处，折痕为．若：：，则线段的长是 ． 【答案】4 【分析】设CH=x，根据题意求出DH，根据折叠的性质得到EH=DH，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】设，则， ：：，， ， 在中，， 即， 解得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠问题、正方形的性质以及勾股定理，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等是解题关键． 39．如图，正方形ABCD的边长是8，点E在边AB上，AE＝，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ． 【答案】8或 【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案． 【详解】解：如图1所示：当时，过点作，则， 当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ，   ； 如图2所示：当时，则； 当时， ，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为8或． 故答案为：8或． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 40．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将AB沿AE折叠到AG，延长EG交CD于点F．过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H，则线段FH的长为 ． 【答案】 【分析】设DF=FG=x，在Rt△EFC中，由EF=1+x，EC=3-1=2，FC=3-x，根据勾股定理构建方程求出x，再求出AF，AH即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=3， 设DF=FG=x， 在Rt△EFC中，∵EF=1+x，EC=3-1=2，FC=3-x， ∴（x+1）2=22+（3-x）2， 解得x= ∴， 由翻折的性质可知，∠EAB=∠EAG， ∴(SAS) ∴ ∴， 在△AFG和△ADF中 ∴(HL) ∴∠DAF=∠GAF， ∵∠DAF+∠GAF+∠EAB+∠EAG=90° ∴∠EAH=45°， ∵EH⊥EA， ∴∠AEH=90°， ∴AE=EH=，AH=AE=2， ∴FH=AH-AF=2-=， 故答案为:． 【点睛】本题考查正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$