精品解析：江苏省淮安市清河开明中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度第二学期期末考试 初一数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 1. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 六边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 900° C. 720° D. 540° 3. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对任意自然数n，关于代数式的值，下列说法错误的是（ ） A. 总能被6整除 B. 总能被5整除 C. 总能被4整除 D. 总能被3整除 5. 某校团员代表在“学雷锋”活动中购买点心与水果去敬老院慰问15名孤寡老人，其中要求给每位老人50元的慰问金，此次活动经费不超过990元，问最多可以给每位老人准备用于买点心与水果的费用为（ ） A. 20元 B. 18元 C. 17元 D. 16元 6. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 两点之间线段最短 7. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为( ) A. 三人坐一辆车，有一车少坐2人 B. 三人坐一辆车，则2人需要步行 C. 三人坐一辆车，则有两辆空车 D. 三人坐一辆车，则还缺两辆车 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 9. 每年的10月16日是世界粮食日，它告诫人们珍惜每一粒粮食．已知1粒芝麻的质量为，则1粒芝麻的质量用科学记数法表示为__________． 10. 命题“对顶角相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 11. 关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为____________． 12. 若是方程的解，则a的值是____________． 13 如图，已知，若，则____________． 14. 如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则____________． 15. 如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为44，则长方形的面积是____________． 16. 如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为____________． 三、解答题（本大题共10小题，6＋6＋8＋5＋6＋7＋8＋8＋6＋12＝72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 因式分解： （1） （2） 19. （1）解方程组； （2）解不等式组，并写出它的整数解. 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：． 22. 如图，于点B，于点D，． （1）求证：； （2）若平分，则的大小是 ． 23. 近两年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；2辆A型新能源汽车和1辆B型新能源汽车的进价共计60万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元？ （2）该公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1198万元，那么该公司最多购买A型新能源汽车多少辆？ 24. 如图，已知线段m，n及．利用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹； （1）求作所有满足条件的（全等除外），使得； （2）在（1）中所作图中，过点C向直线画垂线，与直线交于点H；并结合图形，直接写出三条线段、和的数量关系为 ； 25. 已知：两个正整数的和与积相等，求这两个正整数． 解：不妨设这两个正整数为a、b，且． 由题意，得，（*） 则，所以， 因为a为正整数，所以或2， ①当时，代入等式（*），得，b不存在； ②当时，代入等式（*），得，． 所以这两个正整数为2和2． 仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等，试说明你的理由． 26. 已知：如图，在中，．点D是外一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接和． 【初步探究】 （1）试说明：和面积相等． 小明经过多次尝试，得到如下解决思路：在图①中，过点E作于点F；过点D作于点G．只要说明即可．请你按小明的思路画出相应图形并写出完整的求解过程； 【深入探究】 （2）如图②，当中点M在边上时，结合图形直接写出线段与的数量关系和位置关系： ； 【迁移拓展】 （3）如图③，当中点M不在边上时，（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第二学期期末考试 初一数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法则，幂的乘方，合并同类项法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减． 根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方，合并同类项法则，逐个进行计算即可进行解答． 【详解】解：A、，故A计算不正确，不符合题意； B、，故B计算不正确，不符合题意； C、，故C计算不正确，不符合题意； D、，故D计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 六边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 900° C. 720° D. 540° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解. 【详解】解：（6﹣2）•180°＝720°. 故选C. 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，熟记内角和公式是解题的关键. 3. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组， 分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解：由①得， 原不等式组的解集为； 故选：C． 4. 对任意自然数n，关于代数式的值，下列说法错误的是（ ） A. 总能被6整除 B. 总能被5整除 C. 总能被4整除 D. 总能被3整除 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵n是自然数， ∴也是自然数 ∴一定能被3，被4和被6整除，不一定能被5整除， 故选：B． 5. 某校团员代表在“学雷锋”活动中购买点心与水果去敬老院慰问15名孤寡老人，其中要求给每位老人50元的慰问金，此次活动经费不超过990元，问最多可以给每位老人准备用于买点心与水果的费用为（ ） A. 20元 B. 18元 C. 17元 D. 16元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式是解题关键．设给每位老人准备用于买点心与水果的费用为元，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】解：设给每位老人准备用于买点心与水果的费用为元， 根据题意，可得 ， 解得 ， ∴最多可以给每位老人准备用于买点心与水果的费用为16元． 故选：D． 6. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，先由线段中点的定义得到，再由对顶角相等得到，则可利用证明即可得到． 【详解】解：∵点O分别是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，进行计算即可解答，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为( ) A. 三人坐一辆车，有一车少坐2人 B. 三人坐一辆车，则2人需要步行 C. 三人坐一辆车，则有两辆空车 D. 三人坐一辆车，则还缺两辆车 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程组中2个方程表示的意义即可求解． 【详解】解：∵小明同学设有x辆车，人数为y， 表示若2人坐一辆车，则9人需要步行， 表示三人坐一辆车，则有两辆空车， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 9. 每年的10月16日是世界粮食日，它告诫人们珍惜每一粒粮食．已知1粒芝麻的质量为，则1粒芝麻的质量用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10. 命题“对顶角相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题． 故答案为：假． 11. 关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式得到，再由数轴可得不等式的解集为，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得 由数轴可知表示的不等式的解集为， ∴， ∴， 故答案为：2． 12. 若是方程的解，则a的值是____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的一对未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵是方程解， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知，若，则____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理得到，再由全等三角形对应角相等得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则____________． 【答案】##52度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．利用角平分线的定义结合三角形外角的性质，可得，由，利用三角形内角和定理可得，即可得到，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ，即， , 故答案为：． 15. 如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为44，则长方形的面积是____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设，根据正方形面积计算公式得到，再由长方形周长计算公式得到，则由完全平方公式可得，据此求出即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∵长方形的周长为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即长方形的面积是10， 故答案为：10． 16. 如图，在中，，，D是中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为____________． 【答案】1.92 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质 ，通过证明三角形全等求线段的长度，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．可证，求出长，根据面积公式可得的面积． 【详解】解： 又 又点为中点 ， ， ，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，6＋6＋8＋5＋6＋7＋8＋8＋6＋12＝72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式计算，实数计算，零指数次幂，负指数次幂计算等． （1）将第一个多项式中每个式子乘以第二个多项式，在合并同类项即可； （2）先计算每项再从左到右依次计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）直接提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ． 19. （1）解方程组； （2）解不等式组，并写出它的整数解. 【答案】（1）；（2），整数解为 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，即可得出整数解． 【详解】（1）解： ①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：，整数解为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；26 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方差公式是解题的关键．先计算乘法，再合并同类项，然后把代入，即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 21. 如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用已知条件证明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D，进而得出结论． 【详解】证明：∵DE=BF， ∴DE+EF=BF+EF； ∴DF=BE； 在Rt△ADF和Rt△BCE中 ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴∠B=∠D， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF通过等量加等量和相等得DF=BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用． 22. 如图，于点B，于点D，． （1）求证：； （2）若平分，则的大小是 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义： （1）由垂直的定义可得，则可证明，由可证明，则可证明，进而可证明； （2）由平行线的性质得到，则由角平分线的定义得到． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 23. 近两年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；2辆A型新能源汽车和1辆B型新能源汽车的进价共计60万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元？ （2）该公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1198万元，那么该公司最多购买A型新能源汽车多少辆？ 【答案】（1）A型新能源汽车每辆进价是25元，B型新能源汽车每辆进价是10元 （2）13 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设A型新能源汽车每辆进价是x元，B型新能源汽车每辆进价是y元，根据1辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；2辆A型新能源汽车和1辆B型新能源汽车的进价共计60万元列出方程组求解即可； （2）设该公司购买A型新能源汽车m辆，则购买B型新能源汽车辆，根据总费用不超过1198万元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A型新能源汽车每辆进价是x元，B型新能源汽车每辆进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：A型新能源汽车每辆进价是25元，B型新能源汽车每辆进价是10元； 【小问2详解】 解：设该公司购买A型新能源汽车m辆，则购买B型新能源汽车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为13， 答：该公司最多购买A型新能源汽车13辆． 24. 如图，已知线段m，n及．利用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹； （1）求作所有满足条件的（全等除外），使得； （2）在（1）中所作图中，过点C向直线画垂线，与直线交于点H；并结合图形，直接写出三条线段、和的数量关系为 ； 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，都是基本作图，需要熟练掌握． （1）第一种先做出，然后在边上截取得到点C，再以点为圆心，的长为半径作弧交射线于两点，连接即可得到和，则这两个三角行为符合题意的三角形； （2）根据（1）中两种作图情况分别得出当即时，三条线段、和的数量关系：；当即时，三条线段、和的数量关系：． 【小问1详解】 解：将原角按如下取点命名： ， 以点O为圆心，长为半径画弧，交两边于两点，再画射线，以长为半径画弧，交于点C ，再以C为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点H ，连接，则，再以点为圆心，的长为半径作弧交射线于两点，连接即可得到和，则这两个三角行为符合题意的三角形，故两种作图如下： ； 【小问2详解】 解：如题意画图如下，其中位置即为两种情况的位置， 当即时，三条线段、和的数量关系：， 当即时，三条线段、和的数量关系：， 故答案为：或． 25. 已知：两个正整数和与积相等，求这两个正整数． 解：不妨设这两个正整数为a、b，且． 由题意，得，（*） 则，所以， 因为a为正整数，所以或2， ①当时，代入等式（*），得，b不存在； ②当时，代入等式（*），得，． 所以这两个正整数为2和2． 仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等，试说明你的理由． 【答案】存在，是1，2，3 【解析】 【分析】本题考查代数式运算，一元一次方程运算等．根据题意假设存在三个正整数，它们的和与积相等，不妨设这三个正整数为，且，由题意得：，再列出三种情况分别求解即可． 【详解】解：假设存在三个正整数，它们的和与积相等，不妨设这三个正整数为，且， 由题意得：，（*）， ∴， ∴， 若，则， ∴，与矛盾， ∴或或， ①当时，代入等式（*）得，c不存在， ②当时，代入等式（*）得，， ③当时，代入等式（*）得，，与矛盾，舍去， ∴， 即存在三个正整数，它们的和与积相等． 26. 已知：如图，在中，．点D是外一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接和． 【初步探究】 （1）试说明：和的面积相等． 小明经过多次尝试，得到如下解决思路：在图①中，过点E作于点F；过点D作于点G．只要说明即可．请你按小明的思路画出相应图形并写出完整的求解过程； 【深入探究】 （2）如图②，当的中点M在边上时，结合图形直接写出线段与的数量关系和位置关系： ； 【迁移拓展】 （3）如图③，当的中点M不在边上时，（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意做成示意图，由旋转的性质结合，证明，得到，再根据三角形面积公式结合即可得出结论； （2）根据直角三角形的特征，证明是等腰三角形，进而证明，得到，，证明是等腰直角三角形，易证，推出四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）延长至点，使得，过点E作于点F；过点D作于点G，连接，同理（1）可证，得到，由，可得，即可证明，得到，再根据点分别为的中点，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点E作于点F；过点D作于点G， 则， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ，， ； （2）过点E作于点F，连接， 点M是的中点，， ， 是等腰三角形， ，即， ，即， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ； （3）成立，理由如下： 证明：延长至点，使得，过点E作于点F；过点D作于点G，连接， 则点为的中点， 同理（1）可证， ， ， ，即， ， ， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等判定与性质综合，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，三角形中位线的性质，直角三角形的特征，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$