精品解析：天津市南开中学2023-2024学年高一下学期期末学情调查数学试卷

天津南开中学2023级高一第二学期期末学情调查 数学试卷 一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】对复数进行化简，根据复数的几何意义即可. 【详解】 对应的点为，在第四象限， 故选： 2. 某校高三数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：37，30，42，32，41，46，45，48，35，53，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 45 B. 42 C. 43.5 D. 45.5 【答案】C 【解析】 【分析】把10名老师的年龄从小到大排列，再利用第60百分位数的定义求解即得. 【详解】10名老师的年龄从小到大排列为：30，32，35，37，41，42，45，46，48，53， 由，所以这组数据的第60百分位数为. 故选：C 3. 某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.035 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C. 估计全校学生的平均成绩为84分 D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图求得x值判断A；由频率求得学生数判断B；由频率频率分布直方图估计平均数判断C；由频率分布直方图求出百分位数判断D. 【详解】对于A，由频率分布直方图得，解得x=0.03，A错误； 对于B，成绩在区间的学生数为（人），B错误； 对于C，平均成绩为（分），C正确； 对于D，全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为（分），D错误. 故选：C 4. 设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是 A. 若m∥,n∥,则m∥n B. 若m,n,m∥,n∥,则∥ C. 若，m,则m D. 若，m，m,则m∥ 【答案】D 【解析】 【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确， B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确， C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确， D选项中由α⊥β，m⊥β，m，可得m∥α，故是正确命题， 故选D 5. 高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的.假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，，该同学只进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程组，求解即可． 【详解】由该同学可以进入两个社团的概率为，得， 由三个社团都进不了的概率为，得， 整理得，解得. 故选：D 6. 四棱锥的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，把四棱锥补形成长方体，利用四棱锥与长方体有相同的外接球求解即得. 【详解】四棱锥的底面为正方形，PA⊥底面ABCD， 则以为共点的三条棱的长方体与四棱锥有相同的外接球， 该外接球的直径， 由球体积为，得，解得， 因此，所以. 故选：B 7. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出边，利用数量积运算律，结合圆的性质列出方程组求解即得. 【详解】中，由余弦定理及，得， 则，由，得，即， 于是，取中点，则，，同理， 而，则，解得， 所以. 故选：A 8. 已知中，，点D在边BC上且，，的面积分别是，，若为定值，当取得最小值时，的值为（ ） A. 2m B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，利用基本不等式 “1”的妙用，求出取最小值的条件即可. 【详解】令内角所对边为，，交BC于D，则， 由及三角形面积公式得：， 整理得，于是 ，当且仅当，即时，能取到最小值，此时. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由几何图形的特征，结合三角形面积公式建立的关系等式是解题的关键. 二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分） 9. 某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解. 【详解】由题意可知：高三年级抽取了人， 由于高三共有900人，所以抽样比为， 所以高中学生总数为， 故答案为： 10. 高二年级某班欲从4名候选人中选出2名担任高一新生辅导员，其中甲被选中的概率为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型求解即得. 【详解】除甲外的另3名候选人记为，从4名候选人中选出2名的不同结果为： A甲，B甲，C甲，AB，AC，BC，共6个，甲被选中的结果有3个， 所以甲被选中的概率为. 故答案为： 11. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，结合投影向量的定义求解即得. 【详解】由，，得， 则，， 所以向量在方向上的投影向量. 故答案为： 12. 在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量的线性运算及基本定理计算即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 13. 四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为PA的中点，所在平面截四棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】作出平面截四棱锥所得截面，连接，借助比例法求出下部几何体的体积即可得解. 【详解】由四棱锥的底面ABCD为平行四边形，得，而平面， 平面，则平面，令平面平面，则， 又E为PA的中点，则与交点于，且是的中点，连接， 设四棱锥的体积为，则下面部分几何体的体积为， 显然，， 则，于是上面部分几何体的体积为， 所以较小的几何体与较大的几何体的体积比为. 故答案为： 14. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，则实数的值为__________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出，由利用数量积公式求解的值即可；建立坐标系，设，则，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 ； 建立如图所示的坐标系， 因为，，， 可得， 设，因为，则， 所以， ， 当时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：,. 【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 三、解答题：（共4小题，共44分） 15. 如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，于E，于F，设平面AEF交PC于G，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质和判定定理得到，，然后再利用线面垂直的判定定理和性质证明即可. 【详解】因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 16. 如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． （1）证明：； （2）求异面直线BM与AD所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出异面直线与方向向量，由向量的夹角公式即可得解. （3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即得. 【小问1详解】 由底面，平面，得， 而，即直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，， 显然，即，所以. 【小问2详解】 ，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 ，， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. 17. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． （1）求． （2）若，的面积为，求的周长． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦展开式可求； （2）由三角形面积公式和同角三角函数关系求出和，再由余弦定理解方程组可得三角形边长，进而求出周长； （3）由余弦展开式和二倍角公式求出结果即可. 【小问1详解】 由得到，由正弦定理和两角和的正弦展开式可得， 所以. 【小问2详解】 ，且， 由，解得，所以， 又由余弦定理和上问可得， 将代入上式可得， 所以，，所以的周长为. 【小问3详解】 ①， 由上问可知，等腰，，， 所以，， 代入①可得， 所以. 18. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津南开中学2023级高一第二学期期末学情调查 数学试卷 一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某校高三数学备课组老师年龄（单位：岁）分别为：37，30，42，32，41，46，45，48，35，53，则这组数据的第60百分位数为（ ） A 45 B. 42 C. 43.5 D. 45.5 3. 某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.035 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C. 估计全校学生的平均成绩为84分 D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分 4. 设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确是 A. 若m∥,n∥,则m∥n B. 若m,n,m∥,n∥,则∥ C. 若，m则m D. 若，m，m,则m∥ 5. 高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的.假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，，该同学只进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ） A. B. C. D. 6. 四棱锥的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，点D在边BC上且，，的面积分别是，，若为定值，当取得最小值时，的值为（ ） A. 2m B. C. 2 D. 二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分） 9. 某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人. 10. 高二年级某班欲从4名候选人中选出2名担任高一新生辅导员，其中甲被选中的概率为________． 11. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为________． 12. 在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则_________． 13. 四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为PA的中点，所在平面截四棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为________． 14. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，则实数的值为__________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_______． 三、解答题：（共4小题，共44分） 15. 如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，于E，于F，设平面AEF交PC于G，求证：． 16. 如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． （1）证明：； （2）求异面直线BM与AD所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 17. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． （1）求． （2）若，的面积为，求的周长． （3）在（2）的条件下，求的值． 18. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$