第02讲 集合之间的关系（2大知识点+3种必考题型+3种易错分析+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第02讲 集合之间的关系（2大知识点+3种必考题型+3种易错分析+强化训练） 课程标准 学习目标 1、求子集、真子集的个数（偶考） 2、利用子集、真子集的概念求参数的值（或取值范围）（常考） 3、空集的概念（常考） 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系．(重点) 3.理解空集与子集、真子集之间的关系．(难点) 知识点01 子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 【即学即练1】指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 知识点02 真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 【即学即练2】填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 题型01集合间关系的判断 【解题策略】 判断集合间关系的常用方法 1．（2023秋•长宁区校级期中）若集合，集合与集合之间的关系为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•徐汇区校级期中）下列各式中，正确的个数是　　 ①，1，；②，1，，1，；③，1，； ④；⑤，；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•浦东新区校级期中）已知集合，2，3，，，，，则　　 4．（2023秋•静安区校级期中）满足，2，的集合的个数为　 　． 5．（2023秋•普陀区校级期中）设，，若，则实数组成的集合　 ． 6．（2023秋•闵行区期中）集合，，3，，则实数　 　． 7．（2023秋•杨浦区校级期中）已知集合，，，若，则实数　 　． 8．（2023秋•上海期中）若，，，则集合的个数有　 　个． 9．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合有整数解，非空集合满足条件： （1）， （2）若，则，则所有这样的集合的个数为　 　． 10．（2023秋•宝山区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|mx﹣3＝0}，且B⊆A，则实数m的取值集合为 　 ． 题型02 子集、真子集的个数问题 【解题策略】 1．求集合子集、真子集个数的3个步骤 2．与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 11．（2023秋•静安区校级期中）集合A＝{1，2，3}，则集合A共有 　　个子集． 12．（2023秋•浦东新区校级月考）设集合，3，5，，若非空集合同时满足：①；②（A），（其中表示中元素的个数，（A）表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 13．（2024春•徐汇区校级期末）集合是，2，3，4，5，6，7，8，9，的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 　 　个． 14．（2023秋•浦东新区校级期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数的值为 　 　． 15．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 题型03 由集合间的关系求参数范围 【解题策略】 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 16．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，若，那么的取值范围是 　 　． 17.已知集合A＝{x|x>4}，非空集合B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 18.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 19.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊂A，求实数m的取值范围． 易错点1：忽视空集导致出错 1．（2023·高一课时练习）已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围． 2、已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为______． 易错点2：忽视高次项系数导致出错 3、已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 易错点3：忽视判别式导致出错 4．（2022秋•松江区校级期中）集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是　 　． 5．已知，，若，求的取值范围. 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•浦东新区期中）已知集合A＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}，则集合A中的元素（　　） A．除以3余数为﹣1 B．除以3余数为1 C．除以3余数为2 D．能被3整除 2．（2023秋•宝山区校级月考）下列各式中正确的个数是（　　） ①0∈{0}； ②0∈∅； ③∅⊂{0}； ④0＝{0}． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•普陀区校级期中）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有（x+y）∈S，（x﹣y）∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若S为“完美集合”，则一定有0∈S； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”． 其中真命题是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．（2023秋•嘉定区校级期中）给出下列关系式，其中正确的是（　　） A．0∈∅ B．{0}⊂{x|x2＝x} C．{0}∈N D．{1，2}＝{（x，y）|} 5．（2023秋•徐汇区校级期中）下列关于集合的符号表述中，正确的是（　　） A．{﹣1}∈{﹣1，2} B． C．1⊆[0，1] D．∅⊂{0} 二．填空题（共15小题） 6．（2023秋•宝山区校级月考）已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R，x∈R}，若A中至多一个元素，则a的取值范围是 　 　． 7．（2023秋•浦东新区校级月考）已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是　 　． 8．（2023秋•青浦区校级期中）已知非空数集S满足：对任意给定的x、y∈S（x、y可以相同），有x+y∈S且x﹣y∈S．若集合S中最小的正数为6，则集合S＝　 　． 9．（2023秋•闵行区期中）下列写法中，正确的有 　 　． ①∅⊂{0}；②∅∉{0}；③0⊆{0}；④0∈∅． 10．（2023秋•青浦区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣12＝0}，B＝{x|ax+12＝0}，若B⊆A，则实数a组成的集合为 　 　． 11．（2023秋•虹口区校级期中）已知集合A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝　 　． 12．（2023秋•静安区期中）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2k﹣1|k∈A}，则B＝　 　． 13．（2023秋•徐汇区校级期中）若集合A＝{x|ax2+x﹣1＝0}有且仅有一个元素，则实数a＝　 　． 14．（2023秋•黄浦区校级月考）集合A＝{x|﹣2＜x＜5}，集合B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则m的取值的集合为 　 　． 15．（2023秋•闵行区校级月考）集合{x|（a﹣2）x2+3x﹣1＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则a＝　 　． 16．（2023秋•浦东新区校级期中）集合{a，b}的真子集个数为　 　个． 17．（2023秋•闵行区期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，m*n＝m+n；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，m*n＝mn．在此定义下，集合M＝{（a，b）|a*b＝16}中的元素个数是 　 　． 18．（2023秋•浦东新区期中）已知非空集合S⊂{x|x∈N，x≥1}，且若x∈S，则，满足题设条件的集合S共有 　 　个． 19．（2023秋•浦东新区校级月考）集合有且仅有2个子集，则a的取值集合为 　 　． 20．（2023秋•浦东新区校级月考）设集合M＝{x∈N|5﹣|2x﹣3|∈N*}，则M的所有非空真子集的个数是 　 　． 三．解答题（共2小题） 21．（2023秋•普陀区校级期中）已知集合P＝{x|x2+x﹣6＝0}，Q＝{x|ax+1＝0}，且满足Q⊆P，求实数a可能取的一切值． 22．（2023秋•浦东新区校级月考）设A＝{a|a＝3n+2，n∈Z}，B＝{b|b＝3k﹣1，k∈Z}，C＝{c|c＝6m+2，m∈Z} （1）证明：C⊂B； （2）证明：A＝B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合之间的关系（2大知识点+3种必考题型+3种易错分析+强化训练） 课程标准 学习目标 1、求子集、真子集的个数（偶考） 2、利用子集、真子集的概念求参数的值（或取值范围）（常考） 3、空集的概念（常考） 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系．(重点) 3.理解空集与子集、真子集之间的关系．(难点) 知识点01 子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 【即学即练1】指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解　(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 知识点02 真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 【即学即练2】填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 解　 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2. 题型01集合间关系的判断 【解题策略】 判断集合间关系的常用方法 1．（2023秋•长宁区校级期中）若集合，集合与集合之间的关系为　　 A． B． C． D． 【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案． 【解答】解：当时，； 当时，中元素为无理数，即． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 2．（2023秋•徐汇区校级期中）下列各式中，正确的个数是　　 ①，1，；②，1，，1，；③，1，； ④；⑤，；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用集合之间的关系是包含与不包含、元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系及其的意义即可判断出正误． 【解答】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此，1，，不正确，应该为，1，； ②，1，，1，，正确； ③，1，，正确； ④不含有元素，因此； ⑤，与的元素形式不一样，因此不正确； ⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，因此不正确． 综上只有：②，③正确． 故选：． 【点评】本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系及其的意义，考查了推理能力，属于基础题． 3．（2023秋•浦东新区校级期中）已知集合，2，3，，，，，则　　 【分析】分类讨论，分别令，2，3，4，结合元素互异性和，得到答案． 【解答】解：若，此时，与元素互异性矛盾，舍去， 若，此时，则，，满足， 若，此时，此时不满足， 若，此时，此时不满足， 综上，． 故答案为：2． 【点评】本题考查了集合的包含关系的判断及应用，考查了分类讨论思想，属于基础题． 4．（2023秋•静安区校级期中）满足，2，的集合的个数为　 　． 【分析】集合满足，2，，可知集合中必须含有元素1，再利用集合之间的包含关系即可得出． 【解答】解：集合满足，2，， ，，，，，，2，． 因此满足条件的集合的个数是4． 故答案为4． 【点评】本题考查了集合之间的包含关系，由包含关系得出是解题的关键，属于基础题． 5．（2023秋•普陀区校级期中）设，，若，则实数组成的集合　 ． 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解． 【解答】解：由解得，或，所以，， 当时，方程无解，则，满足题意； 当时，由解得，所以或7，解得或， 综上，实数组成的集合． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题． 6．（2023秋•闵行区期中）集合，，3，，则实数　 　． 【分析】直接利用子集的概念即可求出． 【解答】解：因为集合，，3，， 所以，即． 故答案为：2． 【点评】本题考查子集的应用，考查学生的逻辑思维能力，属简单题． 7．（2023秋•杨浦区校级期中）已知集合，，，若，则实数　 　． 【分析】利用集合包含关系，分类讨论元素的情况即可得解． 【解答】解：因为，，，， 当时，得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，得或（舍去），此时，即，，满足题意； 综上，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 8．（2023秋•上海期中）若，，，则集合的个数有　 　个． 【分析】根据题意知，再由子集的定义写出符合条件所有的集合． 【解答】解：，，，， 可能是，，，，，，，，共有4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查了子集的定义应用，难度不大，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏． 9．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合有整数解，非空集合满足条件： （1）， （2）若，则，则所有这样的集合的个数为　 　． 【分析】根据集合有整数解，利用韦达定理，可求出集合，进而根据已知中集合满足的两个条件，可得互为相反数的两个元素同属于，或同不属于，进而得到满足条件的集合的个数． 【解答】解：（1）的整数解只能是36的约数 当方程的解为，36时，； 当方程的解为，18时，； 当方程的解为，12时，； 当方程的解为，9时，； 当方程的解为，6时，； 当方程的解为1，时，； 当方程的解为2，时，； 当方程的解为3，时，； 当方程的解为4，时，； 故集合，，，，0，5，9，16， 由非空集合满足条件：（1），（2）若，则， 可得这样的集合共有个 故答案为：31 【点评】本题考查的知识是集合包含关系及时应用，其中分析出中不确定元素的组（个数是解答的关键． 10．（2023秋•宝山区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|mx﹣3＝0}，且B⊆A，则实数m的取值集合为 　 ． 【分析】分B＝∅，B＝{1}，B＝{3}和B＝{1，3}讨论，分别求出m即可． 【解答】解：由题意，集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}， 当B＝∅时，m＝0； 当B＝{1}时，m＝3； 当B＝{3}时，m＝1； 当B＝{1，3}时，无解． 即实数m的取值集合为{0，1，3}． 故答案为：{0，1，3}． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 题型02 子集、真子集的个数问题 【解题策略】 1．求集合子集、真子集个数的3个步骤 2．与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 11．（2023秋•静安区校级期中）集合A＝{1，2，3}，则集合A共有 　　个子集． 【分析】根据集合的子集个数公式计算即可． 【解答】解：由题意，集合A中有3个元素，则集合A共有23＝8个子集． 故答案为：8． 【点评】本题考查集合子集个数的应用，属于基础题． 12．（2023秋•浦东新区校级月考）设集合，3，5，，若非空集合同时满足：①；②（A），（其中表示中元素的个数，（A）表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【解答】解：当时，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为，，，， 当时，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为，，，，，， 当时，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为，5，， 综上所述：的所有好子集的个数为8， 故选：． 【点评】本题的关键理解题中定义，运用分类讨论思想进行求解． 13．（2024春•徐汇区校级期末）集合是，2，3，4，5，6，7，8，9，的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 　 　个． 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算集合，2，3，4，5，6，7，8，9，的全部子集数目，排除其中不含完全平方数的子集，即可得答案． 【解答】解：根据题意，集合，2，3，4，5，6，7，8，9，中共10个元素，有个子集， 其元素中，2、3、5、6、7、8，10不是完全平方数，则其子集中，不含完全平方数的子集数目为， 故满足条件的集合共有个． 故答案为：896． 【点评】本题考查集合的子集数目，注意集合子集的定义，属于基础题． 14．（2023秋•浦东新区校级期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数的值为 　 　． 【分析】由题意可知，方程只有一个根，分和两种情况讨论，即可求出实数的值． 【解答】解：由题意可知，方程只有一个根， ①当时，， 此时方程化为， 解得，符合题意， ②当，即时， △， 解得， 综上所述，实数的值为1或2． 故答案为：1或2． 【点评】本题主要考查了集合的子集个数，考查了分类讨论的数学思想，是基础题． 15．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． [解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， ∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． ∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}． 题型03 由集合间的关系求参数范围 【解题策略】 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 16．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，若，那么的取值范围是 　 　． 【分析】当，即时，，满足，当，即时，，由得：，最后综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：当，即时，，满足， 当，即时，， 由得：， 解得：， ， 综上所述，的取值范围是，， 故答案为：， 【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，解答时易忽略当，即时，的情况，而造成错解． 17.已知集合A＝{x|x>4}，非空集合B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解　因为B≠∅，根据题意作出如图所示的数轴， 则 解得2<a≤3. 所以实数a的取值范围为{a|2<a≤3}． 18.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 解　因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 则解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}． 19.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊂A，求实数m的取值范围． [思路点拨]　 ―→ [解]　(1)当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2. (2)当B≠∅时，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． 易错点1：忽视空集导致出错 1．（2023·高一课时练习）已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围． 【答案】m≤1． 【详解】∵B⊆A， 若B＝∅，则m≤0，满足B⊆A， 若B≠∅，则m＞0，由B⊆A，得m≤1，解得，0＜m≤1． 综上所述：实数m的取值范围为m≤1． 易错点点睛：容易漏掉的情形. 2、已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为______． 【错解】由题意得，A＝{x|－1≤x≤6}．因为B⊆A，则 解得0≤m≤.综上，m＜－2或0≤m≤. 【错因】忽略了集合B为空集的情况。 【正解】由题意得，A＝{x|－1≤x≤6}． 当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2，满足B⊆A. 当B≠∅时，若B⊆A，则解得0≤m≤. 综上，m＜－2或0≤m≤. 易错点2：忽视高次项系数导致出错 3、已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 【错解】由得：或，即；， ，或，解得：或； 综上所述：实数的值构成的集合是 【错因】忽略了对一次项系数a的讨论。 【正解】由得：或，即； ①当时，，满足，符合题意； ②当时，， ，或，解得：或； 综上所述：实数的值构成的集合是. 易错点3：忽视判别式导致出错 4．（2022秋•松江区校级期中）集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是　 　． 【解答】解：当a＝0时，A＝{x|4x+4＝0}＝{﹣1}满足题意 当a≠0时，要集合A仅含一个元素需满足 Δ＝16﹣16a＝0解得a＝1 故a的值为0；1 故答案为：0或1 【点评】本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况． 5．已知，，若，求的取值范围. 【错解】，，且. 由韦达定理可得，解得.所以实数的取值范围是. 【错因】忽略了集合B中的一元二次方程方程根的的个数。 【正解】，， 对于方程，，且. ①时，集合，可得，合乎题意； ②时，集合中只有一个元素，可得， 此时，合乎题意； ③时，集合中有两个元素，，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•浦东新区期中）已知集合A＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}，则集合A中的元素（　　） A．除以3余数为﹣1 B．除以3余数为1 C．除以3余数为2 D．能被3整除 【分析】根据余数不能为负数，则A＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}中的x除3余数为2． 【解答】解：由{x|x＝3k，k∈z}表示能被3整除的数，所以A＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}中的数除3余数不能为负数， 所以除以3余数为2． 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 2．（2023秋•宝山区校级月考）下列各式中正确的个数是（　　） ①0∈{0}； ②0∈∅； ③∅⊂{0}； ④0＝{0}． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系、集合与集合的关系以及空集的概念，对各项依次分析，可得答案． 【解答】解：对于①，0是集合{0}的元素，故0∈{0}，①正确； 对于②，空集不含任何元素，故0不是∅的元素，②错误； 对于③，空集是任意非空集合的真子集，故∅⊂{0}，③正确； 对于④，0是元素，{0}是含有元素0的集合，故0∈{0}，而不是0＝{0}，故④错误． 综上所述，正确的有①③，2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查元素与集合的关系、集合的包含关系、空集的概念等知识，属于基础题． 3．（2023秋•普陀区校级期中）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有（x+y）∈S，（x﹣y）∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若S为“完美集合”，则一定有0∈S； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”． 其中真命题是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断． 【解答】解：对于①，若S为“完美集合”，对任意的x∈S，0＝（x﹣x）∈S，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如{0}，②错； 对于③，集合， 在集合A中任意取两个元素，，，其中a、b、c、d为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，S＝{0}，T＝{0，1}，也满足④，但是集合T不是一个完美集合，④错． 故选：A． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的判断，属于基础题． 4．（2023秋•嘉定区校级期中）给出下列关系式，其中正确的是（　　） A．0∈∅ B．{0}⊂{x|x2＝x} C．{0}∈N D．{1，2}＝{（x，y）|} 【分析】利用元素与集合的关系，以及集合间的包含关系求解． 【解答】解：对于A，∅中不含有任何元素，故A错误； 对于B，{x|x2＝x}＝{0，1}，∴{0}⊂{x|x2＝x}，故B正确； 对于C，{0}⊂N，故C错误； 对于D，解方程组，得， ∴{（1，2）}＝{（x，y）|}，故D错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了集合的表示方法，属于基础题． 5．（2023秋•徐汇区校级期中）下列关于集合的符号表述中，正确的是（　　） A．{﹣1}∈{﹣1，2} B． C．1⊆[0，1] D．∅⊂{0} 【分析】由已知结合元素与集合，集合与集合关系检验各选项即可判断． 【解答】解：{﹣1}⊆{﹣1，2}，A错误； ，B错误； 1∈[0，1]，C错误； ∅⊆{0}，D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了元素与集合，集合与集合关系的判断，属于基础题． 二．填空题（共15小题） 6．（2023秋•宝山区校级月考）已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R，x∈R}，若A中至多一个元素，则a的取值范围是 　{0}∪[1，+∞）　． 【分析】根据题意，集合A中的方程为一次方程，或二次方程的根的判别式小于等于0，由此算出实数a的取值范围． 【解答】解：根据题意，当a＝0时，A＝{x|2x+1＝0}，符合题意， 当a≠0时，若A中至多有一个元素，可得Δ＝4﹣4a≤0，解得a≥1． 综上所述，a＝0或a≥1，实数a的取值范围是{0}∪[1，+∞）． 故答案为：{0}∪[1，+∞）． 【点评】本题主要考查集合的概念与表示、一元二次方程根的判别式等知识，考查了计算能力，属于基础题． 7．（2023秋•浦东新区校级月考）已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是　5＜k≤6　． 【分析】化简集合P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}＝{3，4，5}，从而求得． 【解答】解：∵集合P中恰有3个元素， ∴P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}＝{3，4，5}， ∴5＜k≤6， 故答案为：5＜k≤6． 【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题． 8．（2023秋•青浦区校级期中）已知非空数集S满足：对任意给定的x、y∈S（x、y可以相同），有x+y∈S且x﹣y∈S．若集合S中最小的正数为6，则集合S＝　{t|t＝6n，n∈Z}　． 【分析】根据题意，可利用题中所给出的定义，推导出集合中的数是6的倍数，从而得出答案． 【解答】解：对任意给定的x、y∈S（x、y可以相同），有x+y∈S且x﹣y∈S， 且6是集合中的最小正整数，则6n，n∈Z也属于集合S， 假设S里有形如6n+r，n∈Z，r∈{1，2，3，4，5}，那么（6n+r）﹣6n＝r∈S， 与6是集合中的最小正整数矛盾， 因此，集合S中所有元素都是6的倍数，即S＝{t|t＝6n，n∈Z}． 故答案为：{t|t＝6n，n∈Z}． 【点评】本题主要考查集合的概念与表示、元素与集合的关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 9．（2023秋•闵行区期中）下列写法中，正确的有 　①　． ①∅⊂{0}；②∅∉{0}；③0⊆{0}；④0∈∅． 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义求解． 【解答】解：空集是任何集合的子集，则①∅⊂{0}正确；②∅∉{0}错误；③0∈{0}，故错误；④0∉∅，故错误． 故答案为：①． 【点评】本题考查元素与集合的关系，考查空集的应用，属于基础题． 10．（2023秋•青浦区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣12＝0}，B＝{x|ax+12＝0}，若B⊆A，则实数a组成的集合为 　{0，﹣3，4}　． 【分析】求出集合A，对a分类讨论，由B⊆A即可求解a的值． 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣12＝0}＝{﹣3，4}， 当a＝0时，B＝∅，B⊆A，符合题意； 当a≠0时，， 因为B⊆A，所以或，解得a＝4或a＝﹣3， 综上，实数a组成的集合为{0，﹣3，4}． 故答案为：{0，﹣3，4}． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，考查运算求解能力，属于基础题． 11．（2023秋•虹口区校级期中）已知集合A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝　﹣2或0　． 【分析】由题意利用集合的包含关系可得x2＝4，或x2＝2x，解得x的值，进而利用集合的互异性，即可得解． 【解答】解：因为B⊆A， 所以x2＝4，或x2＝2x，解得x＝±2或x＝0． 又由集合的互异性，排除x＝2， 所以x＝﹣2或0． 故答案为：﹣2或0． 【点评】本题主要考查了集合的包含关系以及集合的互异性，属于基础题． 12．（2023秋•静安区期中）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2k﹣1|k∈A}，则B＝　{1，3，5，7}　． 【分析】根据集合的定义集体即可． 【解答】解：因为A＝{1，2，3，4}，B＝{2k﹣1|k∈A}， 所以B＝{1，3，5，7}． 故答案为：{1，3，5，7}． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，还考查了集合的表示方法，属于基础题． 13．（2023秋•徐汇区校级期中）若集合A＝{x|ax2+x﹣1＝0}有且仅有一个元素，则实数a＝　0或　． 【分析】由题意得方程ax2+x﹣1＝0有一个根或者两个相等的实数根，然后结合方程根的存在条件可求． 【解答】解：因为集合A中有且仅有一个元素，即方程ax2+x﹣1＝0有一个根或者两个相等的实数根， 当a＝0时，方程仅有一个实数根，满足题意； 当a≠0时．Δ＝1+4a＝0， 解得 ， 综上，a＝0或． 故答案为：0或． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题． 14．（2023秋•黄浦区校级月考）集合A＝{x|﹣2＜x＜5}，集合B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则m的取值的集合为 　{m|m＜3}．　． 【分析】由A与B的包含关系，对集合B分类讨论，进而即可得到答案． 【解答】解：若B⊆A， ①当B＝∅时，则m+1＞2m﹣1，即m＜2，满足题意； ②当B≠∅，则m+1≤2m﹣1，即m≥2， 从而，解得2≤m＜3． 综上所述，m的取值范围是{m|m＜3}． 故答案为：{m|m＜3}． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，考查运算求解能力，属于基础题． 15．（2023秋•闵行区校级月考）集合{x|（a﹣2）x2+3x﹣1＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则a＝　2或　． 【分析】推导出（a﹣2）x2+3x﹣1＝0只有一个解，从而a﹣2＝0或Δ＝9+4（a﹣2）＝0，由此能求出a的值． 【解答】解：∵集合{x|（a﹣2）x2+3x﹣1＝0，x∈R}有且仅有两个子集， ∴（a﹣2）x2+3x﹣1＝0只有一个解， ∴a﹣2＝0或Δ＝9+4（a﹣2）＝0， 解得a＝2或a． 故答案为：2或． 【点评】本题考查子集定义、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．（2023秋•浦东新区校级期中）集合{a，b}的真子集个数为　3　个． 【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有2n﹣1个真子集． 【解答】解：集合{a，b}的真子集个数为22﹣1＝3个， 故答案为：3． 【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题． 17．（2023秋•闵行区期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，m*n＝m+n；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，m*n＝mn．在此定义下，集合M＝{（a，b）|a*b＝16}中的元素个数是 　17　． 【分析】根据新定义，采用列举法即可得出集合M＝{（a，b）|a*b＝16}中的元素个数． 【解答】解：因为1+15＝16，2+14＝16，3+13＝16，4+12＝16，5+11＝16，6+10＝16，7+9＝16，8+8＝16，9+7＝16， 10+6＝16，11+5＝16，12+4＝16，13+3＝16，14+2＝16，15+1＝16，1×16＝16，16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对（a，b）， 所以集合M＝{（a，b）|a*b＝16}中的元素个数共有17个． 故答案为：17． 【点评】本题考查新定义，考查学生的逻辑思维能力，属中档题． 18．（2023秋•浦东新区期中）已知非空集合S⊂{x|x∈N，x≥1}，且若x∈S，则，满足题设条件的集合S共有 　31　个． 【分析】先分析出S的个数就是不同的选法种数，再计算，即可得结果． 【解答】解：满足条件的集合S：有1必有36，有2必有18，有3必有12，有4必有9，还有单个出现的6，共分5组， 满足条件的S，可以从5组中分别选1组，2组，3组，4组，5组， 则S的个数就是不同的选法种数， 共有5+10+10+5+1＝31． 故答案为：31． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于中档题． 19．（2023秋•浦东新区校级月考）集合有且仅有2个子集，则a的取值集合为 　　． 【分析】根据题意得出集合M只有一个元素，得出方程只有一个实数根，然后讨论根的情况即可求出a的值． 【解答】解：∵M有且仅有2个子集， ∴M只有一个元素， ∴方程x2﹣x﹣a﹣1＝0只有一个实数根，或有两个实数根时，其中一个根为1或﹣1， ∴Δ＝1+4a+4＝0，解得，或1﹣1﹣a﹣1＝0，a＝﹣1，或1+1﹣a﹣1＝0，a＝1， 时，，满足题意；a＝﹣1时，M＝{0}满足题意；a＝1时，M＝{2}满足题意， ∴a的取值集合为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程有二重根时判别式的取值情况，子集的定义及求法，考查了计算能力，是中档题． 20．（2023秋•浦东新区校级月考）设集合M＝{x∈N|5﹣|2x﹣3|∈N*}，则M的所有非空真子集的个数是 　14　． 【分析】根据题意，分析可得M＝{0，1，2，3}，若集合中有n个元素，则集合有2n﹣2个非空真子集，即可得答案． 【解答】解：M＝{x|5﹣|2x﹣3|∈N*}， 当x时，M＝{x|8﹣2x∈N*}，x＝2，3 当x时，M＝{x|2+2x∈N*}，x＝1，0 ∴M＝{0，1，2，3} 真子集的个数为24﹣1﹣1＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查子集与真子集，关键是求出集合A并区分子集与真子集两个概念． 三．解答题（共2小题） 21．（2023秋•普陀区校级期中）已知集合P＝{x|x2+x﹣6＝0}，Q＝{x|ax+1＝0}，且满足Q⊆P，求实数a可能取的一切值． 【分析】根据Q⊆P，分类讨论求解即可． 【解答】解：∵P＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，Q⊆P， ∴Q可能为∅，{﹣3}，{2}， 当a＝0时，ax+1＝0无解，故Q＝∅，满足Q⊆P， 当Q＝{﹣3}时，则﹣3a+1＝0，解得， 当Q＝{2}时，则2a+1＝0，解得． 综上，实数a的取值为． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，考查了元素与集合的关系，属于基础题． 22．（2023秋•浦东新区校级月考）设A＝{a|a＝3n+2，n∈Z}，B＝{b|b＝3k﹣1，k∈Z}，C＝{c|c＝6m+2，m∈Z} （1）证明：C⊂B； （2）证明：A＝B． 【分析】（1）根据集合中元素的性质，利用真子集的定义证明； （2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合能证明集合相等． 【解答】证明：（1）令k＝s+1，s∈Z，则B＝{b|b＝3k﹣1，k∈Z}＝{b|b＝3s+2，s∈Z}， ∴B为被3整除余2的整数构成的集合， C＝{c|c＝6m+2，m∈Z}＝{c|c＝3（2m）+2，2m∈Z}， 即C中元素都可以表示为3s+2，s∈Z的形式，其中s＝2m， ∴C中任意元素都属于B， 又B中存在不属于C的元素，例：5∈B，但5∉C， ∴C⊂B； （2）由（1）知B＝{b|b＝3k﹣1，k∈Z}＝{b|b＝3s+2，s∈Z}， A＝{a|3n+2，n∈Z}， ∴A＝B． 【点评】本题考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$