暑假预习专题 第2讲 集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第2讲 集合之间的关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 子集 真子集 空集 1.掌握子集、真子集、空集的定义及其表示方法(重点) 2.能用符号和维恩图表示集合间的关系(重点) 3.理解和辨识集合之间的包含、相等、真包含关系 4.感悟分类讨论思想与数形结合思想(重、难点) 学习重点：了解集合子集的含义，理解集合之间的关系，并能利用性质解决简单的问题。 学习难点：通过对子集定义的辨析、类比实数的大小关系，理解包含关系的三个结论。 1.子集： 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素， 就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； （2）对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 3.真子集 定义 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 4.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 （1）空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；（2）A≠∅，则∅⊂A 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 子集 定义 对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合 叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）； 对任何集合，规定；我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系． 如右上图是的维恩图． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ① ；②若且，则；③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且 ，则＂类似． 【经典例题】 【例1】下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误；对于②，任何集合都是本身的 子集，②正确；对于③，空集是任何集合的子集，③正确；对于④，集合是数集，有2个元素， 集合是点集，只有1个元素，④错误；所以正确的个数有2个. 【技巧归纳】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 【例2】（2025·杨浦·高一上期末）已知集合，且，则_____． 【答案】D 【解析】由题意，,若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意；又，故若时，解得或，若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意；综上所述，. 【技巧归纳】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 【例3】已知集合________． 【答案】 【解析】方法一　(列举法)对于集合A，取k＝…，0，1，2，3，…，得A＝ 对于集合B，取k＝…，0，1，2，3，4，5，…，得B＝，故； 方法二　(通分法) 集合A：x＝ (k∈Z)，分子为奇数．集合B：x＝ (k∈Z)，分子为整数，∴． 【技巧归纳】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列出元素就可以看出两个集合的关系即可． 【对点练习】 【练习1】若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有___个． 【答案】16 【练习2】若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________ 【答案】{0，1，2，3，4，5} 【练习3】已知集合，则 ． 【答案】0或或 【详解】根据题意可知，若，可知，满足题意； 若，即时，可知，若，可知或，解得或； 综上可知或或.故答案为：0或或. 【练习4】已知集合，则集合的非空真子集的个数为 . 【答案】【解析】集合，元素个数，所以非空真子集个数为； 故答案为:. 【练习5】下列五个关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 其中正确的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【练习6】满足条件的集合的个数为（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B【详解】由题意得，当集合中含有两个元素时，； 当集合中含有三个元素时，； 当集合中含有四个元素时，； 综上所述集合的个数为个，故选B. 知识点02 真子集 定义 对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集）， 那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂ 真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质： （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． （1）若 和 同时成立，则更能准确表达集合、 之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法， 即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 【经典例题】 【例4】满足的集合的个数为____________. 【答案】7 【详解】解：因为，所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个. 【易错提醒】根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合， 得到满足要求的集合，得到答案. 【例5】若集合A＝ ， |＝1，，∈R，B＝ ， |＝1＋，，∈R， 则A与B的关系是______________ . 【答案】AB 【详解】A＝ ， |＝1，，∈R，表示直线上除点以外上的 所有点，B＝ ， |＝1＋，，∈R，表示直线上的所有点，所以AB， 故答案为：AB. 【易错提醒】本题考查了集合的包含关系，解决此题的关键是确定集合中的元素. 【对点练习】 【练习8】已知， 则A与B之间的包含关系为 . 【答案】 【练习9】已知集合，集合，若，实数的取值范围是 ， 若，实数的取值范围是 . 【答案】 【易错提醒】本题考查集合的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地找到参数的不等关系． 知识点03 集合相等 定义 已知两个集合与，若，且 ，则称这两个集合相等，记作． 如图是集合的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、 之积相等来解答问题. 【经典例题】 【例6】已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C.【详解】由于同号，又，所以均为负数，故则，故对于任意中的元素，满足集合，故，因此. 【易错提醒】＂＂是元素与集合之间的关系，如 ，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成;根据集合中的元素 满足的特征可得和，即可求解. 【例7】（2023•闵行区校级期中）是有理数集，集合， 在下列集合中：①；②，；③，，； ④，，．与集合相等的集合序号是　　 ． 【答案】④． 【详解】解：对于①．，设，，，则， 不妨取，，可知，而，，显然，故①的集合与不相等； 对于②．令，，，则，显然， 但，，故②的集合与不相等： 对于③．当，，，时，，故③的集合与不相等； 对于④．令，，，，，，， 其中，，，故④的集合与相等． 故答案为：④． 【易错提醒】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合 一致即可． 【例8】（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为 　 　． 【答案】1． 【详解】解：由题意，，且，解得，且，， 因为，所以或，由，可得，（舍去）； 由，可得，（舍去）或，；所以；故答案为：1． 【易错提醒】根据元素的互异性，确定，的范围，根据集合相等列方程求，即可． 【例9】（2024•浦东新区校级月考）下列关系式错误的个数为：　　 ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】空集不含任何元素，错误，①错误；空集是任何集合的子集，正确，②正确； 0是自然数，正确，③正确；，错误，④错误，错误的个数为2；故选：． 【易错提醒】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【对点练习】 【练习10】（2024·上海宝山阶段练习）满足的集合M的个数为____个. 【答案】3 【详解】由题意可知：可以是：，，共3个， 【练习11】设是有理数，集合，，，，在下列集合中； （1），；（2），； （3），；（4），；与相同的集合有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】【分析】将，分别代入（1），（2），（3），化简并判断，与， 是否一一对应，再举反例判断（4）． 【详解】解：对于（1）由，可得，，一一对应， 则，，故（1）符合； 对于（2）由，可得，，一一对应， 则，，故（2）符合； 对于（3）由，可得，， 一一对应，则，，故（3）符合； 对于（4），但方程无解，则，与不相同；故选：． 【练习12】（2024•浦东新区校级期中）已知集合，0，，，0，，且，则 　 　． 【答案】1【分析】根据集合相等的条件，由元素的相等列方程求解并检验集合中元素的互异性． 【详解】解：集合，0，，，0，，且，则，解得或， 当，，0，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；，，0，，符合题意． 故答案为：1． 【练习13】（2024•宝山区校级期中）已知，，，．若，则　 　． 【答案】1【分析】由集合相等的定义可得或，由此即可求解． 【详解】解：因为，则或，解得，故答案为：1． 【练习14】（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为 　 　． 【答案】1【分析】根据元素的互异性，确定，的范围，根据集合相等列方程求，即可． 【详解】解：由题意，，且，解得，且，， 因为，所以或，由，可得，（舍去）； 由，可得，（舍去）或，；所以．故答案为：1． 1. 数轴法 对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示. 集合与用数轴表示分别如图所示． 2. 数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． 3. 有限集合的子集或者真子集的个数 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n 1．若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有________个． 【答案】16 2．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________ 【答案】{0，1，2，3，4，5} 3．设集合，则 ， ， （填集合与的关系） 【答案】；； 4．如果集合，，， 那么下列结论中正确的是（ ） B． C． D． 【答案】C 5．已知，若，求的值 【答案】 6．满足条件的集合M的个数是 【答案】7 7．已知集合， 则之间的关系是 【答案】A 8．已知集合，且，，则实数的取值范围是 【答案】 9．下列五个关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 其中正确的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 10．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值. 【答案】x＝y＝－1 11．已知集合，非空集合，且，求实数的取值范围； 【答案】 12．已知，，，求的取值范围. 【答案】当，即时，满足，即； 当，即时，满足，即； 当，即时，由，得即；∴ 13．设集合求集合的所有非空子集元素和的和. 【难度】★★★【答案】含有的子集有个；含有的子集有个；含有的子集有个；…， 含有的子集有个，∴ 14．已知集合A＝|－1≤＜4，B＝|－4＋3＝0．若BA，求实数的取值范围. 【答案】∵－4＋3＝0，∴＝或＝3； 当＝0时，B＝0；当≠0时，B＝，3； 若BA时，＝0或，∴－≤＜． 15．若集合M= P=，x0∈M，y0∈P， 求与集合M、P的关系 【答案】 16．已知集合，，，且，求的取值范围 【答案】，当时，， 而 则 这是矛盾的； 当时，，而，则； 当时，，而，则； ∴． 17．已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）分和两种情况讨论，结合 可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）由题意可得， 分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当，即时，，故符合题意； 当且时，有，解得;综上可知，的取值范围是； （2）因为不存在实数使得且，所以;当时，有； 当且时，有或，解得. 故实数的取值范围是或. 18.己知集合，⑴求证：任何奇数都是中的元素； ⑵判断偶数是否为的元素？请说明理由；⑶求证：属于的两个元素之积仍属于； ⑷试求中第个正整数．【知识点】集合的概念【难度】★★★ 【答案】⑴由奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． ⑵分析集合的性质，可得，且此时同奇同偶， 所以或为偶数，或为的倍数，因此数字不是集合中的元素； ⑶不妨任意取，则， 所以，因为，， 所以可知属于集合的两个元素之积仍属于集合； ⑷由⑴、⑵、⑶可知相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，则这个数中有个是集合的元素， 而分析，故中第个正整数应该是． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第2讲 集合之间的关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 子集 真子集 空集 1.掌握子集、真子集、空集的定义及其表示方法(重点) 2.能用符号和维恩图表示集合间的关系(重点) 3.理解和辨识集合之间的包含、相等、真包含关系 4.感悟分类讨论思想与数形结合思想(重、难点) 学习重点：了解集合子集的含义，理解集合之间的关系，并能利用性质解决简单的问题。 学习难点：通过对子集定义的辨析、类比实数的大小关系，理解包含关系的三个结论。 1.子集： 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素， 就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； （2）对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 3.真子集 定义 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 4.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 （1）空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；（2）A≠∅，则∅⊂A 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 子集 定义 对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合 叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）； 对任何集合，规定；我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系． 如右上图是的维恩图． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ① ；②若且，则；③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且 ，则＂类似． 【经典例题】 【例1】下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【技巧归纳】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 【例2】（2025·杨浦·高一上期末）已知集合，且，则_____． 【技巧归纳】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 【例3】已知集合________． 【技巧归纳】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列出元素就可以看出两个集合的关系即可． 【对点练习】 【练习1】若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有___个． 【练习2】若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________ 【练习3】已知集合，则 ． 【练习4】已知集合，则集合的非空真子集的个数为 . 【练习5】下列五个关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 其中正确的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【练习6】满足条件的集合的个数为（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 知识点02 真子集 定义 对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集）， 那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂ 真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质： （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． （1）若 和 同时成立，则更能准确表达集合、 之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法， 即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 【经典例题】 【例4】满足的集合的个数为____________. 【易错提醒】根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合， 得到满足要求的集合，得到答案. 【例5】若集合A＝ ， |＝1，，∈R，B＝ ， |＝1＋，，∈R， 则A与B的关系是______________ . 【易错提醒】本题考查了集合的包含关系，解决此题的关键是确定集合中的元素. 【对点练习】 【练习8】已知， 则A与B之间的包含关系为 . 【练习9】已知集合，集合，若，实数的取值范围是 ， 若，实数的取值范围是 . 【易错提醒】本题考查集合的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地找到参数的不等关系． 知识点03 集合相等 定义 已知两个集合与，若，且 ，则称这两个集合相等，记作． 如图是集合的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、 之积相等来解答问题. 【经典例题】 【例6】已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】＂＂是元素与集合之间的关系，如 ，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成;根据集合中的元素 满足的特征可得和，即可求解. 【例7】（2023•闵行区校级期中）是有理数集，集合， 在下列集合中：①；②，；③，，； ④，，．与集合相等的集合序号是　　 ． 【易错提醒】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合 一致即可． 【例8】（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为 　 　． 【易错提醒】根据元素的互异性，确定，的范围，根据集合相等列方程求，即可． 【例9】（2024•浦东新区校级月考）下列关系式错误的个数为：　　 ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【易错提醒】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【对点练习】 【练习10】（2024·上海宝山阶段练习）满足的集合M的个数为____个. 【练习11】设是有理数，集合，，，，在下列集合中； （1），；（2），； （3），；（4），；与相同的集合有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【练习12】（2024•浦东新区校级期中）已知集合，0，，，0，，且，则 　 　． 【练习13】（2024•宝山区校级期中）已知，，，．若，则　 　． 【练习14】（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为 　 　． 1. 数轴法 对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示. 集合与用数轴表示分别如图所示． 2. 数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． 3. 有限集合的子集或者真子集的个数 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n 1．若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有________个． 2．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________ 3．设集合，则 ， ， （填集合与的关系） 4．如果集合，，， 那么下列结论中正确的是（ ） B． C． D． 5．已知，若，求的值 6．满足条件的集合M的个数是 7．已知集合， 则之间的关系是 8．已知集合，且，，则实数的取值范围是 9．下列五个关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 其中正确的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值. 11．已知集合，非空集合，且，求实数的取值范围； 12．已知，，，求的取值范围. 13．设集合求集合的所有非空子集元素和的和. 14．已知集合A＝|－1≤＜4，B＝|－4＋3＝0．若BA，求实数的取值范围. 15．若集合M= P=，x0∈M，y0∈P， 求与集合M、P的关系 16．已知集合，，，且，求的取值范围 17．已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围；（2）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 18.己知集合，⑴求证：任何奇数都是中的元素； ⑵判断偶数是否为的元素？请说明理由；⑶求证：属于的两个元素之积仍属于； ⑷试求中第个正整数．【知识点】集合的概念【难度】★★★ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $