第09讲 一次函数与二元一次方程 （1个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第09讲 一次函数与二元一次方程 （1个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 【例1】（2021秋•定远县校级期末）已知直线与直线交于点，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•蚌山区校级月考）如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•利辛县期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是 　　． 【变式3】（2023秋•蒙城县期中）已知关于，的二元一次方程组的解是，直线与直线相交于点，若直线过点，则实数的值是 　　． 【变式4】（2023秋•明光市期中）如图，一次函数，和是常数）的图象分别交轴和轴交于点和点，一次函数，和是常数）的图象分别交轴和轴交于点和点，直线与交于点． （1）①关于的不等式的解集为 　　； ②关于，的二元一次方程组的解为 　　； （2）若，求直线的表达式． 经典题型汇编 题型一.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）既在直线上，又在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，正比例函数与一次函数相交于点P，则方程组的解为 ． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）已知：一次函数和． (1)如图，在平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并写出交点的坐标； (2)结合图象，写出方程组的解． 题型二.图象法解二元一次方程组 4．（20-21八年级上·安徽马鞍山·期末）若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 6．（20-21八年级上·安徽淮北·期中）在同一平面直角坐标系内用列表、描两点画直线，画出一次函数和的图象．利用图象求： （1）方程的解； （2）方程组的解； （3）不等式的解集． 题型三.求直线围成的图形面积 7．（21-22八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 8．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为 ． 9．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）一次函数的图象是直线，直线经过点． (1)求两条直线的表达式； (2)求两条直线与轴围成的三角形面积． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）对于函数，下列说法错误的是（　　） A．图象一定经过点 B．图象与y轴的交点是 C．y随着x的增大而减小 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是9 3．（21-22八年级上·安徽亳州·期中）点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）若直线与的交点在第一象限，则的值可以是（    ） 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与交点的横坐标为1，若与轴的所夹角为，则方程组解为（    ） A． B． C． D．无解 8．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像如图所示，则方程组是（    ） A． B． C． D． 9．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（   ） A．关于的方程的解是 B．关于的方程组的解是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于的不等式的解集是 二、填空题 11．（八年级上·安徽宿州·期末）直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 12．（19-20八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如果直线y= 2x+b与两坐标轴所围成的三角形面积是16，则b的值为 ． 13．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是    14．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1） ； （2）点是轴上一动点，连接，若的周长最小，则点的坐标为 ． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数的图象经过点．    (1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 16．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．    (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 17．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、．    (1)根据图象直接写出方程组的解为____________； (2)根据图象直接写出不等式的解集为___________； (3)求的面积． 18．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线：过点和，直线：和y轴交于点B和直线交于C点． (1)求两条直线交点C的坐标及的面积； (2)x取何值时，． 19．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）直线与直线与y轴分别交于点A，B，两直线的交点为C． (1)根据题意画出图象； (2)根据图象，直接写出当时x的取值范围； (3)求的面积． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线：与与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线：经过点C，且与交于点 (1)求直线与的解析式； (2)记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； (3)根据图象，直接写出的解集． 21．（23-24八年级上·安徽池州·期末）如图，直线的表达式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线，交于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)利用图象直接写出当时的取值范围． 22．（22-23八年级上·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 23．（八年级·全国·期末）如图，直线y1=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． (1)方程组的解是　　； (2)当与同时成立时，x的取值范围为　 ； (3)求的面积； (4)在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 一次函数与二元一次方程 （1个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 【例1】（2021秋•定远县校级期末）已知直线与直线交于点，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】把代入求出得到点坐标，利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：点在直线上， ，解得， 点的坐标为， 方程组的解为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 【变式1】（2022秋•蚌山区校级月考）如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【解答】解：直线和直线相交于点，则方程组的解是， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【变式2】（2023秋•利辛县期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是 　　． 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【解答】解：把代入得，解得， 所以点坐标为， 所以关于、的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【变式3】（2023秋•蒙城县期中）已知关于，的二元一次方程组的解是，直线与直线相交于点，若直线过点，则实数的值是 　　． 【分析】先根据二元一次方程组于直线交点的问题确定点以及，然后代入求出的值即可； 【解答】解：关于，的二元一次方程组的解是，直线与直线相交于点， 点，，解得：． 直线过点， 直线过点，即，解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数与二元一次方程，根据二元一次方程组的解确定直线交点的坐标是解答本题的关键． 【变式4】（2023秋•明光市期中）如图，一次函数，和是常数）的图象分别交轴和轴交于点和点，一次函数，和是常数）的图象分别交轴和轴交于点和点，直线与交于点． （1）①关于的不等式的解集为 　　； ②关于，的二元一次方程组的解为 　　； （2）若，求直线的表达式． 【分析】（1）①图象法解不等式即可；②图象法解方程组即可； （2）待定系数法求解析式即可． 【解答】解：（1）①由图象可知：关于的不等式的解集为； 故答案为：； ②由图象可知：二元一次方程组的解即为两条直线的交点的横纵坐标， 方程组的解集为：； （2）设， ， ， 把，代入解析式，得：， 解得：， 直线，将，代入，得：， ． 【点评】本题考查一次函数与方程，一次函数与不等式，掌握一次函数与方程关系是解题关键． 经典题型汇编 题型一.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）既在直线上，又在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求两条直线的交点问题，联立两个函数解析式，求出交点坐标即可． 【详解】解：联立，得：， ∴既在直线上，又在直线上的点是； 故选C． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，正比例函数与一次函数相交于点P，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系．数形结合是解题的关键． 由题意知，点P的横坐标为1，当时，，即；由图象可知，的解为两直线交点的横纵坐标，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，点P的横坐标为1， 当时，，即； 由图象可知，的解为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）已知：一次函数和． (1)如图，在平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并写出交点的坐标； (2)结合图象，写出方程组的解． 【答案】(1)图象见解析；； (2)． 【分析】（）根据函数图象的画法作出这两个函数的图象，并写出交点坐标即可； （）根据图象的交点坐标即可得出结论； 本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握图象与性质及数形结合思想． 【详解】（1）列表： 描点， 连线， 两直线的交点坐标为； （2）由图象可知，方程组的解是． 题型二.图象法解二元一次方程组 4．（20-21八年级上·安徽马鞍山·期末）若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线和直线关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得． 【详解】解：直线和关于原点对称的直线为y=mx+3和， ∵直线和相交于点P（2，3）， ∴直线y=mx+3和y=2xn相交于点（2，3）， ∴方程组的解为； 故选：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，求得直线关于原点的对称直线是解题的关键． 5．（20-21八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】一次函数与的交点为P（、4） 解得 点P的坐标为（2、4） 的解为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解． 6．（20-21八年级上·安徽淮北·期中）在同一平面直角坐标系内用列表、描两点画直线，画出一次函数和的图象．利用图象求： （1）方程的解； （2）方程组的解； （3）不等式的解集． 【答案】图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】（1）首先用两点法画出，图象，方程的解看两直线的交点，横坐标即为x的值； （2）方程组的解看两直线的交点，x就是横坐标，y就是纵坐标． （3）根据图象可知，以交点为分界，直线在上面的函数值大． 【详解】列表： 0 1 -1 2 0 2 描点作图如图所示： 从图形观察可知两直线交于点(1，2)， （1）由图象可知，直线与交点的横坐标为1， 则方程的解为； （2）由图象可知，直线与交点的坐标为(1，2)， 则方程组即的解为； （3）由图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 则不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象的画法及一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系，正确画出函数的图象是解题的关键． 题型三.求直线围成的图形面积 7．（21-22八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出答案． 【详解】解：∵当x＝0时，y＝4， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与y轴交于点（0，4）， ∵当y＝0时，即−x＋4＝0， 解得：x＝4， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与x轴交于点（4，0）， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为：×4×4＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】先求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可得出答案． 【详解】一次函数中 令，则 令，则 这个一次函数的解析式为或． 【点睛】本题考查了求直线围成的图形面积，解题的关键是求出交点坐标． 9．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）一次函数的图象是直线，直线经过点． (1)求两条直线的表达式； (2)求两条直线与轴围成的三角形面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的定义，直线与坐标轴围城图形面积； （1）根据一次函数定义求出解析式，把代入即可求出的解析式； （2）分别求出与轴交点坐标、两直线交点坐标再求面积即可． 【详解】（1）∵一次函数的图象是直线， ∴，解得， ∴直线， 把代入得， 解得， ∴直线； （2）当时，， ∴与轴交点坐标为，与轴交点坐标为， ∵联立，解得 ∴两条直线交点坐标为， ∴两条直线与轴围成的三角形面积为． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，注意计算的准确性即可． 【详解】解：联立， 解得： ∴交点坐标为， 故选：B 2．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）对于函数，下列说法错误的是（　　） A．图象一定经过点 B．图象与y轴的交点是 C．y随着x的增大而减小 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是9 【答案】B 【分析】将点的横坐标代入解析式即可得到纵坐标，以此来判断A、B选项是否正确，根据一次函数“时，y随x的增大而增大，时，要随x的增大而减小”即可判断C选项，求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标即可求得底和高，进而判断D选项的正误． 【详解】将代入得， ∴直线经过，选项A正确． 将代入得， 直线与y轴交点坐标为，选项B不正确． ， 一次函数中，y随x的增大而减小，选项C正确． 将代入得， 解得， 直线与x轴交点坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形的面积为，选项D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，能根据一次函数的比例系数k和截距b判断函数的图象与性质是解决本题的关键． 3．（21-22八年级上·安徽亳州·期中）点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值． 【详解】解：已知和， ． ， ， ， 当时，， 解得． ， ， 即； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．先求出m的值，再根据一次函数图象交点坐标与方程组解的关系求解即可． 【详解】解：把代入，得 ∴， ∴． ∵直线与直线相交于点， ∴关于x、y的方程组的解是． 故选A． 5．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（）熟练运用待定系数法就解析式；（）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴； 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴， 联立， 解得， ∴此刻的时间为． 故选C． 6．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）若直线与的交点在第一象限，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】联立两个函数的解析式求出交点坐标，进而根据第一象限内点的坐标特点得到关于b的不等式组，求出不等式组的解集即可得解. 【详解】解方程组，得， 因为直线与的交点在第一象限， 所以，解得， 观察各选项，的值可以是1； 故选：A. 【点睛】本题考查了两条直线的交点、第一象限内的点的坐标符号特点和一元一次不等式组的解法，熟练掌握上述知识，准确求解方程组和不等式组是关键. 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与交点的横坐标为1，若与轴的所夹角为，则方程组解为（    ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可． 【详解】解：如图，    对于，当时，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 把代入得，， 解得， ∴方程组可变形为， 此时，方程组无解， 故选：D． 8．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像如图所示，则方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组． 【详解】解：设经过一、三、四象限的函数解析式为：y=kx+b，其经过点(1，1)和点(0，-1)， 代入解析式中：1=k+b，-1=b，解得：k=2， 所以其解析式为：y=2x-1， 设经过一、二、四象限的函数解析式为：y=mx+n，其经过点(1，1)和点(2，0)， 代入解析式中：1=m+n，0=2m+n，解得：m=-1，n=2， 所以其解析式为：y=-x+2， 因此所解得二元一次方程组为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 9．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组． 【详解】解：设一次函数的解析式为：． ①直线经过、， ， 解得，， 函数解析式为，即； ②直线经过、， ， 解得，， 函数解析式为，即； 因此以两条直线，的交点坐标为解的方程组是：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式，待定系数法求函数解析式，二元一次方程组与一次函数的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 10．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（   ） A．关于的方程的解是 B．关于的方程组的解是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于的不等式的解集是 【答案】D 【分析】根据两直线的交点坐标即可判断A、B，根据图象即可判断C、D． 【详解】解：∵两直线相交于点， ∴方程的解是，方程组的解是， 故A、B正确，不符合题意； ∵当时，直线在直线的上方， ∴当时，函数的值比函数的值大， 故C正确，不符合题意； ∵当时，直线在直线的上方， ∴当时，，整理得：， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用图像法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法和步骤． 二、填空题 11．（八年级上·安徽宿州·期末）直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 【答案】4 【分析】首先求出直线y＝﹣2x﹣4与x轴、y轴的交点的坐标，然后根据三角形的面积公式，得出结果． 【详解】解：令x＝0，则y＝﹣4， 令y＝0，则x＝﹣2， 故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴的交点分别为（0，﹣4）、（﹣2，0）， 故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积＝×|﹣4|×|﹣2|＝4． 故答案为4． 【点睛】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数 与x轴的交点为，与y轴的交点为． 12．（19-20八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如果直线y= 2x+b与两坐标轴所围成的三角形面积是16，则b的值为 ． 【答案】±8 【分析】先求出直线y=-2x+b与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式列出关于b的方程，求出b的值即可． 【详解】当x=0时，y=b， 当y=0时，， 则根据三角形的面积公式：， 解得． 故答案为±8． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求出函数与x轴、y轴的交点是解题的关键，需要注意坐标与长度的区别． 13．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是    【答案】 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入， 得，解得， 所以点坐标为， 所以关于的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的综合应用，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键． 14．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1） ； （2）点是轴上一动点，连接，若的周长最小，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，以及轴对称图形的性质： （1）先求出点B的坐标，可得直线的解析式，从而求出m的值，再把把代入，即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的周长最小．求出直线的表达式，即可求解． 【详解】解：（1）直线与轴交于点，且经过点， ， ， 直线， 直线经过点， ， ， 把代入，得：， 解得：； 故答案为： （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的周长最小． 设直线的表达式为， ， ∴， 解得：， 直线的表达式为， 令，得到， ． 故答案为： 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数的图象经过点．    (1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，求一次函数与坐标轴围成的图形面积： （1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再画出对应的函数图象即可； （2）先求出A、B的坐标，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， 函数图象如下所示：    （2）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．    (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求两条直线的交点坐标，观察图象判断自变量取值范围， （1）将点B，C的坐标代入关系式得到方程组，求出方程组的解即可； （2）先求出的关系式，再将两个关系式联立，求出解即可； （3）观察图象直线在直线上方的部分，即可得出自变量的取值范围. 【详解】（1）设的表达式为， 将、代入得， ， 解得， 所以的表达式为； （2）将代入得，， 所以直线的表达式为. 由方程组得， 解得， 故D点坐标为； （3）由图象可知，在点左侧时，，即时，． 17．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、．    (1)根据图象直接写出方程组的解为____________； (2)根据图象直接写出不等式的解集为___________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题． （1）根据两直线的交点横纵坐标即为两直线组成的二元一次方程组的解进行求解即可； （2）根据函数图象找到直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出两直线解析式进而求出A、B坐标，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数和的图象交于， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入中得：， ∴， ∴ 把代入中得：， ∴， ∴， 在和中，当时，和， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线：过点和，直线：和y轴交于点B和直线交于C点． (1)求两条直线交点C的坐标及的面积； (2)x取何值时，． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与一元一次方程组，一次函数与一元一次不等式组． （1）把点A，D的坐标代入直线：，求出k和b的值，从而得到直线的解析式．解直线和直线的解析式组成的方程组，即可得到交点C的坐标．根据三角形的面积公式即可求的的面积． （2）由得，求解即可． 【详解】（1）∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得， ∴点C的坐标为， 把代入直线：，得， ∴点B的坐标为， 如图所示，过点C作轴于点N， ∵，，， ∴，， ∴． （2）∵，， ∴当时，， 解得：． 19．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）直线与直线与y轴分别交于点A，B，两直线的交点为C． (1)根据题意画出图象； (2)根据图象，直接写出当时x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，并结合了三角形的面积问题，解决本题的关键是掌握描点作图法并能观察图象解决问题． （1）两点确定一条直线，找到一次函数与坐标轴的两个交点即可描点画图； （2）要使，则图象上的图象要在的下方，观察图象，得到x的取值范围； （3）由点的坐标得到的底和高进而求得面积． 【详解】（1）解：直线，当时，， ∴， 直线，当时，， ∴， 联立方程组， 解得， 画图如下： （2）解：由图象，得当时， （3）解：． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线：与与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线：经过点C，且与交于点 (1)求直线与的解析式； (2)记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； (3)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1)：，：； (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式，待定系数法求一次函数的解析式： （1）先求出直线表达式，再求点B坐标，点B与点C关于y轴对称，即得点C坐标，结合点，即可求出直线的解析式； （2）先求出点和点的坐标，再根据三角形的面积公式建立等式，即可作答； （3）根据图象，要找满足的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线的图象在的图象上方，且的图象在x轴的上方． 解题的关键是求得两条直线的解析式． 【详解】（1）解：∵：经过点， 则把代入中， ∴， 解得， 所以的直线解析式为； 令， 则， 解得 所以， ∵点B与点C关于y轴对称， ∴， ∵：经过点C和点A， ， 解得， ∴的直线解析式为； （2）解：在直线的解析式中， 令， 则， ∴， 在直线的解析式中令， 则， ∴， ∴， ； （3）解：根据图象，因为，且， 则， 又因为，且直线与交于点， 所以， 故的解集为． 21．（23-24八年级上·安徽池州·期末）如图，直线的表达式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线，交于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)利用图象直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的交点坐标． （1）将代入即可求出点C的坐标，再根据，两点坐标利用待定系数法即可求出直线解析式； （2）两个直线解析式分别令，即可求出点和点的坐标，即可求出，结合点的坐标利用三角形的面积公式即可得出答案； （3）在图象上找到直线在直线下方的的取值范围即可得出答案围． 【详解】（1）把代入得：， 解得， ， 把，代入得： ， 解得， 直线的表达式为； （2）在中，令得， ， 在中，令得， ， ， ， 的面积是3； （3）由图象得：当时． 22．（22-23八年级上·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两组的解，转化为直线上的点，根据两点确定一条直线，作图即可． （2）找到直线在直线的上方时，的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：， 当时，；当时，； 故直线过点， 作图如下： 由图可知：与交于点， ∴方程组的解为：； （2）解：由图象可知：当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为：． 【点睛】本题考查利用图象法解二元一次方程组和一元一次不等式．熟练掌握两条直线的交点坐标，即为二元一次方程组的解，是解题的关键． 23．（八年级·全国·期末）如图，直线y1=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． (1)方程组的解是　　； (2)当与同时成立时，x的取值范围为　 ； (3)求的面积； (4)在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】（1）由两直线的交点C的坐标，可得方程组的解； （2）通过函数图象即可得出x的取值范围； （3）先求出点A和点B的坐标，即可得到的面积； （4）令，根据与的面积相等，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：方程组的解为：； 故答案为：； （2）如图所示：当与同时成立时， x取何值范围是：； 故答案为：； （3）∵令，则，， ∴，． ∴． ∴； （4）令，则， ∴． ∵点P异于点C， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，题目较为基础，注意数形结合思想的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$