第11讲 三角形中的边角关系（一）（3个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第11讲 三角形中的边角关系（一）（3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【例1】（2020秋•颍州区校级月考）如图，图中三角形的个数为　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】（2023秋•凤阳县期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•凤阳县期中）如图，以为边的三角形有 　　个． 【变式3】（颍泉区校级月考）观察以下图形，回答问题： （1）图②有　3　个三角形；图③有　　个三角形；图④有　　个三角形；猜测第七个图形中共有　　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有　　个三角形（用含的代数式表示结论）． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【例2】（2022秋•涡阳县校级月考）如图，已知中，点、分别是边、的中点．若的面积等于8，则的面积等于　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2022秋•凤阳县期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则　　． 【变式2】（2021秋•镜湖区校级期中）在画三角形的三条重要线段（角平分线、中线和高线）时，不一定画在三角形内部的是 　　． 【变式3】（2023秋•天长市期中）如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为 　　； （2）若，是高，求的度数； （3）若，是角平分线，求的度数． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【例3】（2021秋•淮南月考）如图，线段把分为面积相等的两部分，则线段是　　 A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上都不对 【变式1】（2023秋•包河区期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 　　． 【变式2】（2023秋•怀宁县期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是　　 A．9 B．12 C．18 D．20 【变式3】（2022秋•芜湖期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． （1）如图1，在中，，，，，，则长为 　　； （2）如图2，在中，，，则的高与的比是 　　； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 经典题型汇编 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（19-20八年级上·安徽马鞍山·期末）若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为，则的面积为 ．      题型二、三角形的分类 3．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，若，，则该三角形是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）      5．（21-22八年级上·安徽六安·期末）在中，， (1)求、、的度数； (2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 题型三、构成三角形的条件 6．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）以下列各组线段为边，不能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形． 8．（八年级上·安徽六安·期中）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分成6和12两部分，求三角形三边的长． 题型四、确定第三边的取值范围 9．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）若一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长为，a的值可能是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 10．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）三角形的三边长分别是，，，已知是奇数，则的值为 ． 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已如三角形的三条边长为3、5和. (1)若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值. 题型五、三角形三边关系的应用 12．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形两边的长分别是4cm和8cm，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．2cm B．4cm C．8cm D．12cm 13．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知是的三边长，满足为整数，则 ． 14．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列分解因式的过程：． 解：原式 ． 像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． (1)请你运用上述配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 题型六、根据三角形中线求长度 15．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 16．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的周长为 ． 17．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，求和的长． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，5，8 B．5，12，13 C．3，7，11 D．9，7，2 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）以下列各组长度为边，能构成三角形的是（    ） A．1，2，5 B．2，3，5 C．2，2，5 D．2，5，5 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）当满足条件（    ）时，是直角三角形． A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在中，若，则该三角形是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）某大学生利用手机看球赛期间，把手机放在一个支架上面，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（    ）      A．对称性 B．三角形的内角和为180° C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 6．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 7．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图所示，在中，，，垂足分别是D，E，F，则下列说法错误的是（   ）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 8．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，为了估计池塘岸边M，N两点之间的距离，小明在该池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则M，N两点之间的距离可能是（    ） A．26米 B．19米 C．6米 D．5米 9．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知是边的中线，是边的中线，F为的中点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 11．（八年级上·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，最大锐角a的取值范围是 ． 12．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ．    13．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且，则 ． 14．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）若具有以下条件或关系式：①；②；③的三条高的交点恰在顶点处；④与的角平分线交于点，且．其中能得到的条件或关系式是 ．（填序号）． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 16．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于E，平分，求的度数． 17．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 19．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，点为边上一点，交于点． (1)若的长为奇数，求的长度； (2)若，求的度数． 20．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．    (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)将向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出． 21．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．    (1)当为边上的中线时，若，的面积为42，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 22．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若是角平分线，求的度数． 23．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？    ●尝试探究（1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． ●初步运用（2）如图②，在纸片中前去，得到四边形．若，则___________．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为________________（请利用上面的结论直接写出答案）． ●拓展提升（3）如图④，在四边形中，，分别平分外角，，设． ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 三角形中的边角关系（一）（3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【例1】（2020秋•颍州区校级月考）如图，图中三角形的个数为　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【解答】解：图中的三角形为：，，，和，有5个三角形， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的概念，解题时注意：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 【变式1】（2023秋•凤阳县期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【解答】解：、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； 、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； 、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类． 【变式2】（2023秋•凤阳县期中）如图，以为边的三角形有 　2　个． 【分析】直接利用三角形的定义得出答案． 【解答】解：以为边的三角形有，共2个． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了三角形，正确掌握三角形的定义是解题关键． 【变式3】（颍泉区校级月考）观察以下图形，回答问题： （1）图②有　3　个三角形；图③有　　个三角形；图④有　　个三角形；猜测第七个图形中共有　　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有　　个三角形（用含的代数式表示结论）． 【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形 （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第个图形中的三角形的个数． 【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； 第个图形中有个三角形． 故答案为3，5，7，13，． 【点评】本题考查了图形的变化类规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【例2】（2022秋•涡阳县校级月考）如图，已知中，点、分别是边、的中点．若的面积等于8，则的面积等于　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：点是边的中点，的面积等于8， ， 是的中点， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 【变式1】（2022秋•凤阳县期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则　8　． 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 【解答】解：是边上的中线， ， ，， ，① ，② ①②得：， ． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 【变式2】（2021秋•镜湖区校级期中）在画三角形的三条重要线段（角平分线、中线和高线）时，不一定画在三角形内部的是 　高线　． 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解． 【解答】解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部． 故答案为：高线． 【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【变式3】（2023秋•天长市期中）如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为 　1　； （2）若，是高，求的度数； （3）若，是角平分线，求的度数． 【分析】（1）由是中线，可得，再分别求出与的周长，再求差即可； （2）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （3）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【解答】解：（1）是中线， ， ，， ，， ， 故答案为：1； （2）是的高， ， ，是的角平分线， ， ； （3）， ， 、是的角平分线， ，， ， ． 【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义和中线的性质． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【例3】（2021秋•淮南月考）如图，线段把分为面积相等的两部分，则线段是　　 A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上都不对 【分析】作三角形的高，根据三角形面积公式，分别表示出和，即可得出，即线段是三角形的中线． 【解答】解：作， ， ， ， 即， ， 即线段是三角形的中线． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，三角形的中线可分三角形为面积相等的两部分． 【变式1】（2023秋•包河区期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 　3　． 【分析】由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【解答】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【变式2】（2023秋•怀宁县期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是　　 A．9 B．12 C．18 D．20 【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【解答】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 又是的边上的中线，则是的边上的中线， ，， 则， 故选：． 【点评】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键． 【变式3】（2022秋•芜湖期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． （1）如图1，在中，，，，，，则长为 　　； （2）如图2，在中，，，则的高与的比是 　　； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【分析】（1）利用面积法求出即可． （2）如图2中，利用面积法求出高与的比即可． （3）如图，利用面积法求出，可得结论． 【解答】解：（1）如图1中， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2中， ， ， ； 故答案为：； （3），，， ， ， 又， ， 即． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． 经典题型汇编 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（19-20八年级上·安徽马鞍山·期末）若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据三角形内角和180°来计算出最大的内角度数,然后来判断三角形的形状. 【详解】解: 三角形三个内角度数之比为2：3：7, 三角形最大的内角为: . 这个三角形一定为钝角三角形. 故选:C. 【点睛】本题主要考查三角形内角和180°,计算三角形最大内角是解题关键. 2．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为，则的面积为 ．      【答案】 【分析】连接，把分成几个小三角形，再根据线段比，用，表示小三角形面积，由面积和即可求解． 【详解】如图，连接，令、、、的面积分别为、、、，    ∵，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， 解得：，，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形的面积，解题的关键是根据线段比，求出小三角形面积，充分运用数形结合的思想方法，从图形中寻找各三角形面积之间的关系． 题型二、三角形的分类 3．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，若，，则该三角形是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形分类．根据三角形内角和定理求出各角度数，再判定三角形的形状即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：A． 4．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）      【答案】钝角 【分析】根据三角形的内角和定理可求出被遮住的角的度数，根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：根据题意可知被遮住的角的度数为， ∵， ∴该三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握以上知识是解题的关键． 5．（21-22八年级上·安徽六安·期末）在中，， (1)求、、的度数； (2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 【答案】(1)； (2)按边分类，属于等腰三角形；按角分类，属于直角三角形 【分析】（1）设∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理列方程求解即可； （2）根据三角形按边分类和按角分类即可． 【详解】（1）解：∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理，得 x+x+2x=180°, 解得：x=45°， ∴∠A=∠B=x=45°，∠C=2x=90°； （2）解：∵∠A=∠B=x=45°， ∴AC=BC， ∴△ABC按边分类是等腰三角形； ∵∠C=90°， ∴△ABC按角分类是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形分类，掌握三角形内角和定理和三角形分类方法是解题的关键． 题型三、构成三角形的条件 6．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）以下列各组线段为边，不能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析判断即可得到正确选项． 【详解】解：A.，能构成三角形，故该选项不符合题意； B.，能构成三角形，故该选项不符合题意； C.，能构成三角形，故该选项不符合题意； D.，不能构成三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形． 【答案】3 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可获得答案． 【详解】解：（1）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （2）当取、、三条线段时，∵，故不能构成三角形； （3）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （4）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形． 综上所述，可作3个不同的三角形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键． 8．（八年级上·安徽六安·期中）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分成6和12两部分，求三角形三边的长． 【答案】三角形的三边长分别为8，8，2．它们都能构成三角形． 【分析】结合题意画出图形，利用三角形的中线的定义，以及三角形的周长和三角形的三边关系求三角形三边的长. 【详解】解：如图， 设AB=AC=a，BC=b， 则有a+a=6且a+b=12；或a+a=12且a+b=6， 得到a=4，b=10或a=8，b=2， ∵4+4<10不满足三角形两边之和大于第三边，应舍去． 故三角形的三边长分别为8，8，2．它们都能构成三角形． 【点睛】三角形的中线即三角形一个顶点与对边中点所连接的线段. 题型四、确定第三边的取值范围 9．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）若一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长为，a的值可能是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此列出不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长为， ∴， 解得：， A、C、D均不在a的取值范围之内，不符合题意； B在a的取值范围之内，符合题意； 故选：B． 10．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）三角形的三边长分别是，，，已知是奇数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边之间关系，首先根据三角形的三边之间的关系得：，由此解得，然后再根据为奇数即可求出的值．解题的关键是掌握：三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是，，， ∴， ∴， ∵是奇数， ∴． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已如三角形的三条边长为3、5和. (1)若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值. 【答案】(1)； (2)15． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． （1）由三角形三边关系解答； （2）利用（1）中求得的x的取值范围，确定整数x的值；然后由三角形的周长公式解答． 【详解】（1）由题意得：，即． ∵3是最短边长， ∴． ∴x的取值范围是； （2）由（1）可知，， ∵x为整数， ∴x的最大值为7． ∴三角形周长的最大值为． 题型五、三角形三边关系的应用 12．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形两边的长分别是4cm和8cm，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．2cm B．4cm C．8cm D．12cm 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设三角形的第三边为，即可得到，据此即可求解． 【详解】解：设三角形的第三边为， 则x的取值范围为， 即． 故选：C 13．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知是的三边长，满足为整数，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是绝对值，偶次方的非负性的应用，三角形的三边关系的应用，本题先根据非负数的性质可得，，再由三角形的三边关系可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∵是的三边长， ∴， ∵为整数， ∴， 故答案为： 14．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列分解因式的过程：． 解：原式 ． 像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． (1)请你运用上述配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)23． 【分析】（1）本题考查了因式分解，掌握公式法即可解题． （2）本题考查了配方法运用，将原式变形为，再根据平方的非负性，解出a和b的值，最后利用三角形三边关系即可解题． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：由整理， 得， ， ， 解得，． 由三角形三边之间的关系，得． 为正整数，周长最大， ， ， 即周长的最大值为23． 题型六、根据三角形中线求长度 15．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解． 【详解】解：∵和是的中线， ∴，分别为，的中点， ∴，，故①正确； ∵和是的中线， ∴点是的重心，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵点是的重心， ∴过的直线平分线段，故④正确； 根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键． 16．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵为的边上的中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 17．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，求和的长． 【答案】，． 【分析】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，利用得出的长，由是边上的中线即可得出和的长． 【详解】解：是中边上的高，且， ， ， ， 是中边上的中线， ，． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，5，8 B．5，12，13 C．3，7，11 D．9，7，2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． B、，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意． C、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． D、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）以下列各组长度为边，能构成三角形的是（    ） A．1，2，5 B．2，3，5 C．2，2，5 D．2，5，5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判定即可． 【详解】解：A．，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B．，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C．，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D．，可以构成三角形．故本选项符合题意； 故选：D． 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）当满足条件（    ）时，是直角三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理结合各选项的条件分解即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故不符合题意； B．∵，， ∴， ∴是直角三角形，故符合题意； C．∵，， ∴ ∴不是直角三角形，故不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故不符合题意． 故选B． 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在中，若，则该三角形是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形分类． 根据三角形内角和定理求出各角度数，再判定三角形的形状即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 故选：D． 5．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）某大学生利用手机看球赛期间，把手机放在一个支架上面，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（    ）      A．对称性 B．三角形的内角和为180° C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答本题即可． 【详解】解：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性， 故选：D 6．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，这样就很容易判断出C选项的错误；由于，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出是否是的高，这样也能得出D选项的正误． 【详解】A、由图可知：是的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：是的角平分线，正确，不符合题意； C、是的角平分线， ， 是中线， ， 不正确，符合题意． D、由图可知∶ 是的高，正确，不符合题意； 故选C． 7．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图所示，在中，，，垂足分别是D，E，F，则下列说法错误的是（   ）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是的高正确，故本选项错误； B、是的高正确，故本选项错误； C、是的高正确，故本选项错误； D、是的高错误，故本选项正确． 故选：D． 8．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，为了估计池塘岸边M，N两点之间的距离，小明在该池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则M，N两点之间的距离可能是（    ） A．26米 B．19米 C．6米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出范围，即可求解． 【详解】解：∵, 即， ∴， ∴选项有只有6米符合要求， 故选：C． 9．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到的取值范围，而是整数，可求的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：设第三边长是， ∵三角形的两边长分别为和， ∴，即， ∵是整数， ∴，，，，， ∴当时，三角形的周长最小值是， 故选：． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知是边的中线，是边的中线，F为的中点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的等积转换；由“等底同高的三角形面积相等”得，，同理可求，即可求解；理解三角形的中线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是边的中线， ， ， F为的中点， ， 是边的中线， ， ； 故选：C． 二、填空题 11．（八年级上·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，最大锐角a的取值范围是 ． 【答案】60°≤a﹤90° 【详解】试题分析：锐角三角形中最大的锐角的度数的取值范围为：60°≤a﹤90°. 考点：三角形的内角 12．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ．    【答案】18 【分析】此题考查了三角形的周长和中线，根据线段的和可得出，根据中线的定义得出，从而得出，最后再根据线段的和即可得出答案． 【详解】的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故本题答案为：． 13．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键；根据三角形中线平分三角形面积得到，同理得到，进而求出，则． 【详解】解；∵点D是的中点， ∴， 同理可得， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 故答案为：1． 14．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）若具有以下条件或关系式：①；②；③的三条高的交点恰在顶点处；④与的角平分线交于点，且．其中能得到的条件或关系式是 ．（填序号）． 【答案】①④ 【分析】利用，表示出，，利用三角形内角和可以求出，故①符合题意；利用三角形内角和得出，故②不符合题意；三条高的交点在顶点出可判断出，故③不符合题意；根据角平分线定义可求出，，再利用三角形内角和求出，故④符合题意． 【详解】解：①， ，， ， ， ，，，故①符合题意； ②， ， ，故②不符合题意； ③如图，顶点的对边和顶点的对边上的高都交于同一点，则说明顶点的对边的高是，顶点的对边的高是，顶点的对边上的高为，，故③不符合题意；      ④如图：        在中，， ，分别是和的平分线， ，， 在中，， 故④符合题意， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高，熟练掌握和运用三角形内角和定理是解答本题的关键． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：作于点H， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴同理可得． 16．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于E，平分，求的度数． 【答案】18° 【分析】先根据三角形的内角和求出的度数，然后根据角平分线求出的度数，最后根据互余可求出的度数． 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和互余的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵于E， ∴， ∴， ∴． 17．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的和差关系，三角形的三边关系的应用，本题先证明，结合，从而可得答案． 【详解】证明， ， ， ． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了三角形的三边关系， （1）直接根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可； （2）先求出周长的范围，再根据其为偶数进行求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， 即； （2）∵，设的周长为x， ∴，即， ∵的周长为偶数， ∴其周长为16． 19．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，点为边上一点，交于点． (1)若的长为奇数，求的长度； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据构成三角形的条件求出，再由的长为奇数，可得； （2）先由三角形外角的性质得到，再由两直线平行，同位角相等可得． 【详解】（1）解：∵在中， ， ∴，即， ∵的长为奇数， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．    (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)将向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高，中线的定义，平移等知识． （1）根据三角形的高的定义画出图形； （2）根据三角形的中线的定义画出图形； （3）根据平移的性质得到的位置，顺次连接即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求．   ． 21．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．    (1)当为边上的中线时，若，的面积为42，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用三角形中线定义及三角形面积求出长； （2）利用三角形内角和先求，再用外角性质和直角三角形性质求出． 【详解】（1）解：为边上的中线， ， 为边上的高，， ， ． （2）解：，， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几个知识点的熟练应用是解决此题的关键． 22．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义和中线的性质． （1）由是中线，可得，再分别求出与的周长，再求差即可； （2）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （3）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵是的高， ∴， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 23．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？    ●尝试探究（1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． ●初步运用（2）如图②，在纸片中前去，得到四边形．若，则___________．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为________________（请利用上面的结论直接写出答案）． ●拓展提升（3）如图④，在四边形中，，分别平分外角，，设． ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】（1） （2）； （3）①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形 【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． （2）先由邻补角性质求出，再根据三角形外角性质、角平分线的定义计算即可． （3）①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可． ②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：（1），， ， ， （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ 即 （3）如图，    ① ， ②当时， ∵， ∴， ∴为钝角三角形； 当时，， ∴为直角三角形； 当时， ∵， ∴， ∴为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$