第13讲 命题与证明 （3个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第13讲 命题与证明 （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【例1】（2023秋•潜山市期末）下列命题是假命题的是　　 A．对顶角相等 B．若，则 C．内错角相等，两直线平行 D．若，则 【变式1】（2023秋•蒙城县期末）对于命题“若，则．”下面四组关于、的值中，能说明这个命题是假命题的是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2023秋•利辛县校级期末）将命题“全等三角形对应边上的中线相等”改写成“如果那么”的形式　　． 【变式3】（2022秋•舒城县校级期中）已知，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系． （1）如图1，，，与的关系是 　　． 证明： （2）如图2，，，则与的关系是 　　． 证明： （3）经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是 　　． 知识点2．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 【例2】（2023•岳麓区校级二模）4个人进行游泳比赛，赛前，，，等4名选手进行预测，说：“我肯定得第一名”， 说：“我绝对不会得最后一名”， 说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”， 说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是 　　． 【变式1】（2022秋•丰顺县校级月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字　　时有必胜的策略． A．10 B．9 C．8 D．6 【变式2】（2022秋•澧县期末）一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是　　（填“老实人”或“骗子” ． 【变式3】有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： （1）队的战绩是几胜，几平，几负？ （2）如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ （3）如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 知识点3．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【例3】（2022秋•蚌山区期末）用反证法证明“”时，应假设　　． 【变式1】（桐城市校级期中）对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是　　 A．，的补角， B．，的补角， C．，的补角， D．两个角互为邻补角 【变式2】（2023秋•莲都区期末）写出命题“等边三角形有一个角等于”的逆命题　　． 【变式3】（2021秋•襄汾县月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设 　　． ， 　　． 　　， ，这和 　　矛盾， 假设 　　不成立，即． 经典题型汇编 题型一、判断命题真假 1．（23-24八年级上·安徽六安·期末）命题“如果，都是正数，那么”是 命题（填“真”或“假”） 2．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是(   ) A．如果，那么点是的中点 B．三条线段分别为，，，如果，那么这三条线段一定能组成三角形 C．三角形的内角和等于 D．如果，那么 3．（21-22八年级上·安徽芜湖·阶段练习）一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 题型二、举例说明假（真）命题 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．（20-21八年级上·安徽滁州·期中）举出命题“若，则”是假命题的一个反例，则x的值可取 ． 题型三、写出命题的题设与结论 7．（八年级上·安徽安庆·期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 8．（安徽芜湖·期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 9．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知：点A、B、C在一条直线上． （1）请从三个论断：①AD∥BE；  ②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件： 结论： （2）证明你所构建的命题是真命题． 题型四、写出命题的逆命题 10．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．若，则 D．末位数是零的整数能被5整除 11．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）写出命题“如果，，那么”的逆命题： ． 12．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 试题练习 一、单选题 1．（19-20八年级上·安徽合肥·期末）下列语句中，不是命题的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作角A的平分线 D．内错角相等 2．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）下列语句中，属于命题的是（    ） A．作的平分线 B．同旁内角互补 C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知下列命题：①同位角相等；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若，，则，其中逆命题属于假命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．无理数是无限小数 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 5．（19-20八年级上·安徽亳州·期末）对于命题“两锐角之和一定是钝角”，能说明它是一个假命题的反例是(　 　) A．∠1＝41°，∠2＝50° B．∠1＝41°，∠2＝51° C．∠1＝51°，∠2＝49° D．∠1＝41°，∠2＝49° 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（） A．直角三角形的两个锐角互余 B．两直线平行，同位角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 7．（22-23八年级上·安徽滁州·期末）要说明命题“若，则”是假命题，下列所列举的反例错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（21-22八年级上·安徽滁州·期末）对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（八年级上·安徽·单元测试）对于命题“如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是(　　) A．∠1＝100°，∠2＝80° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝∠2＝90° D．∠1＝80°，∠2＝80° 10．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④若，则；⑤邻补角的平分线互相垂直，其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（22-23八年级下·安徽合肥·阶段练习）命题“若，则”的逆命题是 ． 12．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”是 （填“真命题”或“假命题”）． 14．（23-24八年级上·安徽池州·期末）“对顶角相等”请写出该命题的逆命题 ． 三、解答题 15．（20-21八年级上·全国·单元测试）把下列命题改写成“如果…，那么…” （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）a+b＝0，则a与b互为相反数； （3）平行于同一条直线的两条直线平行． 16．（21-22八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 17．（21-22八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 18．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)等边三角形有一个角等于． (2)等腰三角形两腰上的高线长相等． 19．（20-21八年级上·安徽滁州·期中）写出以下命题的逆命题，并判断逆命题的真假． （1）若点位于第一象限，则； （2）有一个内角大于其相邻外角的三角形是钝角三角形． 20．（20-21八年级·全国·假期作业）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 21．（19-20八年级上·安徽亳州·阶段练习）写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题． （1）两直线平行，同位角相等 （2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等． 22．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）试用举反例的方法说明下列命题是假命题． 例如：如果ab0，那么ab0． 反例：设a4，b3，ab4（3）120，而ab4（3）10，所以这个命题是假命题． （1）如果ab0，那么ab0． （2）如果a是无理数，b也是无理数，那么ab也是无理数． 23．（八年级上·安徽亳州·期中）证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直. 已知: 求证： . 证明： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 命题与证明 （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【例1】（2023秋•潜山市期末）下列命题是假命题的是　　 A．对顶角相等 B．若，则 C．内错角相等，两直线平行 D．若，则 【分析】利于对顶角的性质，绝对值定义，平行线的判定，立方根定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：、对顶角相等，本选项正确，是真命题； 、若，则，本选项错误，是假命题； 、内错角相等，两直线平行，本选项正确，是真命题； 、若，则，本选项正确，是真命题， 故选：． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式1】（2023秋•蒙城县期末）对于命题“若，则．”下面四组关于、的值中，能说明这个命题是假命题的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】要找出命题是假命题的选项，即是找出满足条件，不满足结论的选项；本题中条件为，结论为，即需找出满足，但不满足的选项；从选项中先找出满足的选项，再从中找出不满足的选项，问题即可解答． 【解答】解：根据题意可知，当，时，，但不满足． 故选：． 【点评】本题侧重考查命题与推理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【变式2】（2023秋•利辛县校级期末）将命题“全等三角形对应边上的中线相等”改写成“如果那么”的形式　如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等　． 【分析】“全等三角形对应边上的中线相等”的条件是：两个三角形全等，结论是：对应边上的中线相等．据此即可写出所求的形式． 【解答】解：“全等三角形对应边上的中线相等”的条件是：两个三角形全等，结论是：对应边上的中线相等． 则改写成“如果那么”的形式是：如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等． 故答案为：如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等． 【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果那么”的形式的关键． 【变式3】（2022秋•舒城县校级期中）已知，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系． （1）如图1，，，与的关系是 　　． 证明： （2）如图2，，，则与的关系是 　　． 证明： （3）经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是 　　． 【分析】（1）根据平行线的性质易得，，则； （2）根据平行线的性质易得，，所以； （3）由（1）和（2）的结论进行回答． 【解答】解：（1）． 证明如下：， ， ， ， ； （2）． 证明如下：， ， ， ， ； （3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 故答案为：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 知识点2．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 【例2】（2023•岳麓区校级二模）4个人进行游泳比赛，赛前，，，等4名选手进行预测，说：“我肯定得第一名”， 说：“我绝对不会得最后一名”， 说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”， 说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是 　　． 【分析】分别假设每个人的预测错误，进而分别分析得出答案． 【解答】解：如果错，则为第一，为第二，为最后一名，所以是错的． 如果错，则最后，也错，出现矛盾； 如果错，则是第一或最后一名，与第一、最后，矛盾； 如果错，其他都对的话，则没有最后一名； 故答案为：． 【点评】此题主要考查了推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键． 【变式1】（2022秋•丰顺县校级月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字　　时有必胜的策略． A．10 B．9 C．8 D．6 【分析】1，2，3均是6的约数，则第一个数字写出6后，后面可写的数字是4，5，7，8，9，10，个数为偶数个，则可以分成不是约数关系的几组，据此可解． 【解答】解：甲先把，，分组，并先写出6，则乙只能写4，5，7，8，9，10中一个，乙写任何组中一个，甲则写本组中另一个，就一定能获胜． 故选：． 【点评】本题考查了推理与论证中的策略问题，读懂游戏规则并据此找到必胜的策略是解题的关键． 【变式2】（2022秋•澧县期末）一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是　骗子　（填“老实人”或“骗子” ． 【分析】此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理． 【解答】解：因为圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，所以可知： 老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数， 而张三说有45人是奇数，这说明张三说了假话，张三是骗子， 而李四却说张三是老实人，也说了假话，所以李四也是骗子． 故答案为骗子． 【点评】本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论． 【变式3】有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： （1）队的战绩是几胜，几平，几负？ （2）如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ （3）如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 【分析】（1）五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，队的积分为9分，就可以得到队的胜负情况； （2）利用队的胜负以及另一队战绩为全胜情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断； （3）利用队的胜负以及另一队战绩为积分10分情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断． 【解答】解：（1）个队进行单循环足球比赛， 每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次， 设队胜，平， ． ， 得：，，故队的战绩是3胜0平1负． （2）小组赛中有一个队的战绩为全胜，队的积分为9分， 其他队最多可以胜2场比赛，故最多可得6分， 队能出线； （3）假设是队的战绩为10分．它就是3胜1平0败． 可以看出，队只败给了队．就是说，，，都败给队了． 3队里有1队和队平了1次，其他2队都败给队． 、、，3队里积分最高的是2胜1平1败．有7分． 所以队出线了． 【点评】此题主要考查了推理与论证，本题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，根据球队的积分判处出胜负的场次是解题的关键． 知识点3．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【例3】（2022秋•蚌山区期末）用反证法证明“”时，应假设　　． 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是的反面有多种情况，需一一否定． 【解答】解：用反证法证明“”时，应先假设． 故答案为：． 【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【变式1】（桐城市校级期中）对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是　　 A．，的补角， B．，的补角， C．，的补角， D．两个角互为邻补角 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【解答】解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况； 、的补角，符合假命题的结论，故错误； 、的补角，符合假命题的结论，故错误； 、的补角，与假命题结论相反，故正确； 、由于无法说明两角具体的大小关系，故错误． 故选：． 【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【变式2】（2023秋•莲都区期末）写出命题“等边三角形有一个角等于”的逆命题　有一个角等于的三角形是等边三角形　． 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“等边三角形有一个角等于”的条件是“等边三角形”，结论是“有一个角等于”，故其逆命题：有一个角等于的三角形是等边三角形． 【解答】解：逆命题为有一个角等于的三角形是等边三角形， 故答案为：有一个角等于的三角形是等边三角形． 【点评】本题主要考查了互逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【变式3】（2021秋•襄汾县月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设 　　． ， 　　． 　　， ，这和 　　矛盾， 假设 　　不成立，即． 【分析】根据反证法的一般步骤、平行线的性质、平角的定义证明． 【解答】证明：假设． ， ． ， ，这与平角为矛盾， 假设不成立，即． 故答案为：；；；平角为；． 【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 经典题型汇编 题型一、判断命题真假 1．（23-24八年级上·安徽六安·期末）命题“如果，都是正数，那么”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查的是真假命题的判断，有理数的乘法运算，掌握真假命题的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：如果，都是正数，那么”是真命题， 故答案为：真． 2．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是(   ) A．如果，那么点是的中点 B．三条线段分别为，，，如果，那么这三条线段一定能组成三角形 C．三角形的内角和等于 D．如果，那么 【答案】C 【分析】该题主要考查了真、假命题及其判断问题；根据线段的中点，三角形的三边关系，三角形内角和定理，绝对值的意义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、 如果点在线段上，且，那么点是的中点，故该选项是假命题，不符合题意； B、三条线段分别为，，，当，，时，满足，但不能构成三角形；如果，那么这三条线段一定能组成三角形，故该选项是假命题，不符合题意； C、 三角形的内角和等于，故该选项是真命题，符合题意； D、如果，那么或，故该选项是假命题，不符合题意； 故选：C． 3．（21-22八年级上·安徽芜湖·阶段练习）一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 【分析】（1）首先判断出命题的条件和结论，然后改写成“如果……那么……”的形式即可； （2）首先根据逆命题的定义求解，然后判定逆命题是否正确即可． 【详解】解：（1）∵原命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． （2）“对顶角相等”的逆命题是：“相等的角是对顶角”， ∵相等的角不一定是对顶角， ∴它是假命题． 【点睛】此题考查了逆命题的概念以及真假命题的判断，解题的关键是熟练掌握逆命题的概念以及真假命题的定义． 题型二、举例说明假（真）命题 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了假命题中的举反例问题，同时也考查了绝对值的知识，得出当时，，是解答本题的关键．当时，不成立，据此作答即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 即“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是， 故选：B． 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，进行判断即可． 【详解】A、等腰三角形三条高线的交点不一定不在三角形的外部，不符合题意； B、直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，不在三角形的外部，不符合题意； C、锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，不符合题意； D、钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查反例法证明命题是假命题．熟练掌握钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，是解题的关键． 6．（20-21八年级上·安徽滁州·期中）举出命题“若，则”是假命题的一个反例，则x的值可取 ． 【答案】-3 【分析】当x=-3时，满足x＞-4，但不能得到x2＞16，于是x=-3可作为说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例． 【详解】解：说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 题型三、写出命题的题设与结论 7．（八年级上·安徽安庆·期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 【答案】D 【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项． 【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交． 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系. 8．（安徽芜湖·期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 9．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知：点A、B、C在一条直线上． （1）请从三个论断：①AD∥BE；  ②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件： 结论： （2）证明你所构建的命题是真命题． 【答案】（1）AD∥BE，；；（2）见解析 【分析】（1）根据命题的概念，写出条件、结论； （2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明． 【详解】解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1＝∠2； 结论：③∠A＝∠E， 故答案为：①AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E； （2）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠EBC， ∵∠1＝∠2， ∴DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC， ∴∠A＝∠E． 【点睛】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型四、写出命题的逆命题 10．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．若，则 D．末位数是零的整数能被5整除 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题和命题的真假判断；将原命题的条件和结论交换后，如果是真命题，根据已知定理证明即可，如果是假命题找出一个反例即可； 【详解】解：A．逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同位角”，是假命题，如：对顶角相等，但不是同位角； B．逆命题为“如果三角形的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，是真命题，因为三角形的内角和为，当两个角的和为时，另一个角是直角； C．逆命题为“若，则”，是假命题，如：，时便不成立； D．逆命题为“如果一个整数能被5整除，那么这个数的末位数是零”，是假命题，如：25便不成立； 故选： B． 11．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）写出命题“如果，，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么， 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题． 【详解】解：“如果，，那么”的逆命题：如果，那么，， 故答案为：如果，那么，． 12．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题 (2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可． 【详解】（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”， 逆命题是真命题； （2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”， 逆命题是真命题． 【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（19-20八年级上·安徽合肥·期末）下列语句中，不是命题的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作角A的平分线 D．内错角相等 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断． 【详解】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题． 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 2．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）下列语句中，属于命题的是（    ） A．作的平分线 B．同旁内角互补 C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 【答案】B 【分析】本题考查命题概念，命题由题设和结论组成，是能判断真假的陈述句，根据命题概念逐项验证即可得到答案，熟记命题概念是解决问题的关键． 【详解】解：A作的平分线，不是陈述句，不是命题，不符合题意； B、同旁内角互补，是命题，符合题意； C、画线段，不是陈述句，不是命题，不符合题意； D、你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢，不是陈述句，不是命题，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知下列命题：①同位角相等；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若，，则，其中逆命题属于假命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题和逆命题．先写出各命题的逆命题，再判断真假． 【详解】解：①同位角相等的逆命题是相等的两个角是同位角，是假命题； ②有一个内角是直角的三角形的逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有一个内角是直角，是真命题； ③若，，则的逆命题是：若，则，，是假命题；例：，但； 综上，逆命题属于假命题的有2个； 故选：C． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．无理数是无限小数 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 【答案】D 【分析】先写出逆命题，再根据无理数的定义，全等三角形的性质于判定，乘方的意义，平方差公式判断正误即可． 本题考查了命题的真假，逆命题，无理数的定义，全等三角形的性质于判定，乘方的意义，平方差公式，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 【详解】解：A．若，则是若，则，故错误，故逆命题是假命题； B．无理数是无限小数的逆命题是无限小数是无理数，故错误，故逆命题是假命题； C．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，故错误，故逆命题是假命题； D．若，则的逆命题是若，则，正确，故逆命题是真命题； 故选：D． 5．（19-20八年级上·安徽亳州·期末）对于命题“两锐角之和一定是钝角”，能说明它是一个假命题的反例是(　 　) A．∠1＝41°，∠2＝50° B．∠1＝41°，∠2＝51° C．∠1＝51°，∠2＝49° D．∠1＝41°，∠2＝49° 【答案】D 【分析】写反例时，满足条件但不能得到结论． 【详解】“如果两锐角之和一定是钝角．”能说明它是假命题为∠1+∠2=90°． 故选D． 【点睛】任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（） A．直角三角形的两个锐角互余 B．两直线平行，同位角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意； D、逆命题为若，则，错误，是假命题，符合题意； 故选：D． 7．（22-23八年级上·安徽滁州·期末）要说明命题“若，则”是假命题，下列所列举的反例错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出a满足，但不满足即可． 【详解】解：“若，则”是假命题， 当．因为，，能说明命题是假命题，选项A列举反例正确． 同理可得选项B、C列举反例正确； 当．因为，，故不能说明“若，则”是假命题，故选项D列举反例错误． 综上所述：列举的反例错误的是D， 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 8．（21-22八年级上·安徽滁州·期末）对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分别将各选项代入，找出满足条件，但不满足结论的选项即可． 【详解】解：A、当，时，，且，不能说明该命题是假命题，不符合题意； B、当，时，不满足，不能说明该命题是假命题，不符合题意； C、当，时，，且，不能说明该命题是假命题，不符合题意； D、当，时，，但是，可以说明该命题是假命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查举反例说明命题是假命题，注意反例要满足条件，不满足结论． 9．（八年级上·安徽·单元测试）对于命题“如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是(　　) A．∠1＝100°，∠2＝80° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝∠2＝90° D．∠1＝80°，∠2＝80° 【答案】C 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：A，满足条件∠1+∠2=180°，也满足结论∠1≠∠2，故错误； B、不满足条件，也不满足结论，故错误； C、满足条件，不满足结论，故正确； D、不满足条件，也不满足结论，故错误． 故选C． 【点睛】此题考查的知识点是反证法，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 10．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④若，则；⑤邻补角的平分线互相垂直，其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判定，涉及平行线的性质、对顶角性质，不等式的性质，邻补角，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：①垂直于同一条直线的两条直线平行是错误的，要强调同一平面内， ②两直线平行，同位角相等；是正确的； ③对顶角相等；是正确的； ④若，则是错误的；要强调前提是； ⑤邻补角的平分线互相垂直，是正确的； 故选：C 二、填空题 11．（22-23八年级下·安徽合肥·阶段练习）命题“若，则”的逆命题是 ． 【答案】若，则 【分析】根据逆命题的定义，直接解答即可得到答案； 【详解】解：∵命题是：“若，则”， ∴逆命题是：若，则． 故答案为：若，则． 【点睛】本题考查逆命题的定义，解题的关键是熟练掌握逆命题的定义． 12．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等 【分析】本题考查命题，涉及命题的改写，熟记命题的概念，分清命题的条件与结论是解决问题的关键． 【详解】解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等， 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】假命题 【分析】本题以命题为背景，考查了平方根的概念，解出即可判断． 【详解】解：∵ ∴， 故原命题为假命题， 故答案为：假命题 14．（23-24八年级上·安徽池州·期末）“对顶角相等”请写出该命题的逆命题 ． 【答案】相等的角是对顶角 【分析】本题主要考命题及逆命题的理解及运用能力． 将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题． 【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等； ∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角， 简化后即为：相等的角是对顶角． 故答案为：相等的角是对顶角． 三、解答题 15．（20-21八年级上·全国·单元测试）把下列命题改写成“如果…，那么…” （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）a+b＝0，则a与b互为相反数； （3）平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】（1）如果同旁内角互补，那么两直线平行；（2）如果，那么a与b互为相反数；（3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【分析】（1）根据如果是条件，那么是结论的方法改写即可； （2）根据如果是条件，那么是结论的方法改写即可； （3）根据如果是条件，那么是结论的方法改写即可． 【详解】（1）如果同旁内角互补，那么两直线平行； （2）如果，那么a与b互为相反数； （3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的改写方法是解题关键． 16．（21-22八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 【答案】见解析． 【分析】假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角，不妨设，则，这与三角形内角和为相矛盾，不成立，由此即可证明． 【详解】证明：假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角， 不妨设，则， 这与三角形内角和为相矛盾，不成立， 所以一个三角形中不能有两个直角． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 17．（21-22八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】见解析． 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 【详解】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 18．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)等边三角形有一个角等于． (2)等腰三角形两腰上的高线长相等． 【答案】(1)逆命题为“有一个角等于的三角形是等边三角形”，是假命题 (2)逆命题为“有两条边上的高线相等的三角形是等腰三角形”，是真命题 【分析】把原命题的题设和结论互换写出对应的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】（1）解：命题“等边三角形有一个角等于”的逆命题为“有一个角等于的三角形是等边三角形”，是假命题； （2）解：命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题为“有两条边上的高线相等的三角形是等腰三角形”，是真命题． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，写出一个命题的逆命题，正确写出对应命题的逆命题是解题的关键． 19．（20-21八年级上·安徽滁州·期中）写出以下命题的逆命题，并判断逆命题的真假． （1）若点位于第一象限，则； （2）有一个内角大于其相邻外角的三角形是钝角三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据逆命题的定义写出其逆命题，再根据ab＞0，得到a，b的符号，判断所在象限； （2）根据逆命题的定义写出其逆命题，再根据内角与外角的关系说明． 【详解】解：（1）逆命题为：若，则点位于第一象限，是假命题； 证明：∵ab＞0，则a，b同号， 若a＞0，b＞0， 则点（a，b）位于第一象限， 若a＜0，b＜0， 则点（a，b）位于第三象限， 故该逆命题是假命题； （2）逆命题为：若一个三角形是钝角三角形，则有一个内角大于其相邻外角， 证明：∵△ABC的一个内角∠A和相邻的外角互补，若∠A＞90°， ∴∠A的外角为180°-∠A，180°-∠A＜90°， ∴该逆命题是真命题． 【点睛】本题考查了命题与逆命题，三角形外角和内角，点所在象限，解题的关键是正确写出原命题的逆命题． 20．（20-21八年级·全国·假期作业）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 【答案】证明见解析 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【详解】证明：两个不相等的角互为补角， 这两个角一个角大于，一个角小于， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题. 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 21．（19-20八年级上·安徽亳州·阶段练习）写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题． （1）两直线平行，同位角相等 （2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行，真命题；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；假命题. 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：（1）逆命题：同位角相等，两直线平行； 它是是真命题； （2）逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．； 它是假命题. 【点睛】考查点：本题考查逆命题的真假性，是易错题．易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真． 22．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）试用举反例的方法说明下列命题是假命题． 例如：如果ab0，那么ab0． 反例：设a4，b3，ab4（3）120，而ab4（3）10，所以这个命题是假命题． （1）如果ab0，那么ab0． （2）如果a是无理数，b也是无理数，那么ab也是无理数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数． （2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如1±，两数相加就是有理数． 【详解】解：（1）取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题． （2）取a=1+，b=1-，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题． 【点睛】本题主要锻炼了学生的逆向思维．在证明几何题的过程中，有时需从反例上先去判断，然后再证明． 23．（八年级上·安徽亳州·期中）证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直. 已知: 求证： . 证明： 【答案】见解析. 【分析】根据题意画出图形，写出已知与求证，证明过程为：由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BEF+∠EFD=180°，再由EG与FG为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠GEF+∠EFG=90°，根据三角形的内角和定理即可得∠EGF=90°，结论得证． 【详解】已知：直线AB∥CD，直接EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF，∠EFD的平分线交于G点. 求证：EG⊥FG 证明：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD=180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠GEF=∠BEF，∠EFG=∠EFD， ∴∠GEF+∠EFG=∠BEF+∠EFD=×180°=90°， ∴∠EGF=180°-(∠GEF+∠EFG)=90°， ∴EG⊥FG 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，平行线的性质是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$