第09讲 一元二次方程的判别式 （2个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第09讲 一元二次方程的判别式 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【例1】（2021秋•浦东新区期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 【变式1】．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　． 【变式2】（2023秋•静安区校级期末）如果方程有实数根，那么的取值范围是　　 A．且 B．且 C． D． 【变式3】（2023秋•长宁区校级期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于的两个一元二次方程和互为联根方程，那么的值为 　　． 【变式4】（2022秋•浦东新区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求正整数的值． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【例2】（2020秋•浦东新区校级月考）关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2022秋•徐汇区期末）若方程有一根是1，则另一根是　　 A．1 B．2 C． D． 【变式2】（2023秋•虹口区校级期末）设、是方程的两个根，　　． 【变式3】（2023秋•嘉定区期末）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为3和　　． 【变式4】（2023秋•金山区校级月考）一元二次方程，当时，它有两个实数根、得，如的两根是、，得，我们可把它称为是一元二次方程的根与系数的关系式． 已知方程的两个不同的根、，则： （1）　　； （2）　　； （3）　　． 经典题型汇编 题型一.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（21-22八年级上·上海静安·期末）一元二次方程有两个 实根（填“相等”或“不等”）． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列方程中，无实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断关于y的方程的根的情况，并说明理由． 题型二.根据一元二次方程根的情况求参数 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是 ． 6．（23-24八年级上·上海静安·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任意一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为 ； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列关于x的一元二次方程中一定没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A． B． C．且 D．且 5．（23-24八年级上·上海闵行·期中）下列结论中正确的个数有（    ） （1）不是最简二次根式；（2）与是同类二次根式；（3）；（4）方程无实数解； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A．且； B．且； C．； D．. 二、填空题 7．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）一元二次方程的判别式 (填，，或)． 8．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，判断方程的解的情况： ． 9．（21-22八年级上·上海普陀·期末）不解方程，判别方程的根的情况： ． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如果对于分式，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是 ． 11．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 12．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是 ． 13．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 14．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是 ． 16．（23-24九年级上·重庆忠县·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，且不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数是 ． 17．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 18．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 20．（23-24八年级上·上海·期末）已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 21．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 22．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：方程没有实数根，试问方程根的情况． 23．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于的方程的两个实数根为、，且，求的值． 24．（22-23八年级上·上海普陀·期中）若方程没有实数根，试判断方程根的情况并说明理由． 25．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断方程的根的情况，并说明理由． 26．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)如果等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． 27．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围． (3)如果该方程没有实数根，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 一元二次方程的判别式 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【例1】（2021秋•浦东新区期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围． 【解答】解：方程有两个不相等的实数根， △， 解得， 又方程为一元二次方程， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 【变式1】．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　且　． 【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知，△，列出关于的不等式，解答即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根， △， ． 又是一元二次方程， ， 故的取值范围是且． 故答案为且． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，要明确： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 【变式2】（2023秋•静安区校级期末）如果方程有实数根，那么的取值范围是　　 A．且 B．且 C． D． 【分析】分当方程是一元二次方程时和当方程是一元一次方程时两种情况求解即可． 【解答】解：关于的方程有实数根， 当方程是一元二次方程时，△， 解得：，且； 当方程是一元一次方程时，则， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当△时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△时，一元二次方程没有实数根． 【变式3】（2023秋•长宁区校级期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于的两个一元二次方程和互为联根方程，那么的值为 　　． 【分析】利用因式分解法，可求出关于的一元二次方程的解，结合互为“联根方程”的定义，可得出或是关于的一元二次方程的根，代入，可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出该方程没有实数根，代入，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定的值． 【解答】解：， ， 解得：，． 关于的两个一元二次方程和互为联根方程， 或关于的一元二次方程的根． 将代入方程得：， 整理得：， △， 此时该方程无实数根，即不是关于的一元二次方程的解； 将代入方程得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， 的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根以及一元二次方程的定义，将关于的一元二次方程的两个实数根分别代入关于的一元二次方程中，找出关于的一元二次方程是解题的关键． 【变式4】（2022秋•浦东新区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求正整数的值． 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得的取值范围． 【解答】（1）证明：关于的一元二次方程． △， 方程总有两个实数根； （2）解：由求根公式可求得或， 若方程的两个根均为整数，则或3． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【例2】（2020秋•浦东新区校级月考）关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】由根与系数的关系可得，，再根据两根中只有一个等于0，由此即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0， ，， ，． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． 【变式1】（2022秋•徐汇区期末）若方程有一根是1，则另一根是　　 A．1 B．2 C． D． 【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设方程的另一根为， 方程有一根是1， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根于系数的关系，解题的关键是弄清楚一元二次方程的两根之和与系数、的关系． 【变式2】（2023秋•虹口区校级期末）设、是方程的两个根，　177　． 【分析】根据根与系数的关系已经根的定义得到，，，，然后利用整体代入的方法计算计算即可． 【解答】解：、是方程的两个根， ，，，， ，， 所以 ． 故答案为：177． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【变式3】（2023秋•嘉定区期末）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为3和　　． 【分析】先计算3与的和与积，则根据根与系数的关系得到方程，然后把系数化为整数系数即可． 【解答】解：，， 以3和为根的一元二次方程可为， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【变式4】（2023秋•金山区校级月考）一元二次方程，当时，它有两个实数根、得，如的两根是、，得，我们可把它称为是一元二次方程的根与系数的关系式． 已知方程的两个不同的根、，则： （1）　　； （2）　　； （3）　　． 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接得出答案； （2）根据根与系数的关系得出，继而知，代入计算即可； （3）先计算出的值，再开方即可得出答案． 【解答】解：（1）方程的两个不同的根、， ， 故答案为：； （2）方程的两个不同的根、， ， 则 ， 故答案为：7； （3） ， 则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，二次项系数为1时，常用以下关系：，是方程的两根时，，． 经典题型汇编 题型一.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（21-22八年级上·上海静安·期末）一元二次方程有两个 实根（填“相等”或“不等”）． 【答案】不等 【分析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用根的判别式进得判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：不等 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列方程中，无实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A． 可变为， ∴， ∴方程无实数根，故此选项正确； B． 可变形为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； C． 可变形为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D． 可变形为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误． 故选：A． 3．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断关于y的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】关于y的方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到，即，再把原方程整理得到，进而求出，据此可得结论． 【详解】解：关于y的方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于y的方程有两个不相等的实数根． 题型二.根据一元二次方程根的情况求参数 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，根据题意得得，将代数式乘以4变形为，再进行判断即可 【详解】解：由题意，得， 而， ． ∴代数式的值一定是正数． 故选：B 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握一边分别为腰长和底边两种情况，进行分类讨论是解题的关键． 分别讨论当1为底时，腰长为方程的两个相等的实数根，根据判别式的意义得出，解方程；当腰长为1，则为方程的一个根，求出k，转化一元二次方程，求出解，并根据三角形三边关系判断，即可得出三角形周长．， 【详解】当底边为1时，则腰长为方程的两个相等的根， ，解得， 方程转化为，解得： ∴1、3、3符合三角形三边关系， 当腰长为1时，则为方程的一个根， ，解得， 方程转化为，解得，， ， 1、1、5不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去， 三角形的周长为， 故答案为：7 6．（23-24八年级上·上海静安·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任意一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为 ； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1)-4 (2) (3)0或3或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值， 求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程：的“快乐数， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3或． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列关于x的一元二次方程中一定没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式：一元二次方程的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、∵，∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、整理方程为，∵，∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、∵，∴该方程无实数根，符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的关系是解题的关键．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需． 【详解】解：A、，∵，∴方程有两个不相等的实数根； B、，∵，∴方程无实数根； C、，∵，∴方程无实数根； D、，∵，∴方程实有两个相等的实数根； 故选：A． 3．（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴k的取值范围为． 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根． 根据题意可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选：D． 5．（23-24八年级上·上海闵行·期中）下列结论中正确的个数有（    ） （1）不是最简二次根式；（2）与是同类二次根式；（3）；（4）方程无实数解； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式、同类二次根式、二次根式的性质和解一元二次方程，利用定义或性质判断即可． 【详解】解：（1）、是最简二次根式，说法错误，故本选项不符合题意； （2）、，是同类二次根式，说法正确，故本选项符合题意； （3）、，计算错误，故本选项不符合题意； （4）、的解为，说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A．且； B．且； C．； D．. 【答案】D 【分析】根据方程有实数根，分类讨论：当时，；当时，，分别进行求解即可． 【详解】解：∵方程有实数根， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴m的取值范围是， 故选：D． 二、填空题 7．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）一元二次方程的判别式 (填，，或)． 【答案】 【分析】 根据方程的系数结合根的判别式即可得出，此题得解． 【详解】 解：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式为是解题的关键． 8．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，判断方程的解的情况： ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 先求一元二次方程的判别式，由与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 9．（21-22八年级上·上海普陀·期末）不解方程，判别方程的根的情况： ． 【答案】方程无实数根 【分析】先化为一般式，再根据根的判别式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程无实数根． 故答案为：方程无实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如果对于分式，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键． 由存在两个数使分式没有意义，则对于的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式，存在两个数使分式没有意义， ∴有两个解， ∴，解得：， ∴当时，存在两个实数使原式没有意义． 故答案为． 11．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 12．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义． 由关于的一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式且，继而可求得的取值范围． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 13．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式求解即可；掌握当方程有两个不同的实数根是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，解得：且 故答案为：且． 14．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，由得到，，根据根的判别式得到，，依此，，可得，根据题意由根的判别式得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵有且只有三个不同的值满足方程， ∴，， ∴， ∴， 当时，的最小值， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．根据5为底边和腰两种情况求解即可． 【详解】设等腰的腰长为a，底边长为b， 当，则5和b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ∴； 当，则a和a是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：或． 16．（23-24九年级上·重庆忠县·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，且不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意．先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出a的范围，再根据根的判别式得出，求出a的范围，最后取符合条件的整数a即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 不等式组的解集为 解得：， 关于的一元二次方程有实数根， 且 解得且， 综上所述，且， 所有满足条件的整数的值是、、2，共4个， 故答案为：4． 17．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 18．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 / / 且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．解答此题的关键是得出关于k的不等式； （1）方程有实数根，是关于x的一元一次方程和元二次方程两种情况，需分类讨论；当为一元二次方程时，根据判别式的意义得到，建立关于k的不等式，然后解不等式即可； （2）方程无实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，，，求得k的值； （3）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的方程，，求得k的值； （4）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零． 【详解】（1）当，即时，方程化为， 解得； 当时， ， 解得且， 综上所述，k的取值范围为． 故答案为： ； （2） 当时， ，解得 故答案为：； （3） 当时， ， 解得． 故答案为：； （4） 当时， ， 解得且． 故答案为：且 ； 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 20．（23-24八年级上·上海·期末）已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)另一个根为； (2)k的取值范围是且． 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系、根的判别式． （1）将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根； （2）根据一元二次方程的定义得，根的判别式，可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解方程得：， 故关于x的一元二次方程为：， 解得：， 故另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∵有两个实数根， ∴， 解之得：， 故k的取值范围是且． 21．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)原方程没有实数解 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后取一值，从而得到对应的值； （2）利用和的范围可判断，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况； 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】（1）解：根据题意得， 即， 当时，（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 即， ∴原方程没有实数解． 22．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：方程没有实数根，试问方程根的情况． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据方程没有实数根，得到判别式小于0，再判断第二个方程的判别式的符号，即可． 【详解】解：关于的方程没有实数根， ， 解得：， 方程的根的判别式是：， ， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程的根的个数的关系，是解题的关键． 23．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于的方程的两个实数根为、，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次根于系数的关系和根的判别式等知识．根据得到或．分和两种情况分类讨论，分别利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行求解，并进行检验即可求解． 【详解】解：∵ ∴或． 当时， ∵、为关于的方程的两个实数根， ∴． 解得，经检验是方程的解， 此时一元二次方程为，有两个互为相反数的实数根，符合题意； 当时，方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 此时一元二次方程为，有两个相等的实数根，符合题意． ∴或 24．（22-23八年级上·上海普陀·期中）若方程没有实数根，试判断方程根的情况并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】由方程没有实数根，可求出，进而可得出方程的根的判别式，然后根据判别式的意义得出结论． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 理由：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴方程的根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根”是解题的关键． 25．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】本题考查根的判别式，根据一元一次方程的定义，得到，将整理为一元二次方程的一般形式，求出判别式的的符号，即可得出结论． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∵，整理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 26．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)如果等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围； （2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， ， 解得：， ∴m的取值范围为． （2）解：当7为底时，由题意得，， 则， 解得， 此时一元二次方程， 解得，因为，舍去； 当7为腰时，将代入得： ， 解得或， 当时，得三边长为7、7、15，因为（舍去）， 当时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形， 故m的值为4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决． 27．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围． (3)如果该方程没有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得； （3）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得． 【详解】（1）∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 如果该方程有两个不相等的实数根， 则其根的判别式， 解得， 故此时的取值范围为且； （2）如果该方程有两个相等的实数根， 则其根的判别式， 解得； （3）如果该方程没有实数根， 则其根的判别式， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$