第13讲 函数的概念（二）（2个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第13讲 函数的概念（二）（2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【例1】用如图所示的程序框图来计算函数的值，当输入为和7时，输出的值相等，则的值是　　 A． B． C．4 D．2 【变式1】（2023秋•松江区期末）已知函数，那么（6）　　． 【变式2】定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为3的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023秋•浦东新区校级期末）已知：，那么（5）　　． 知识点2．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【例2】（2022秋•松江区校级期中）下列图象不能反映是的函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•杨浦区期末）如图：某人从甲地行走到乙地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示，那么此人行走5千米，所用的时间是 　　小时． 【变式2】（2020秋•浦东新区校级期末）汽车行驶的路程（千米）与行驶的时间（时的函数关系的大致图象如图，那么该汽车行驶的速度是 　　． 【变式3】（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长 　　千米； （2）小杰下坡的速度为 　　千米分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 　　分钟． 【变式4】（2020秋•青浦区期中）汽车以60千米时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速公路，继续以100千米时的速度匀速行驶，则下列图象中能近似地刻画汽车行驶路程（千米）与时间（时之间关系的是　　 A． B． C． D． 经典题型汇编 题型一、函数图象识别 1．（21-22八年级上·上海·期末）下列图像中表示是的函数的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（20-21八年级上·上海·期中）王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间（分）和离家距离（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是 米/分． 3．德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)请说明点D的实际意义． (3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 题型二、从函数的图象获取信息 4．（19-20八年级上·上海闵行·阶段练习）小明利用星期六、日双休骑自行车到城外小姨家去玩.星期六从家中出发，先上坡，后走平 路,再走下坡路到小姨家.行程情况如图所示.星期日小明又沿原路返回自己家.若两天中，小明 上坡、平路、下坡行驶的速度相对不变，则星期日，小明返回家的时间是(       )分钟 A．30 分钟 B．38分钟 C．41分钟 D．43分钟 5．（19-20八年级上·上海杨浦·阶段练习）某人从甲地行走到乙地的路程S(千米)与时间t(时)的函数关系如图所示,那么此人行走3千米,所用的时间是 (时).    6．（23-24八年级上·上海闵行·期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程S（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： (1)小杰去公园时下坡路长________千米； (2)小杰下坡的速度为________千米/分钟； (3)如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是________分钟． 题型三、用描点法画函数图象 7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 9．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知函数． (1)试着通过列表、描点、连线的方式，画出其图像的草图； (2)根据所画草图，请写出该函数的三条图像特征． 试题练习 一、单选题 1．下列关系不是函数关系的是  （   ） A．长方形的宽一定时，它的长与面积． B．正方形的周长与面积． C．等腰三角形的底边长与面积． D．等腰三角形顶角的度数与底角的度数． 2．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH按如图所示的位置摆放（CD与EF重合），点B，C，F，G共线，正方形ABCD沿BG方向匀速运动，直到B点与G点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映S与t之间关系的函数图象是（    ） A． B． C． D． 4．如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度y与注水时间x之间的函数关系，大致是下列图像中的（    ）． A． B． C． D． 5．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示.那么，小高上班时下坡的速度是（   ） A．千米/分 B．2千米/分 C．1千米/分 D．千米/分 6．定义：表示不超过实数的最大整数.例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（   ） A．函数的定义域是一切整数 B．函数的图像是经过原点的一条直线 C．点在函数图像上 D．函数的函数值随的增大而增大 二、填空题 7．已知函数，则 ． 8．如果函数，那么 ． 9．已知：，那么 ． 10．已知函数，如果，那么 ． 11．已知，那么 ． 12．已知函数，那么 ． 13．如图，快，慢两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图象表示了两者分别离快者的起点的距离s（cm）与两者运动的时间t（s）之间的关系，则慢者的速度是 cm/s．    14．如图，在中，，，动点P在上从点C向终点A匀速运动，同时，动点Q在上从点A向终点B匀速运动，它们同时到达终点．设，，则y关于x的函数表达式是 ． 15．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆轿车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知轿车速度是90千米/时，客车速度是60千米/时，设点A的横坐标为，点C的横坐标为，则 ． 16．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完;销售金额与卖西瓜千克数之间的关系如图所示，那么小李赚了 .元. 17．如图1所示，在矩形中，动点从点出发，沿矩形的边由运动，设点运动的路程为，的面积为，把看作的函数，函数图象如图所示，则的面积为 ． 18．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=26cm，DC=18cm ，AD=4cm，动点M以1cm/s的速度从点D向点C运动，动点N从点B以2cm/s的速度向点A运动点M、N同时出发，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动，设动点运动时间为t(s)，四边形ANMD的面积y()，y关于x的函数解析式并写出定义域 . 三、解答题 19．一辆货车和一辆轿车从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段和线段分别表示货车和轿车离甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系． (1)货车的速度是________，两车相遇时，它们距甲地________； (2)轿车的速度是________；轿车出发时，两车相距________； (3)轿车从甲地出发到乙地所用的时间是________． 20．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则： (1)，两城相距______千米； (2)乙车速度为______千米/小时； (3)乙车出发后______小时追上甲车． 21．在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．    (1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象； (2)环城越野赛的全程是________千米； (3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时； (4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时． 22．、两地相距45千米，甲骑电瓶车从地出发前往地，乙同时骑自行车从距离地20千米的地出发前往地．图中的线段和线段分别反映了两人与地的距离（千米）和行驶时间（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题： (1)两人谁先到达地？________．（填“甲”或“乙”） (2)甲到达地用了________小时． (3)两人在出发多少小时后相遇？ 23．小明骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起今天要学习轨迹，需要用到圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续去学校．以下是他本次上学途中离家距离和所用时间的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是__________米． (2)小明在文具店停留了__________分钟． (3)小明一共行驶了__________米． (4)我们认为骑车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车的速度最快，速度在安全限度内吗？ 24．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为（分），、与之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题： (1)加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；运输飞机的油箱有余油量 吨油； (2)这些油全部加给运输飞机需 分钟； (3)运输飞机的飞行油耗为每分钟 吨油； (4)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 小时． 25．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离（）和骑行时间（）之间的函数关系如图所示． (1)乙比甲先出发___________小时． (2)甲骑行的速度是每小时___________千米． (3)相遇后，甲的速度___________乙的速度（填“大于”、“小于”或“等于”）． (4)甲比乙少用了___________小时． 26．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)点B的坐标是_______． (2)根据图象信息，甲的速度为_______米/分钟，当t=_______分钟时甲乙两人相遇； (3)求点A的坐标． 27．某人沿一条直路行走，此人离出发地的距离（千米）与行走时间（分钟）的函数关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题： (1)此人离开出发地最远距离是________________千米； (2)此人在这次行走过程中，停留所用的时间为______________分钟； (3)由图中线段可知，此人在这段时间内行走的速度是每分钟__________千米；并写出对应的函数解析式__________________； (4)此人在120分钟内共走了_____________千米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数的概念（二）（2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【例1】用如图所示的程序框图来计算函数的值，当输入为和7时，输出的值相等，则的值是　　 A． B． C．4 D．2 【分析】将的值分别代入对应的函数，进而求出的值． 【解答】解：根据题意，当时，； 当时，． ， ． 故选：． 【点评】本题考查函数值，掌握求函数值的方法是本题的关键． 【变式1】（2023秋•松江区期末）已知函数，那么（6）　　． 【分析】将代入该函数解析式进行计算可得此题结果． 【解答】解：， （6）． 故答案为：． 【点评】本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键． 【变式2】定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为3的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别令各函数值，若对应的自变量，则说明该函数的零点为3． 【解答】解：（A）当时，解得， 符合题意； （B）当时，解得， 不符合题意； （C）当时，该方程无解， 不符合题意； （D）当时，该方程无解， 不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查函数值等，根据函数值求自变量的值是解题的关键． 【变式3】（2023秋•浦东新区校级期末）已知：，那么（5）　5　． 【分析】令，代入式子即可求出结果． 【解答】解：（5）， 故答案为：5． 【点评】本题考查了函数值的问题，解题的关键是将数值代入来求出结果． 知识点2．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【例2】（2022秋•松江区校级期中）下列图象不能反映是的函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的概念解答即可． 【解答】解：、当取一值时，没有唯一与它对应的值，不是的函数，故选项符合题意； 、当取一值时，有唯一与它对应的值，是的函数，故选项不合题意； 、当取一值时，有唯一与它对应的值，是的函数，故选项不合题意； 、当取一值时，有唯一与它对应的值，是的函数，故选项不合题意； 故选：． 【点评】此题考查函数的概念，关键是根据当取一值时，有唯一与它对应的值判断． 【变式1】（2022秋•杨浦区期末）如图：某人从甲地行走到乙地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示，那么此人行走5千米，所用的时间是 　1.25　小时． 【分析】根据速度路程时间求出行驶的速度，再根据时间路程速度进行计算即可得解． 【解答】解：由图可知，速度千米时， 所以，行走5千米所用的时间小时． 故答案为：1.25． 【点评】本题考查了函数图象，准确识图，确定出路程和时间然后求出此人的速度是解题的关键． 【变式2】（2020秋•浦东新区校级期末）汽车行驶的路程（千米）与行驶的时间（时的函数关系的大致图象如图，那么该汽车行驶的速度是 　　． 【分析】根据图象和速度解答即可． 【解答】解：由图象可得，路程千米，时间小时， 速度， 故答案为：． 【点评】此题考查函数的图象，关键是根据图象和速度解答． 【变式3】（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长 　3　千米； （2）小杰下坡的速度为 　　千米分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 　　分钟． 【分析】（1）根据函数图象可以得到小杰去学校时下坡路的长； （2）根据函数图象中的数据可以求得小杰下坡的速度； （3）根据函数图象中的数据可以求得上坡和下坡的速度，从而可以得到小杰回家骑车走这段路的时间． 【解答】解：（1）由图象可得， 小杰去学校时下坡路长：（千米）， 故答案为：3； （2）小杰下坡的速度为：（千米分钟）， 故答案为：0.6； （3）小杰上坡的速度为：（千米分钟）， 小杰下坡的速度为：0.6千米分钟， 则小杰回家骑车走这段路的时间是：（分钟）， 故答案为：． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式4】（2020秋•青浦区期中）汽车以60千米时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速公路，继续以100千米时的速度匀速行驶，则下列图象中能近似地刻画汽车行驶路程（千米）与时间（时之间关系的是　　 A． B． C． D． 【分析】汽车以60千米时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，所以前1小时路程随时间增大而增大，后来以100千米时的速度匀速行驶，路程的增加幅度会变大一点．据此即可选择． 【解答】解：由题意知，前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程的增加幅度会变大一点． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的图象．本题的关键是分析汽车行驶的过程． 经典题型汇编 题型一、函数图象识别 1．（21-22八年级上·上海·期末）下列图像中表示是的函数的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x，y，当给定一个x的值时，y由唯一的值与之对应，则称y是x的函数，x是自变量，注意“y有唯一性”是判断函数的关键． 【详解】解：根据函数的定义，每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y与之相对应， 故第2个图符合题意，其它均不符合， 故选：A． 【点睛】本题考查函数图象的识别，判断方法：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中，与函数图象只会有一个交点． 2．（20-21八年级上·上海·期中）王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间（分）和离家距离（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是 米/分． 【答案】100 【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 0~15分的速度：； 25分~35分的速度：； 45分~50分的速度：； ∵， ∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分； 故答案为：100． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题． 3．德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)请说明点D的实际意义． (3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 【答案】(1)y是关于x的函数；理由见解析 (2)点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%； (3)见解析 【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可解答； （2）根据点的坐标的意义即可解答； （3）提出一条合理的建议即可． 【详解】（1）解：根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应， ∴y是关于x的函数； （2）解：点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%； （3）解：由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，故建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新． 【点睛】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键． 题型二、从函数的图象获取信息 4．（19-20八年级上·上海闵行·阶段练习）小明利用星期六、日双休骑自行车到城外小姨家去玩.星期六从家中出发，先上坡，后走平 路,再走下坡路到小姨家.行程情况如图所示.星期日小明又沿原路返回自己家.若两天中，小明 上坡、平路、下坡行驶的速度相对不变，则星期日，小明返回家的时间是(       )分钟 A．30 分钟 B．38分钟 C．41分钟 D．43分钟 【答案】D 【分析】首先根据题意结合图形找出上坡路、平路、下坡路的具体路程及所用时间，分别求出速度，问题即可解决． 【详解】由题意结合图像可以判断： 小明去时所走路程是：上坡路10百米，平路20百米，下坡路30百米， 所用时间分别是：10分钟，10分钟，10分钟， ∴上坡速度为百米/分，平路速度为百米/分，下坡速度为百米/分， ∵小明上坡、平路、下坡行驶的速度相对不变， ∴回来时上坡30百米，用时分钟， 平路20百米，用时分钟， 下坡10百米，用时分钟， ∴回来共用时间， 故选：D. 【点睛】本题考查函数图像信息问题，从图像中判断出上坡路、平路、下坡路的具体路程及所用时间，计算出速度是解题的关键. 5．（19-20八年级上·上海杨浦·阶段练习）某人从甲地行走到乙地的路程S(千米)与时间t(时)的函数关系如图所示,那么此人行走3千米,所用的时间是 (时).    【答案】0.75 【分析】根据速度=路程÷时间求出行驶的速度，再根据时间=路程÷速度进行计算即可得解． 【详解】由图可知，速度=12÷3=4千米/时， 所以，行走3千米所用的时间=3÷4=0.75小时． 故答案为：0.75． 【点睛】本题考查了函数图象，准确识图，确定出路程和时间然后求出此人的速度是解题的关键． 6．（23-24八年级上·上海闵行·期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程S（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： (1)小杰去公园时下坡路长________千米； (2)小杰下坡的速度为________千米/分钟； (3)如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是________分钟． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查函数图象的实际应用． （1）结合图象得到下坡长为千米，作答即可； （2）利用路程除以时间进行求解即可； （3）先求出上坡和下坡的速度，利用路程除以速度进行求解即可． 从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知，分钟所走的路程为下坡路长， ∴下坡路长千米， 故答案为：3； （2）千米/分钟； 故答案为：； （3）由图象可知，上坡速度为：千米/分钟； ∴从公园骑车到家用的时间是分钟； 故答案为：． 题型三、用描点法画函数图象 7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，只要把点的坐标代入函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可． 【详解】A选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； B选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点在函数的图象上； C选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； D选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上． 故选：B 8．（21-22八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【解析】略 9．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知函数． (1)试着通过列表、描点、连线的方式，画出其图像的草图； (2)根据所画草图，请写出该函数的三条图像特征． 【答案】(1)见解析 (2)①函数图像的对称轴为；②当，y随x的增大而减小；③函数图像无限靠近x轴，但不会和x轴相交（不唯一合理即可）． 【分析】（1）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图像即可；掌握作图步骤是解题的关键； （2）根据函数图像，总结归纳性质即可；掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①列表如下： 0 1 2 2 ②描点、连线如下： （2）解：由（1）所得图像可得如下性质：①函数图像的对称轴为；②当，y随x的增大而减小；③函数图像无限靠近x轴，但不会和x轴相交（不唯一合理即可）． 试题练习 一、单选题 1．下列关系不是函数关系的是  （   ） A．长方形的宽一定时，它的长与面积． B．正方形的周长与面积． C．等腰三角形的底边长与面积． D．等腰三角形顶角的度数与底角的度数． 【答案】C 【分析】根据函数的概念可直接进行排除选项． 【详解】长方形的面积=长×宽，当宽一定时，它的长与面积成函数关系故A正确； 正方形面积=正方形的周长的平方的十六分之一，故B正确； 等腰三角形的面积=底边长×底边上的高×0.5，当底边上的高不确定时，等腰三角形的底边长与面积不成函数关系，故C不正确； 等腰三角形顶角的度数是180与底角的度数2倍的差，等腰三角形顶角的度数与底角的度数成函数关系，故D正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查函数的概念，熟记掌握函数的概念是解题的关键． 2．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， ∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元， ∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为： 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函数关系． 3．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH按如图所示的位置摆放（CD与EF重合），点B，C，F，G共线，正方形ABCD沿BG方向匀速运动，直到B点与G点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映S与t之间关系的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是动点图象问题，先根据图形的运动规律得到函数的表达式，根据表达式即可得到图形大致情况. 【详解】解：设，正方形ABCD运动速度为v, 当C点未达到G点时，， ∴，其中a，v为常量， 当C点超过G点时，如下图所示， ∵， ∴， ∴ ∴，其中a，v为常量， 故选：B. 4．如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度y与注水时间x之间的函数关系，大致是下列图像中的（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分成3段分析可得答案． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选A． 【点睛】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢． 5．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示.那么，小高上班时下坡的速度是（   ） A．千米/分 B．2千米/分 C．1千米/分 D．千米/分 【答案】A 【分析】结合图像，确定下坡的路程和时间，根据速度公式计算即可 【详解】解：    从图象可知：走下坡路用了12分钟﹣8分钟＝4分钟，走的路程是4千米﹣2千米＝2千米， 即小高上班时下坡的速度是， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图像信息题，正确获取信息和利用信息是解题的关键． 6．定义：表示不超过实数的最大整数.例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（   ） A．函数的定义域是一切整数 B．函数的图像是经过原点的一条直线 C．点在函数图像上 D．函数的函数值随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据题意描述的概念逐项分析即可． 【详解】A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误； B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误； C、由题意可知，则点在函数图像上，故正确； D、例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键． 二、填空题 7．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数的值，把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ∴． 故答案为：6． 8．如果函数，那么 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义，将代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据自变量的值，求函数值．熟练掌握函数的定义，以及分母有理化，是解题的关键． 9．已知：，那么 ． 【答案】6 【分析】把代入求解即可． 【详解】当 时， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了求函数值，理解的含义是解答本题的关键． 10．已知函数，如果，那么 ． 【答案】 【分析】把代入求解． 【详解】解：把代入得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质． 11．已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义求函数值，将代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 12．已知函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值的求解，涉及二次根式的化简，把代入函数解析式进行计算即可，理解题中的函数解析式是解题的关键． 【详解】当时，， 故答案为：． 13．如图，快，慢两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图象表示了两者分别离快者的起点的距离s（cm）与两者运动的时间t（s）之间的关系，则慢者的速度是 cm/s．    【答案】6 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从图象中获取有用的信息． 求出快者速度为cm/s，可得相遇时慢者所走路程，从而得到答案． 【详解】解：由图象可得快者速度为cm/s， ∴慢者速度为cm/s； 故答案为：6． 14．如图，在中，，，动点P在上从点C向终点A匀速运动，同时，动点Q在上从点A向终点B匀速运动，它们同时到达终点．设，，则y关于x的函数表达式是 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出的长度，再根据点P和点Q同时到达终点，得出和之间的数量关系，求出运动时间t，最后根据即可进行解答． 【详解】解：设点P的运动速度为，点Q的运动速度为，时间为t， ∵，， ∴， ∵点P和点Q同时到达终点， ∴，即，整理得： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一次函数表达式，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出自变量和因变量之间的关系． 15．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆轿车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知轿车速度是90千米/时，客车速度是60千米/时，设点A的横坐标为，点C的横坐标为，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，观察图象得：点A的实际意义是两车此时相遇，甲乙两地之间的距离为600千米，再根据两车行驶的路程之和等于600千米，即可求出；点C的实际意义表示客车此时到达乙地，据此求出即可得到答案． 【详解】解：观察图象得：点A的实际意义是两车此时相遇，甲乙两地之间的距离为600千米，因为私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时， ∴， 解得； 观察图象得：点C的实际意义表示客车此时到达乙地， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6. 16．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完;销售金额与卖西瓜千克数之间的关系如图所示，那么小李赚了 .元. 【答案】36 【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】由图中可知，没有降价前40千克西瓜卖了64元，那么售价为：64÷40=1.6元， 降价0.4元后单价变为1.6-0.4=1.2，钱变成了76元，说明降价后卖了76-64=12元，那么降价后卖了12÷1.2=10千克， 总质量将变为40+10=50千克，那么小李的成本为：50×0.8=40元，赚了76-40=36元， 故答案为36. 【点睛】本题考查了函数的图象，读懂函数图象，从中找出相关信息是解题的关键.解决本题的关键是求出降价后卖的西瓜的质量，进而求得所有西瓜的总质量． 17．如图1所示，在矩形中，动点从点出发，沿矩形的边由运动，设点运动的路程为，的面积为，把看作的函数，函数图象如图所示，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点函数图象，由图象得出当时，的值最大，此时点运动到点，说明，当时，的值最大，此时点运动到点，说明，再由三角形面积公式计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 当点在运动时，的值逐渐增大，即的面积逐渐增大， 当点在运动时，的值不变，即的面积不变， 当点在运动时，的值逐渐减小，即的面积逐渐减小， 函数图象上横坐标表示点运动的路程，当时，的值最大，此时点运动到点，说明，当时，的值最大，此时点运动到点，说明， ，， ， 故答案为：． 18．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=26cm，DC=18cm ，AD=4cm，动点M以1cm/s的速度从点D向点C运动，动点N从点B以2cm/s的速度向点A运动点M、N同时出发，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动，设动点运动时间为t(s)，四边形ANMD的面积y()，y关于x的函数解析式并写出定义域 . 【答案】y=-2t+52，0＜t＜13. 【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据，分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义即可求出定义域． 【详解】解：∵在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90， ∴四边形ANMD也是直角梯形，因此它的面积为：（DM+AN）×AD， ∵DM=t，AN=26-2t，AD= 4； ∴四边形AMND的面积：y=（t+26-2t）×4=-2t+52． ∵当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动； ∴当N点到达A点时，2t=26， 解得：t=13； ∴自变量t的取值范围是：0＜t＜13． 故答案为0＜t＜13. 【点睛】本题考查了直角梯形的性质，以及几何图形的性质确定函数的图象．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用． 三、解答题 19．一辆货车和一辆轿车从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段和线段分别表示货车和轿车离甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系． (1)货车的速度是________，两车相遇时，它们距甲地________； (2)轿车的速度是________；轿车出发时，两车相距________； (3)轿车从甲地出发到乙地所用的时间是________． 【答案】(1)60，210 (2)100，84 (3)3 【分析】（1）根据速度=路程÷时间可求出货车的速度，然后货车的速度乘以相遇的时间可求出两车相遇时，它们距甲地的路程； （2）根用相遇时走的路程÷相遇时时间轿车用的时间可求出轿车的速度，然后货车的速度乘以轿车出发时的时间可求出轿车出发时，两车相距的路程； （3）用甲乙两地的路程除以轿车的速度即可． 【详解】（1）， ． 故答案为：60，210； （2）， ． 故答案为：100，84； （3）， 故答案为：3． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键． 20．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则： (1)，两城相距______千米； (2)乙车速度为______千米/小时； (3)乙车出发后______小时追上甲车． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图像中的数据，可以解答本题； （2）根据函数图像中的数据，可以求得乙车的速度； （3）先求出甲车速度，再根据甲、乙两车行驶的路程相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图像可得，，两城两城相距千米． 故答案为：； （2）由图像可得，乙车从城出发匀速行驶至城所需的时间为：（小时）， ∴乙车的速度为：（千米/小时）． 故答案为：； （3）由图像可得，甲车从城出发匀速行驶至城所需的时间为小时， ∴甲车的速度为：（千米/小时）， 设乙车出发后小时追上甲车， ∴， 解得：， 即乙车出发后小时追上甲车． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21．在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．    (1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象； (2)环城越野赛的全程是________千米； (3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时； (4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时． 【答案】(1)图见解析 (2)20 (3)16 (4)4 【分析】（1）根据两点确定一条直线，进行作图即可； （2）根据乙的图象，求出时，的值即可； （3）结合图象，利用路程除以时间进行求解即可； （4）结合图象，利用路程除以时间进行求解即可； 【详解】（1）解：∵，（），当时，，当时，， ∴乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象经过点， 画出图象如下：      （2）∵，（）， ∴当时，， 即：环城越野赛的全程是20千米； 故答案为：20； （3）由图象可知：甲前0.5小时的速度是千米/小时； 故答案为：16； （4）由图象可知：相遇时甲的速度是千米/小时； 故答案为：4． 【点睛】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系，解题的关键是从函数图象中有效的获取信息． 22．、两地相距45千米，甲骑电瓶车从地出发前往地，乙同时骑自行车从距离地20千米的地出发前往地．图中的线段和线段分别反映了两人与地的距离（千米）和行驶时间（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题： (1)两人谁先到达地？________．（填“甲”或“乙”） (2)甲到达地用了________小时． (3)两人在出发多少小时后相遇？ 【答案】(1)甲 (2) (3) 【分析】（1）直接观察图象，即可求解； （2）求出甲的速度，即可求解； （3）设两人在出发t小时后相遇，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：观察图象得：甲先到达地； 故答案为：甲 （2）解：根据题意得：甲的速度为千米/小时， ∴甲到达地用了小时； 故答案为： （3）解：设两人在出发t小时后相遇，根据题意得： ， 解得：， 即两人在出发小时后相遇． 【点睛】本题主要考查了函数图象，准确从函数图象获取信息，利用数形结合思想解答是解题的关键． 23．小明骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起今天要学习轨迹，需要用到圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续去学校．以下是他本次上学途中离家距离和所用时间的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是__________米． (2)小明在文具店停留了__________分钟． (3)小明一共行驶了__________米． (4)我们认为骑车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车的速度最快，速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)米 (2)分钟 (3)米 (4)在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据函数图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：由图象可得，小明家到学校的路程是1500米； （2）小明在书店停留了（分钟）； （3）本次上学途中，小明一共行驶了： （米）， （4）解：当时间在分钟内时，速度为：米分钟， 当时间在分钟内时，速度为：米分钟， 当时间在分钟内时，速度为：米分钟， ， 在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 【点睛】本题考查从函数的图象中获取信息，解答本题的关键是明确点的横纵坐标的含义，利用数形结合的思想解答． 24．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为（分），、与之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题： (1)加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；运输飞机的油箱有余油量 吨油； (2)这些油全部加给运输飞机需 分钟； (3)运输飞机的飞行油耗为每分钟 吨油； (4)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 小时． 【答案】(1)30，40 (2)10 (3) (4) 【分析】（1）通过观察图象，即可得到； （2）根据图象横坐标即可得到； （3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量，再求出每分钟的油耗； （4）先确定油量，除以每小时的油耗即可． 【详解】（1）解：由图观察线段段图象，加油油箱中装载了30吨油， 由图观察线段段图象，运输飞机油箱中装载了40吨油， 故答案是：30，40； （2）解：由图可知加油飞机在10分钟时间内消耗了30吨， 故答案是：10； （3）解：运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨， 所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨， 运输飞机每小时耗油量为（吨， 运输飞机每分钟耗油量为（吨， 故答案是：0.1； （4）解：运输飞机每分钟耗油量为（吨， 运输飞机每小时耗油量为（吨， 最多能飞行（小时． 故答案是：11.5． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定． 25．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离（）和骑行时间（）之间的函数关系如图所示． (1)乙比甲先出发___________小时． (2)甲骑行的速度是每小时___________千米． (3)相遇后，甲的速度___________乙的速度（填“大于”、“小于”或“等于”）． (4)甲比乙少用了___________小时． 【答案】(1)0.5 (2) (3)大于 (4)1 【分析】（1）由图像可知答案； （2）根据甲骑行的速度=甲骑行的路程甲骑行的时间，计算即可； （3）由图像可知甲、乙两同学骑自行车相遇后，甲的直线上升的快，即可得答案； （4）由图像可知：甲同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，用了1.5小时，乙同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，用了2.5小时，即可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知：乙比甲先出发0.5小时； （2）（千米）， 甲骑行的速度是每小时千米； （3）由图像可知甲、乙两同学骑自行车相遇后，甲的直线上升的快， 相遇后，甲的速度大于乙的速度； （4）由图像可知：甲同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，用了1.5小时，乙同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，用了2.5小时，所以甲比乙少用了（小时）， 甲比乙少用了1小时． 【点睛】本题考查了函数图像，解题的关键从图像中读取信息，注意分析其中的“关键点”，分析各图像的变化趋势． 26．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)点B的坐标是_______． (2)根据图象信息，甲的速度为_______米/分钟，当t=_______分钟时甲乙两人相遇； (3)求点A的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)点的坐标为 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，根据乙先到达目的地，得到点是甲到达图书馆，进而求得甲的时间，即可求得甲的速度； （3）根据相遇的路程得出速度和，进而求得乙的速度，然后得出乙所花的时间，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可得，， 故答案为：． （2）解：根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为米/分钟， 故答案为：40，24 （3）甲、乙两人的速度和为米/分钟，乙的速度为：米/分钟． 乙从图书馆回学校的时间为分钟，， ∴A点的坐标为． 【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． 27．某人沿一条直路行走，此人离出发地的距离（千米）与行走时间（分钟）的函数关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题： (1)此人离开出发地最远距离是________________千米； (2)此人在这次行走过程中，停留所用的时间为______________分钟； (3)由图中线段可知，此人在这段时间内行走的速度是每分钟__________千米；并写出对应的函数解析式__________________； (4)此人在120分钟内共走了_____________千米． 【答案】(1)4 (2)20 (3)， (4)8 【分析】（1）此人最远到达了C处，所以此人离开出发地最远距离是4千米； （2）此人到达A处时开始休息，在B处又开始出发，所以用了20分钟； （3）求速度用路程除以时间即可，再写出比例函数； （4）把每段的距离相加即可． 【详解】（1）由图像得：此人离开出发地最远距离是4千米； （2）此人在这次行走过程中，停留所用的时间为分钟；； （3）（千米/分钟） 设对应的函数解析式， 把代入， ， ∴此人在这段时间内行走的速度是每分钟千米，对应的函数解析式； （4）此人在120分钟内共走了（千米）． 故答案为：4；20；，；8． 【点睛】本题考查了利用函数的图像解决实际问题，解本题的要点在于正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决，需注意计算单位的统一． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$