第06讲 一元二次方程的概念（二）（2个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第06讲 一元二次方程的概念（二）（2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【例1】（2022秋•杨浦区期末）如果是方程的根，那么的值是　　 A．2 B． C． D． 【变式1】（2023秋•浦东新区期末）已知是方程的一个根，那么　　． 【变式2】（2022秋•宝山区期中）关于的方程的一个根是4，那么的值是　　 A．或4 B．或7 C．3或4 D．3或7 【变式3】（2022秋•虹口区校级期中）已知关于的方程和有公共根，求：的值． 知识点2．估算一元二次方程的近似解 用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【例2】（2022秋•渭滨区校级月考）根据下表： 4 5 6 13 5 5 13 确定方程的解的取值范围是　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】．填空题． （1）若，则　　． （2）若有意义，则的取值范围是 　　． （3）已知，那么　　，　　． （4）如果，那么　　，　　． 【变式2】（2024•江汉区校级模拟）若关于x的方程x2+4x﹣m＝0（m为实数）在﹣3≤x≤1范围内有唯一实数根，则m的范围是（　　） A．m＝﹣4 B．﹣4≤m≤5 C．﹣3＜m≤5和m＝﹣4 D．﹣4≤m≤―3 经典题型汇编 题型一．一元二次方程的解 1．若方程中，，，满足和，则方程的根是　　 A．1，0 B．，0 C．1， D．无法确定 2．已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是　　． 3．设方程和有公共根，试求的值． 题型二．估算一元二次方程的近似解 4．根据下表判断方程的一个根的近似值（精确到是　　 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 A．1.3 B．1.2 C．1.5 D．1.4 5．设，如表列出了与的6对对应值： 0 1 2 2 9 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是　　 A． B． C． D． 6．我们已学会了用“两边夹”的方法，根据不同的精确度要求，估算的取值范围，我们还可以用“逼近”的方法，求出它的近似值． 1.40 1.41 1.42 1.43 1.96 1.9881 2.0164 2.0449 ，， 可见1.9881比2.0164更逼近2，当精确度为0.01时，的近似值为1.41． 下面，我们用同样的方法估计方程其中一个解的近似值． 1.63 1.64 1.65 1.66 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 根据上表，方程的一个解约是　　．（精确到 试题练习 一、单选题 1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是4，则这个一元二次方程是（        ） A． B． C． D． 3．下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B．（其中、、是常数） C． D． 4．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．设，下表列出了与的6对对应值： －1 0 1 2 3 4 －7 －5 －1 5 13 23 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 6．根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（　　） x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x2+px+q ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 二、填空题 7．当m 时，方程是一元二次方程． 8．已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 9．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 11．方程化成一般式是 ． 12．如果关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 13．一元二次方程中，当二次项系数是时，一次项系数是 、常数项是 ． 14．当 时，关于的方程是一元二次方程． 15．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则= ． 16．根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 17．关于x的方程，当m 时，此方程为一元二次方程． 18．如果关于的一元二次方程的一个根为1，那么多项式 可分解为 ． 三、解答题 19．当m为何值时，方程是关于x的一元二次方程． 20．把下列一元二次方程化为一般式，并写出方程中的各项与各项的系数． （1）；                （2）； （3）；        （4）．（是已知数） 21． 若关于x的方程是一元二次方程，求的值． 22．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． （1）；                （2）． 23．已知关于x的方程． （1）当为何值时，方程是一元二次方程； （2）当为何值时，方程是一元一次方程． 24．已知是方程的根，化简． 25．如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值． 26．已知关于x的方程有实数根，求实数m的值． 27．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，． 例如：方程的两根分别是和，则，． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： (1)已知方程的两根分别是和，则______，______． (2)已知方程的两根分别是和，求的值． (3)已知和是方程的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元二次方程的概念（二）（2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【例1】（2022秋•杨浦区期末）如果是方程的根，那么的值是　　 A．2 B． C． D． 【分析】把代入原方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【解答】解：把代入方程得， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【变式1】（2023秋•浦东新区期末）已知是方程的一个根，那么　　． 【分析】将代入原方程即可求出的值． 【解答】解：将代入， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型． 【变式2】（2022秋•宝山区期中）关于的方程的一个根是4，那么的值是　　 A．或4 B．或7 C．3或4 D．3或7 【分析】根据方程的解的含义，把4代入原方程，方程成立，故，即，解关于的方程即可． 【解答】解：是方程的一个根， 把4代入原方程，得， 即， 解得，或7， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，就是令方程成立的未知数的值，根据方程解的意义，求待定系数的值，是常见的考题． 【变式3】（2022秋•虹口区校级期中）已知关于的方程和有公共根，求：的值． 【分析】把两式相减，消掉，然后因式分解，分情况讨论． 【解答】解：方程①和②有公共根， ①②得，， 因式分解得，， 解得，，． 当时，得， △，方程无解，舍去； 当时，代入方程可得，，解得． 把代入得，，解得，； 把代入得，，解得，； 有公共根，符合题意； 故的值为． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据方程有公共根，列出方程组解答． 知识点2．估算一元二次方程的近似解 用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【例2】（2022秋•渭滨区校级月考）根据下表： 4 5 6 13 5 5 13 确定方程的解的取值范围是　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【解答】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：． 【点评】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 【变式1】．填空题． （1）若，则　　． （2）若有意义，则的取值范围是 　　． （3）已知，那么　　，　　． （4）如果，那么　　，　　． 【分析】（1）直接根据解一元二次方程的方法即可得到答案． （2）根据二次根式有意义的条件即可得到答案． （3）利用非负数的性质可得关于，的二元一次方程组，解此方程组即可得到答案． （4）根据二次根式的基本性质即可得到答案． 【解答】解：（1）， 解得：． 故答案为：． （2）由题意得：， 解得：． 故答案为：． （3）由题意得：， 解得：． 故答案为：4，． （4）如果，那么，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程、二次根式有意义的条件、非负数的性质、解二元一次方程组、二次根式的基本性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 【变式2】（2024•江汉区校级模拟）若关于x的方程x2+4x﹣m＝0（m为实数）在﹣3≤x≤1范围内有唯一实数根，则m的范围是（　　） A．m＝﹣4 B．﹣4≤m≤5 C．﹣3＜m≤5和m＝﹣4 D．﹣4≤m≤―3 【分析】求得抛物线的对称轴，即可得出在﹣3≤x≤1范围内，当x＝﹣2时，y最小值＝﹣4﹣m，当x＝1时，y最大值＝5﹣m，根据题意可知﹣4﹣m＝0或，解得即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x﹣m的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∴在﹣3≤x≤1范围内，当x＝﹣2时，y最小值＝﹣4﹣m，当x＝1时，y最大值＝5﹣m，而x＝﹣3时，y＝﹣3﹣m， ∵关于x的方程x2+4x﹣m＝0（m为实数）在﹣3≤x≤1范围内有唯一实数根， ∴﹣4﹣m＝0或， ∴m＝﹣4或﹣3＜m≤5， ∴m的取值范围是﹣3＜m≤5或m＝﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的近似值，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 经典题型汇编 题型一．一元二次方程的解 1．若方程中，，，满足和，则方程的根是　　 A．1，0 B．，0 C．1， D．无法确定 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等． 【解答】解：在这个式子中，如果把代入方程，左边就变成，又由已知可知：当时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是．则方程的根是1，． 故选：． 【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等． 2．已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是　　． 【分析】把代入方程即可得到一个关于的方程，即可求得的值． 【解答】解：根据题意得：且 解得： 故答案为：． 【点评】本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0． 3．设方程和有公共根，试求的值． 【分析】由于两方程有公共解，所以将二者组成方程组，求出的值． 【解答】解：， ②①得，， 当，即时，取任意值，两个方程的解都相同．方程的解是，； 当时，， ， 把代入得，，． 于是两方程为：③，，． ④，，． 综上所述，当时，取任意值，两个方程的解都相同；当；其公共根为1． 【点评】本题考查了一元二次方程的公共解即为二者组成的方程组的解，求出系数是解题的关键． 题型二．估算一元二次方程的近似解 4．根据下表判断方程的一个根的近似值（精确到是　　 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 A．1.3 B．1.2 C．1.5 D．1.4 【分析】观察表格可以发现的值和0.36最接近0，再看对应的的值即可得． 【解答】解：当时，；当时，， 当在的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即， 方程一个根的大致范围为， ， 更接近于， 的一个根的近似值是 故选：． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的的取值范围是解题的关键，属于中考常考题型． 5．设，如表列出了与的6对对应值： 0 1 2 2 9 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是　　 A． B． C． D． 【分析】利用表中的对应值得到时，；时，，所以当在之间取某一个值时，，从而得到方程的一个解的大致范围． 【解答】解：当时，； 当时，， 当在之间取某一个值时，， 一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用二次函数的增减性是解题关键． 6．我们已学会了用“两边夹”的方法，根据不同的精确度要求，估算的取值范围，我们还可以用“逼近”的方法，求出它的近似值． 1.40 1.41 1.42 1.43 1.96 1.9881 2.0164 2.0449 ，， 可见1.9881比2.0164更逼近2，当精确度为0.01时，的近似值为1.41． 下面，我们用同样的方法估计方程其中一个解的近似值． 1.63 1.64 1.65 1.66 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 根据上表，方程的一个解约是　1.65　．（精确到 【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解． 【解答】解：根据题意得： ， ， ， 可见6.0225比5.9696更逼近6， 当精确度为0.01时，方程的一个解约是1.65； 故答案为：1.65． 【点评】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近． 试题练习 一、单选题 1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式，得到，即可．掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴； 故选：C． 2．关于x的一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是4，则这个一元二次方程是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程一般式可直接写出满足条件的方程． 【详解】∵关于x的二次方程的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是4，∴这个方程是． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0（a≠0），a叫二次项系数，b叫一次项系数，b叫常数项． 3．下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B．（其中、、是常数） C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，整理，得，是一元二次方程，故符合题意； B．当a=0时，（其中、、是常数）不是一元二次方程，故不符合题意； C．不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意； D．，整理，得，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选A． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键． 4．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键，根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．，是一元二次方程； B．，不是整式方程，选项B不符合题意； C．原方程可整理得：，是一元一次方程，选项C不符合题意； D．当时，选项D不符合题意． 故选：A． 5．设，下表列出了与的6对对应值： －1 0 1 2 3 4 －7 －5 －1 5 13 23 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察二次函数的6对对应值的表格，可得出：当时，对应的值的范围为，所以当时，对应的一元二次方程的一个解的范围为． 【详解】解：观察二次函数的6对对应值，可得： ∵当时，对应的值的范围为， 又∵， ∴当时，对应的一元二次方程的一个解的范围为． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 6．根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（　　） x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x2+px+q ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【分析】通过观察表格可得x2+px+q=0时，1.1＜x＜1.2，即可求解． 【详解】解：由表格可知， 当x=1.1时，x2+px+q＜0， 当x=1.2时，x2+px+q＞0， ∴x2+px+q=0时，1.1＜x＜1.2， ∴解的整数部分是1，十分位是1， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 二、填空题 7．当m 时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般式，再使二次项系数不为0即可求解． 【详解】解：将方程化为， ∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的一般式中是解答的关键． 8．已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根，解题的关键是把代入原方程，求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是3， ∴，解得， 故答案为：． 9．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出即可得到答案． 【详解】∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴ 故答案为：． 10．已知关于x的方程有一个根是，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握定义“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 【详解】把 代入方程得：， 故答案为：． 11．方程化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，即（a，b，c是常数且）．将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为（a，b，c是常数且）的形式即可．解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 【详解】 ． 故答案为：． 12．如果关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 【答案】 【分析】把代入，转化为k的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 故答案为：1． 13．一元二次方程中，当二次项系数是时，一次项系数是 、常数项是 ． 【答案】 【分析】 先把方程化为一般形式，再确定一次项系数和常数项即可． 【详解】 解：， ， 故当二次项系数是时，一次项系数是、常数项是． 故答案为：；． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是 (、、为常数，)． 14．当 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】根据一元二次方程定义即可求解，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 15．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则= ． 【答案】2 【分析】把代入方程即可得出的值，再由二次项系数不为0得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是0， ， ， ， ， ， 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的一般形式，其中是解题的关键． 16．根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 17．关于x的方程，当m 时，此方程为一元二次方程． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可． 【详解】 解：关于x的方程，当时，此方程为一元二次方程． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 18．如果关于的一元二次方程的一个根为1，那么多项式 可分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 三、解答题 19．当m为何值时，方程是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】根据题意得：2m﹣1≠0，解得：m． 故答案为m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 20．把下列一元二次方程化为一般式，并写出方程中的各项与各项的系数． （1）；                （2）； （3）；        （4）．（是已知数） 【答案】答案见解析 【分析】（1）先移项，再找出各项与各项的系数即可； （2）先去括号、再合并同类项，再找出各项与各项的系数即可； （3）先去括号、移项，再合并同类项，再找出各项与各项的系数即可； （4）已经是一般形式，找出各项与各项的系数即可． 【详解】（1），，二次项为：，一次项为：，常数项为：0，二次项系数为：，一次项系数为，常数项为：0； （2），，二次项为：，一次项为：－10x，常数项为：－2，二次项系数为：25，一次项系数为：－10，常数项为：－2； （3），，二次项为：，一次项为：－6m，常数项为：－5，二次项系数为：7，一次项系数为：－6，常数项为：－5； （4），二次项为：，一次项为：－ax，常数项为：b，二次项系数为：3，一次项系数为：－a，常数项为：b． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握去括号、移项，合并同类项的法则是解题的关键． 21．若关于x的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】－2 【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，即：，根据二次项系数不能为0，x的最高次数为2，求出a的值即可． 【详解】化成一元二次方程的一般形式得：，则且a﹣2≠0，解得：a=－2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 22．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． （1）；                （2）． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项，一次项和常数项即可； （2）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项，一次项和常数项即可． 【详解】（1）25x2﹣10x+1=4 x2﹣24x+36，21x2+14x－35=0，二次项为21x2，一次项为14x，常数项－35； （2），，二次项为，一次项为－4y，常数项－9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握去括号、移项，合并同类项的法则是解题的关键． 23．已知关于x的方程． （1）当为何值时，方程是一元二次方程； （2）当为何值时，方程是一元一次方程． 【答案】（1）a≠±3；（2）a=－3 【分析】（1）由一元二次方程的定义得到：a2﹣9≠0，由此可以求得a的值； （2）根据一元一次方程的定义得到：a2﹣9=0，由此可以求得a的值． 【详解】（1）∵关于x的方程，是一元二次方程，∴a2﹣9≠0，解得：a≠±3； （2）∵关于x的方程，是一元一次方程，∴a2﹣9=0且a－3≠0，解得：a=－3． 【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零． 24．已知是方程的根，化简． 【答案】0 【分析】将x=1代入到x2﹣mx+1=0中求得m的值，然后利用二次根式的性质化简所求代数式即可． 【详解】∵x=1是方程x2﹣mx+1=0的根，∴12﹣m+1=0，∴m=2，∴ =|m-3|-|m-1| =3﹣m﹣（m﹣1） =4﹣2m =4﹣2×2 =0． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和二次根式的性质与化简，根据一元二次方程解的定义求出m的值是解题的关键． 25．如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值． 【答案】2 【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了． 【详解】解：∵有且只有一个公共根 ∴ ∴ ∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1， ∴ ∴ 当时，代入第一个方程可得 1-a+1=0 解得： 【点睛】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根． 26．已知关于x的方程有实数根，求实数m的值． 【答案】 【分析】根据分类讨论即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：当时， 此时原方程为：，符合题意． 当， 此时， 且， 综上所述， ． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 27．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，． 例如：方程的两根分别是和，则，． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： (1)已知方程的两根分别是和，则______，______． (2)已知方程的两根分别是和，求的值． (3)已知和是方程的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】（1）根据题中所给条件，直接求和的值即可. （2）根据题中所给条件，先求和的值，再通过公式转化，求的值. （3）根据题意，可先得到，，进而得到，，即可得到结果 【详解】（1）（1）方程的两根分别是， 方程的两根分别是， ，， 故答案为：，； （2）（2）方程的两根分别是， ，， ， ， ； （3）（3）和是方程的两根， ，， ，， 构造一元二次方程，它的两根分别是和． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $$