精品解析：2024年新疆乌鲁木齐市第八中考四模数学试题

2024年新疆中考冲刺卷 数学试题卷 （分值：150分 考试时间：120分钟） 考生须知： 1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分. 2.试题卷共4页，答题卡共2页，所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上无效. 3.答题前，考生必须在答题卡规定位置认真填写姓名、准考证号、座位号，并按照考试要求粘贴条形码. 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分.请按答题卷中的要求作答） 1. 5的倒数是( ) A. B. C. 5 D. 2. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国华为麒麟9000处理器是采用5纳米制程工艺的手机芯片，集成多达153亿个晶体管.将153亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（ ） A. 28 B. 22 C. 19 D. 15 9. 如图1，在中，，，点是斜边上一动点过点作，垂足为，交边（或边于点，设，的面积为，y关于x 的函数图象如图2所示．下列结论：①点M 的横坐标是；②；③当 时，．其中正确的是（ ） A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分、请按答题卷中的要求作答） 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 11. 已知一次函数的图象经过点，则______． 12. 五张分别写有3，4，5，6，7的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是________ 13. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是_________cm． 14. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为______． 15. 如图，矩形的边，点E是的中点，点F是上一动点（不与B、C重合），把沿对折，使点B与点N重合，则线段的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. （1）解不等式组： （2）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 18. 如图，四边形是平行四边形，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 19. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列的问题： （1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h； （2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 20. 如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．如图2是某种型号飞机的机翼形状，图中，，，，请你根据图中的数据计算的长度．（参考数据：，，结果保留小数点后一位） 21. 某商场计划购进A，B两种商品共80件，A商品每件的进价比B商品少40元，用1600元购进A商品和用2400元购进B商品的数量相同． （1）求A，B两种商品进价分别是多少元？ （2）已知A商品的销售单价m（元/件）与A商品的进货量n（件）之间的函数关系如图所示． ①求m关于n的函数关系式． ②因原材料价格上涨，A，B两种商品的进价均提高了，为保证总利润不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高a元，且a不超过A商品原销售单价的，求a的最大值． 22. 如图所示，以的边为直径作，点C在上，是的弦，，过点C作于点F，交于点G，过C作交的延长线于点E． （1）求证：CE是的切线； （2）求证：； （3）若，，求阴影部分的面积． 23. 【问题提出】 如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为． 【初步感知】 如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点． （1）求矩形的边和的长； 【深入探究】 （2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式； 【拓展延伸】 （3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年新疆中考冲刺卷 数学试题卷 （分值：150分 考试时间：120分钟） 考生须知： 1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分. 2.试题卷共4页，答题卡共2页，所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上无效. 3.答题前，考生必须在答题卡规定位置认真填写姓名、准考证号、座位号，并按照考试要求粘贴条形码. 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分.请按答题卷中的要求作答） 1. 5的倒数是( ) A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的意义可直接进行求解． 【详解】解：5的倒数是； 故选A． 【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键． 2. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论． 【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； 球体的主视图是圆，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 中国华为麒麟9000处理器是采用5纳米制程工艺的手机芯片，集成多达153亿个晶体管.将153亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表达形式是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，根据上述概念求解即可． 【详解】解：153亿． 故选C． 4. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质，三角板中角度的计算是解题的关键，根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由平行线的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据相应的运算法则逐一分析即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 6. 若关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 7. 中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“每人出五元，还差九十元；每人出五十元，刚好够”，即可得出关于x，y二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵每人出五元，还差九十元， ∴； ∵每人出五十元，刚好够， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（ ） A. 28 B. 22 C. 19 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 故选：B． 9. 如图1，在中，，，点是斜边上一动点过点作，垂足为，交边（或边于点，设，面积为，y关于x 的函数图象如图2所示．下列结论：①点M 的横坐标是；②；③当 时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． ①过点C作于点D，求出 ，当点P运动到点D时，面积最大，将代入得：，解得； ②在中，，，即； ③，在中，，代入面积公式求解即可． 【详解】解：过点C作于点D， 当点P在上时， 在 中，，， ∴， ∴ ， 当点P运动到点D时，面积最大， 将代入得：，解得，即， ∴点M 的横坐标是正确的，故①正确； 在中，， ∴， ，， ∴， ∴在中，， ∴，即，故②正确； 当时，点P在上， 此时， 在中，， ∴，故③正确， 综上所述，①②③都正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分、请按答题卷中的要求作答） 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 11. 已知一次函数的图象经过点，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】把点（m，2）代入一次函数y=x+1，列出关于m的一元一次方程，解之即可得m的值． 【详解】解：∵一次函数y=x+1的图象经过点（m，2） ∴把点（m，2）代入一次函数，得 m+1=2 解得：m=1 故答案为：1． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函数图像上点的特征得出关于m的一元一次方程是解题的关键． 12. 五张分别写有3，4，5，6，7的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】先找出分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中奇数的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中，有三张标有奇数； 任意抽取一张，数字为奇数的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 13. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解． 【详解】解：设扇形的半径是，则 解得：． 故答案为． 【点睛】题主要考查了扇形的弧长，正确理解公式是解题的关键． 14. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，两点间的距离以及反比例函数解析式，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是利用两点间的距离公式建立方程组．利用点A、B、C的坐标得到轴轴，，，再根据旋转的性质得，，，接着确定点坐标，设，利用两点间的距离公式得到①，②，然后解方程组求出a和b得到点坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值． 【详解】解：∵，，， ∴轴，，， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上， ∴，，， 在中、， ∴， 设， ∴①， ②， 得③， 把③代入①整理得， 解得（舍去），， 当时，， ∴， 把代入得 ． ∴． 故答案为：． 15. 如图，矩形的边，点E是的中点，点F是上一动点（不与B、C重合），把沿对折，使点B与点N重合，则线段的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求得的长度，由折叠的性质可得，则点在以为圆心，以长为半径的圆上，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵点E是的中点 ∴ 由勾股定理可得： 由折叠的性质可得，， ∴点在以为圆心，以长为半径圆上 ∴点在线段上时，有最小值，最小值为 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，确定点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及同分母分式的减法运算． （1）计算零次幂，负整数次幂，化简绝对值和二次根式，再进行加减运算即可． （2）分母不变，分子利用完全平方公式进行运算，再进行分子分母约分即可． 【详解】解：（1）原式 （2） 17. （1）解不等式组： （2）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 【答案】（1）；（2）进馆人次的月平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，一元二次方程的实际应用： （1）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果； （2）设进馆人次的月平均增长率为x，根据，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：． （2）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得，（舍去） 答：进馆人次的月平均增长率为． 18. 如图，四边形是平行四边形，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，，再结合可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ，， ， 又， 【小问2详解】 ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形． 19. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列的问题： （1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h； （2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 【答案】（1），3，3； （2）1400人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用1减去各自的占比即可，最后根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解； （2）用2000乘以3小时及以上的人数的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 参与调查的学生人数一共有人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为， 故中位数为， 由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多， 故众数为， 故答案为：25，3，3； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400人． 20. 如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．如图2是某种型号飞机的机翼形状，图中，，，，请你根据图中的数据计算的长度．（参考数据：，，结果保留小数点后一位） 【答案】的长度约为1.3米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．求出，，得出的长，即可得出答案． 【详解】解：，，， ，， 过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 答：的长度约为1.3米． 21. 某商场计划购进A，B两种商品共80件，A商品每件的进价比B商品少40元，用1600元购进A商品和用2400元购进B商品的数量相同． （1）求A，B两种商品的进价分别是多少元？ （2）已知A商品的销售单价m（元/件）与A商品的进货量n（件）之间的函数关系如图所示． ①求m关于n的函数关系式． ②因原材料价格上涨，A，B两种商品的进价均提高了，为保证总利润不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高a元，且a不超过A商品原销售单价的，求a的最大值． 【答案】（1）A种商品的进价是80元/件、B种商品的进价为120元/件 （2）①②a的最大值是9 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用： （1）设A种商品的进价是x元/件，根据A商品每件的进价比B商品少40元，用1600元购进A商品和用2400元购进B商品的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）①待定系数法求出函数解析式即可；②设B种商品的销售单价为t元，求出提价后的进价，根据总利润不变，列出等式，求出和之间的关系式，再根据a不超过A商品原销售单价的，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A种商品的进价是x元/件、则B种商品的进价为元/件， 由题意可得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 答：A种商品的进价是80元/件、B种商品的进价为120元/件； 【小问2详解】 ①设m与n的函数关系式为， ， 解得， 即m与n的函数关系式为； ②设B种商品的销售单价为t元， 则A种商品的进价为（元/件）， B种商品的进价为：（元/件）， 根据提价前后总利润不变得， ， 化简，得：， 又∵a不超过A商品原销售单价的9%， ∴， ∴， 解得， ∴a的最大值是9． 22. 如图所示，以的边为直径作，点C在上，是的弦，，过点C作于点F，交于点G，过C作交的延长线于点E． （1）求证：CE是的切线； （2）求证：； （3）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据可得，从而证明，再根据可得，即可得出结论； （2）根据为直径可知，然后进一步利用进行等量代换，从而得出，据此进一步即可证明结论； （3）连接，根据圆周角定理得出，即可求得，根据圆周角定理得出，解直角三角形求得=，然后根据三角形相似和等腰三角形的性质即可求得的值，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ， 是的切线． 【小问2详解】 ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， ∴=， ∵， ∴， ∴， ∴=， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴==， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，锐角三角函数的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 23. 【问题提出】 如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为． 【初步感知】 如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点． （1）求矩形的边和的长； 【深入探究】 （2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式； 【拓展延伸】 （3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据当时，可求出；过点作于点，证明得，当时求出，进而可求出，用待定系数法求出，然后求出抛物线与轴的交点为点的坐标为，由此可知，当点与点重合时，点与点重合，由勾股定理求出，然后由由可求出； （2）过点作于点，由求出，然后根据即可求解； （3）先求出，结合可得，由面积相等得，整理得，根据根的判别式即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与轴交点的坐标为， 即当时，， 当时，点与点重合，此时线段与矩形的边围成的三角形为，如图1， ， ， ． 如图2，过点作于点， ∵，， ∴． ∵， ∴， ，当时，即， ， ． ， 设抛物线为， 抛物线顶点的坐标为， 抛物线为， 抛物线与轴的交点的坐标为， ，， ． 当时，解得：，， 抛物线与轴的交点为点的坐标为， 由此可知，当点与点重合时，点与点重合（如图3）， 在中，， 由得，即， ； （2）如图4，过点作于点， 同理可证， ∴，即， ， ． ； （3）由知，抛物线的对称轴为直线， ， 当时，则， ， 整理，得：， ， 所以存在当时，3个路程对应的面积均相等． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，求出函数解析式是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $