精品解析：天津市咸水沽第一中学2023-2024学年高二下学期第三次月考数学试题

天津市咸一中2023——2024学年度第二学期第三次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填涂在答题卡上. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共9小题，共45分) 1. 已知全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用并集和补集的定义可求得集合. 【详解】因为， ， 又因为，所以， 所以． 故选：D. 2. 已知为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，即，解得或， 所以由可以推出，故充分性成立， 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C. 有99.99%以上的把握认为“药物有效” D. 有99.99%以上的把握认为“药物无效” 【答案】A 【解析】 【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断； 【详解】因为，即， 所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”． 故选：A． 4. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数为，则越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心 C. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本相关系数，回归直线方程，相关指数和残差的概念判断即可． 【详解】对于A选项，样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确； 对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确； 对于C选项，相关指数来刻画模型的拟合效果，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故C错误； 对于D选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故D正确； 故选：C． 5. 从1，2，3，4，5五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ） A. 24个 B. 36个 C. 48个 D. 54个 【答案】B 【解析】 【分析】先选后排，计算出结果. 【详解】先从2个偶数中选出1个，再从3个奇数中选出2个，先选后排，共有（个）. 故选：B. 6. 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案. 【详解】设等差数列的公差， ∵等差数列的首项为1， 成等比数列， ∴， ∴，且，， 解得， ∴前6项的和为. 故选：A. 7. 五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可． 【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件， 依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种， 所以， 甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种， 所以， 则， 故选：B． 8. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，由在上有解得的范围．转化为求函数的最最小值． 【详解】因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是. 故选：B. 9. 已知函数若恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值. 【详解】恰有两个零点，即恰有两个实数根，由于， 所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根， 令，则， 当时，，故当此时单调递增， 当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值， 且当时，， 当时，，且单调递增， 在直角坐标系中画出的大致图象如图： 要使有两个交点，则， 故选：D 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共6小题，共30分) 10. 设随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 11. 二项式的展开式中常数项为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为： ，（且）， 令，得， 可得，即展开式的常数项是. 故答案为：. 12. 已知随机变量，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的均值与方差的关系求得,再根据方差的性质求解即可. 【详解】,所以,又因为,所以． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了二项分布的均值与方差的计算,同时也考查了方差的性质,属于基础题. 13. 已知，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得. 【详解】∵， ∴且， ∴， 当且仅当，即，时取等号， ∴的最小值为. 故答案为：. 14. 已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为__________；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，由乘法公式即可求得该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率；再利用贝叶斯公式即可求得某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率. 【详解】因为某地区烟民的肺癌发病率为，没有患肺癌的人其化验结果呈阴性， 则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为； 设事件表示某地区烟民患癌，则，， 设事件表示检验结果为阳性， 则，， 所以某烟民的检验结果为阳性的概率为： ， 所以某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率为 . 故答案：； 15. 已知函数，则_____；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】先整理得，再求得，从而即可求得的值；进而将转化为，再得到在R上为增函数，从而得到对恒成立，再分离参数，结合基本不等式即可求得实数的取值范围． 【详解】由，则，所以则， 所以可转化为， 因为在R上为增函数，所以在R上为增函数， 所以对恒成立，即对恒成立， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围． 故答案为：． 三、解答题(本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. 端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍． （1）求既有专业组又有业余组的概率； （2）设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列与数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望 【解析】 【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案； （2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望． 【小问1详解】 依题意，既有专业组又有业余组的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布列如下： 1 2 3 ． 17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极大值． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应的值． 【答案】（1） （2）或时，当时 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值，再计算区间端点的函数值，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意，即，解得， 所以，经检验符合题意. 【小问2详解】 由（1）可得，， 则， 所以当或时， 当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，，，， 所以当或时，当时. 18. 如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上点，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面距离； （3）求直线与平面夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取和 的中点和，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，，结合，即可得证； （2）由平面的法向量为，且，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由平面，得到平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，求得直线与平面夹角余弦值. 【小问1详解】 证明：取和 中点和，连接和， 在正四棱柱中，可得为正三角形，所以， 以为原点，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则 取，可得，所以， 因为，即，所以平面平面. 【小问2详解】 由平面的法向量为，且， 设直线与平面所成的角为， 可得， 又因为，所以到平面的距离为. 【小问3详解】 由为正三角形，且为的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面， 所以为平面的一个法向量，即为平面的一个法向量， 又由，可得， 设直线与平面夹角为， 可得， 则，即直线与平面夹角的余弦值为. 19. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，． （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式，再根据等差数列以及等比数列的通项公式求解； （2）利用裂项法求和即可； （3）先求出，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由已知条件得，即， 解得（舍去）或， 所以，； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 由已知得 ， ， 则表示数列的前项和， 设是数列的前项和， 则， ， ， 即， 故. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 20. 已知函数； （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当，且时，． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）根据题意，将问题转化为，然后构造函数，证明其单调性，即可得到证明. 【小问1详解】 当时，则，，所以， 所以切线方程为. 【小问2详解】 因为的定义域为， 则， 当，即时恒成立，所以在上单调递增， 当，即时，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时恒成立，所以在上单调递增， 当时，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上可得：当时在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 要证，即证， 即证， 即证， 令，，则， 所以在区间单调递增，所以当时，， 即当时，． 令，，则在时恒成立， 所以当，且时，单调递增， 因为时，，，且， 所以当，且时，，即． 所以当，且时，． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数的单调性，以及用导数证明不等式问题，解决本题的关键在于构造函数，用其单调性去证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市咸一中2023——2024学年度第二学期第三次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填涂在答题卡上. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共9小题，共45分) 1. 已知全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C D. 2. 已知为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C. 有99.99%以上的把握认为“药物有效” D. 有99.99%以上的把握认为“药物无效” 4. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数为，则越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心 C. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用残差平方和来刻画模型拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 5. 从1，2，3，4，5五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ） A. 24个 B. 36个 C. 48个 D. 54个 6. 等差数列首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 7. 五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数若恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共6小题，共30分) 10. 设随机变量服从正态分布，若，则______． 11. 二项式的展开式中常数项为______．（用数字作答） 12. 已知随机变量，且，则______. 13. 已知，则的最小值是______． 14. 已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为__________；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为__________. 15. 已知函数，则_____；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________． 三、解答题(本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. 端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍． （1）求既有专业组又有业余组的概率； （2）设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列与数学期望． 17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极大值． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应的值． 18. 如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面距离； （3）求直线与平面夹角余弦值. 19. 设是等比数列，是递增等差数列，的前项和为，． （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求 20. 已知函数； （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当，且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$