精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下学期八年级 数 学 试 卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3 分，共计30 分） 1. 下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的概念是解决此题关键． 根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A、，符合正比例函数定义，故本选项符合题意； B、，不符合正比例函数的定义，故本选项不合题意； C、，自变量次数不为1，故本选项不合题意； D、，不符合正比例函数的定义，故本选项不合题意； 故选：A． 2. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，设，则，，可得，根据勾股定理的逆定理即可得答案．熟练掌握股定理的逆定理是解题关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 3. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的增减性，根据k的值判断一次函数的增减性即可得到答案，正确理解一次函数的增减性与k的值的关系是解题的关键. 【详解】解：A. ∵，∴y随x的增大而增大，不符合题意； B. ∵，∴y随x的增大而减小，符合题意； C. ∵，∴y随x的增大而增大，不符合题意； D.∵，∴y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：B. 4. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，则剪口与折痕形成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：剪口与折痕所成锐角α为就可以得到一个正方形． 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形， ∴是个菱形， ∵菱形里只要有一个角是就是正方形． ∴展开四边形后的角为：，即． 故选：B． 5. 如图所示，数轴上点 A 表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确计算的长度是解题的关键． 如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】 解：如图，， ， 点A在原点右边， 点 A 表示的数为． 故选C． 6. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识．赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故选：D． 7. 如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，结合已知条件，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项，，，一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项，，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； C选项，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不符合题意； D选项，，，，，，四边形是平行四边形，故不符合题意． 8. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，判断命题的真假，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，正确写出每个命题的逆命题是解题的关键． 正确写出每个命题的逆命题，然后逐项分析即可． 【详解】A选项的逆命题：如果两角相等，那么它们是直角，不正确； B选项的逆命题：如果两个数的平方相等，那么它们的所对应的实数相等，不正确； C选项的逆命题：对应角相等的三角形全等，不正确； D选项的逆命题：两直线平行，同旁内角互补，正确． 故选D． 9. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 10. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的以下4个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项①正确； ∴，故选项②正确； ，故选项③正确； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则，故选项④正确； 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择（共90分） 二、填空题（每小题3 分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 12. 已知关于的方程的一个根是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入，解得的值，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，难度较小． 13. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键． 14. 直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是 ___． 【答案】x≥2 【解析】 【分析】不等式kx+b≤0的解集，即为一次函数图像的函数值小于0的自变量的取值范围，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知：不等式kx+b≤0的解集，即为一次函数图像的函数值小于等于0的自变量的取值范围， 由函数图像可知当x≥2时，y≤0， ∴不等式的解集为x≥2， 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查了用图像法解一元一次不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15. 如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， 在中，， 同理，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 16. 漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对函数思想的创造性应用．研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小睿同学记录的部分数据，当时间t为时，对应的高度h为_______ ． 1 2 3 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．设关于的一次函数解析式为，将，代入求得其解析式，再代入即可． 【详解】解：由题意，设关于的一次函数解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， 则解析式为， 当时，代入得：， 故答案为：． 17. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.44%，则平均每次降息的百分率为_______%． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查医院二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设平均每次降息的百分率为，列出方程，即可． 【详解】解：设平均每次降息的百分率为， ∴， 解得：，（舍）， ∴平均每次降息的百分率为． 故答案为：． 18. 如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P， 在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点 B，若的面积为9，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，先分别用k表示出点A，B的坐标，再利用面积得到，即可求出k，正确理解图象与坐标轴交点的求法是解题的关键． 【详解】解：令，得，得，则图象与x轴交点为， 令，得， ∴图象与y轴交点为， ∴， ∵的面积为9， ∴，即， ∴ 故答案为：． 20. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论： ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是 其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值便可． 【详解】如图1， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形，故②正确； 若，则 ，这个不一定成立， 故①错误； 点与点重合时，如图2， 设则 在 即 解得 , , ， , 故③正确； 当过点时，如图3， 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ， 故④错误． 故答案为②③． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键． 三、解答题（其中21题6分，22-24 题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解． 【详解】解：， ， ， 方程有两个不等的实数根， 即． 22. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A，B均在格点上． （1）在图1中画出以为边且周长为无理数的，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）． （2）在图2中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上． 【答案】（1）如图四边形即为所作，答案不唯一． （2）如图，四边形即为所求作的正方形． 【解析】 【分析】（1）根据题意，只要使得AB的邻边AD的长是无理数即可； （2）如图，取格点E、F，连接EF，则EF与AB互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边形为所作． 【详解】略 【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键． 23. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）填空：四边形的面积为 ，四边形的周长为 ； （2）是直角吗？并说明理由， 【答案】（1）15.5； （2） 是直角，理由：连接， 由（1）得：，， ， ， 是直角． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用割补法即可求出四边形的面积，再利用勾股定理分别求出的长，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【小问1详解】 四边形的面积； 由题意得： ，，， 四边形的周长； 【小问2详解】 略 24. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当这种树的胸径为时，其树高是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）的结论解答即可． 【小问1详解】 解：设， 根据题意，得， 解之，得， ∴； 【小问2详解】 当时，． ∴当这种树的胸径为时，其树高为． 【点睛】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 25. 第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中．某商场经销一种成本为每套元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于元．据市场分析，若按每套元销售，一个月能售出套；销售单价每涨元，月销售量就减少套，针对这种商品的销售情况，解答下列问题： （1）当销售单价定为元时，该商品的月销售量为 套，月销售利润为 元； （2）若该商场想在月销售成本不超过的情况下，使每月销售利润达到元，则该商品的销售单价应定为每套多少元？ 【答案】（1）； （2）该商品的销售单价应定为每套元可使月销售利润达到元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的运用，根据题意，列出方差，即可． （1）设销售单价涨元，则月销售量就减少套，设月销售利润为，列出方程，当，解出方程，即可； （2）由（1）得，方程，解出方程，即可． 【小问1详解】 解：设销售单价涨元，则月销售量就减少套，设利润为， ∴， ∵当销售单价定为元，即， ∴月销售量就减少套， ∴该商品的月销售量为：（套）， ∴利润（元）． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：设销售单价涨元，则月销售量就减少套，设利润为， ∵， ∵每月销售利润达到元， ∴， 解得：，； ∴当，则销售单价为元， ∴成本为：，故不符合题意， ∴当，则销售单价为元， ∴成本为：，符合题意； 答：该商品的销售单价应定为元． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点 (端点除外)，连接． 点在线段的延长线上，连接，且．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 探究与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】 （2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）的大小不发生变化，， 作，，垂足分别为点， ∵四边形是正方形，，是对角线 ∴， ∴ ∴四边形是正方形； ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； ， 理由，如下： 设，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）， 理由：如下： 作，，垂足分别为点，，令，， ∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形，菱形，三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，即可． （1）作，，垂足分别为点，，根据正方形的判定和性质，则四边形是正方形，根据全等三角形的判定和性质，则， 得到，根据等量代换，即可；设，，根据正方形的性质，勾股定理的运用，求出，根据线段之间的数量关系，得到；再根据正方形的性质，勾股定理求出，根据全等三角形的性质，则，再根据线段间的数量关系，即可； （2）作，，垂足分别为点，，令，，根据菱形的性质，全等三角形的判定和性质，则，得到，再根据等边三角形的判定，则是等边三角形，根据全等三角形的判定和性质，则，，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，最后根据线段间的数量关系，即可． 【详解】解∶（1）①略；②略 （2）略 27. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线分别交 x轴、y 轴于点 B、点 C，直线交x轴的正半轴于点 A，且． （1）求直线的解析式； （2）点 D 是线段上一个动点（点D不与点A，C 重合），连接，设点 D 的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点A作，交直线于点E，交y轴于点F，以为底边作等腰，其中点 G在第四象限内，且 点 H是x轴上的一点，连接．当时，求的最大值，并求出此时点 H的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，，进而求出，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，过点D作轴于K，则，根据进行求解即可； （3）过点 D作轴于R，过点G作于P，过点G作直线轴交 y轴于T， 过点 A 作于 N， 过点 E作于M， 交x轴于 L．则四边形是平行四边形，， 可得，证明， 得到，可得，同理可得直线的解析式为，则可求出；证明四边形为矩形得到，由勾股定理得到，由等面积法得到，则， ；证明，得到，令，则，则，解得，， ，证明四边形 OLMT 为矩形， 得到， 则，再证明的最大值为 此时点 H是直线与x轴的交点，同理可得直线 的解析式为 当时，，可得． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 当时，，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 解得， ∴直线 的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点D 是线段上一个动点， 且横坐标为t ， ∴， 如图所示，过点D作轴于K，则， ∵， ∴， ； 【小问3详解】 解：过点 D作轴于R，过点G作于P，过点G作直线轴交 y轴于T， 过点 A 作于 N， 过点 E作于M， 交x轴于 L． ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得 ∴； ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， ∵， ， ∴ 又∵， ， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 令，则， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴四边形 OLMT 为矩形， ∴， ∴， 当点 G， E， H在同一条直线时， ， 当点 G， E， H不在同一条直线时， 在中， 综上所述： 的最大值为 此时点 H是直线与x轴的交点 同理可得直线 的解析式为 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造矩形，直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期八年级 数 学 试 卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3 分，共计30 分） 1. 下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，则剪口与折痕形成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，数轴上点 A 表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 9. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 10. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的以下4个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择（共90分） 二、填空题（每小题3 分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 12. 已知关于的方程的一个根是，则______． 13. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________． 14. 直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是 ___． 15. 如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________． 16. 漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对函数思想的创造性应用．研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小睿同学记录的部分数据，当时间t为时，对应的高度h为_______ ． 1 2 3 17. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.44%，则平均每次降息的百分率为_______%． 18. 如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则___________． 19. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点 B，若的面积为9，则k的值为_______． 20. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论： ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是 其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）． 三、解答题（其中21题6分，22-24 题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 解方程：． 22. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A，B均在格点上． （1）在图1中画出以为边且周长为无理数的，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）． （2）在图2中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上． 23. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）填空：四边形的面积为 ，四边形的周长为 ； （2）是直角吗？并说明理由， 24. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当这种树的胸径为时，其树高是多少？ 25. 第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中．某商场经销一种成本为每套元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于元．据市场分析，若按每套元销售，一个月能售出套；销售单价每涨元，月销售量就减少套，针对这种商品的销售情况，解答下列问题： （1）当销售单价定为元时，该商品的月销售量为 套，月销售利润为 元； （2）若该商场想在月销售成本不超过的情况下，使每月销售利润达到元，则该商品的销售单价应定为每套多少元？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点 (端点除外)，连接． 点在线段的延长线上，连接，且．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 探究与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】 （2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线分别交 x轴、y 轴于点 B、点 C，直线交x轴的正半轴于点 A，且． （1）求直线的解析式； （2）点 D 是线段上一个动点（点D不与点A，C 重合），连接，设点 D 的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点A作，交直线于点E，交y轴于点F，以为底边作等腰，其中点 G在第四象限内，且 点 H是x轴上的一点，连接．当时，求的最大值，并求出此时点 H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $