精品解析：湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

武汉市常青联合体2023—2024学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题学校：武汉市关山中学 命题教师：田艳 审题教师：陈长西 考试时间：2024年6月28日15：00-17：00 试卷满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，，则复数的模为（ ） A B. C. 5 D. 3 2. 已知平面向量的夹角为，，，则＝（ ） A. 2 B. C. D. 3. 在一次数学测试中，高二某班名学生成绩的平均分为，方差为，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ） A. B. C. D. 4. ，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4 7. 已知为三角形内一点，且满足和，则角为（ ） A B. C. D. 8. 在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分. 9. 已知i为虚数单位，以下说法正确的是（ ） A. 复数在复平面对应的点在第一象限 B. 若复数，满足，则 C. 为纯虚数，则实数 D. 复数z满足，则 10. 在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则满足条件的三角形有2个 D. 若不是直角三角形，则 11. 已知正方体棱长为分别为的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的长为 B. 三棱锥的体积为 C. 过三点的平面截正方体所得的截面面积为 D. 设为球上任意一点，则的范围为 三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 某歌手在一次比赛中评委给分为（十分制）则该歌手得分的第七十五百分位数是__________. 13. 如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是__________. 14. 已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与垂直，求值； （2）若与共线，求值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 17. 已知在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 随着社会的进步､科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存､分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A､B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表： 住户编号 1 2 3 4 5 6 A小区（分钟） 220 185 220 225 205 235 B小区（分钟） 205 195 245 235 225 215 （1）分别计算小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；以及两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差； （2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案： ①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ （3）市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？ 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D． （1）求证：平面； （2）若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉市常青联合体2023—2024学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题学校：武汉市关山中学 命题教师：田艳 审题教师：陈长西 考试时间：2024年6月28日15：00-17：00 试卷满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，，则复数的模为（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设，由结合复数相等计算出，由模长公式可得答案. 【详解】设，由得，故，即，. 故选：A. 2. 已知平面向量的夹角为，，，则＝（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算即可得． 【详解】由题意， ， 故选：D. 【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是把模转化为向量的数量积的运算． 3. 在一次数学测试中，高二某班名学生成绩的平均分为，方差为，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可检验与平均数差最大的数，计算，看是否满足题意，即可求得答案. 【详解】方差， 若存在，则 导致方差必然大于，不符合题意. 不可能是该班数学成绩 故选：D. 【点睛】本题考查平均数、方差相关运算，解题关键是掌握方差的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 4. ，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】①，若，，则，①正确. ②，若，，则m，n有可能平行或异面；②不正确. ③，若，，由线面垂直的判定定理可得，，③正确. ④，若，，，因为m不一定在平面内，所以m不一定垂直，④不正确， 故选：B. 5. 已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在正方体中，连接，交于，连接，交于，过作于，由已知可证平面，即为到平面的距离，求解即可. 【详解】在正方体中，连接，交于， 连接，交于，过作于， 因为分别为和的中点，所以， 又在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，从而可得， 所以，又因平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离， 由正方形可得， 又由正方体，可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，，所以平面， 所以为点到平面的距离， 在中，可得， 所以， 又易求得， 所以. 故选：C. 6. 已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解可得角；根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理，得， 由，得， 所以，即. 因为，所以，又， 所以，因为，所以. 由， 得， 所以，在中，由余弦定理得， 所以， 从而，当且仅当取等号. 则， 当且仅当取等号，则长的最大值为3. 故选：A. 7. 已知为三角形内一点，且满足和，则角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到为的垂心，，，利用、得，，解得， 即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，同理可得，，故为的垂心， 又，所以，即， 所以，同理. 由为的垂心，得，即， 可知，即．同理有， 即，可知， 即，相乘得，所以（负根舍去）， 又，所以. 故选：B 8. 在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明，，，将三棱锥补成以为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出外接球的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，取CD的中点Q，连接AQ、BQ，则， 由，得， 因为三棱锥为正三棱锥，所以， 而Q是CD的中点，所以， 又平面，所以平面， 由平面，得，又， 平面，所以平面， 由平面，所以，， 根据正三棱锥的特点可得， 故可将三棱锥补成以为棱的正方体，如图， 所以正方体的外接球即为三棱锥的外接球. 由 得，可得正方体的棱长为，所以， 即，所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分. 9. 已知i为虚数单位，以下说法正确的是（ ） A. 复数在复平面对应的点在第一象限 B. 若复数，满足，则 C. 纯虚数，则实数 D. 复数z满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的乘法可得，根据几何意义即可求解A，举反例即可求解B，根据纯虚数的定义即可求解C，根据共轭复数的定义求解D. 【详解】对于A，复数在复平面对应的点为在虚轴上，故A错误， 对于B，若，满足，但不相等，故B错误， 对于C，为纯虚数，可得，可得，故C正确， 对于D，由得，所以，故，D正确， 故选：CD. 10. 在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则满足条件的三角形有2个 D. 若不是直角三角形，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理整理等式，结合正弦函数以及三角形的内角性质，可得答案；对于B，由为锐角三角形，则，即，结合正弦函数的单调性和诱导公式可判断；对于C，利用余弦定理，建立方程，根据一元二次方程的求解，可得答案；对于D，根据正切函数的和角公式，整理等式，结合直角三角形的性质，可得答案； 【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得， 即， 因为，，所以，， 所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，由为锐角三角形，则，即， 所以，故B正确； 对于C，由余弦定理得， 即， 即，解得， 由，所以，则满足条件的三角形有且只有一个，故C错误； 对于D，因为不是直角三角形，且， 所以， 即， 所以，故D正确. 故选：BD 11. 已知正方体的棱长为分别为的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的长为 B. 三棱锥的体积为 C. 过三点的平面截正方体所得的截面面积为 D. 设为球上任意一点，则的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取，，，的中点，，，，则过、、三点得截面为正六边形，球心为其中心，利用正六边形的性质可判断A，C选项，由等体积法可得，可判断B选项，利用，可判断D. 【详解】对于A，取，，，的中点，，，，则过、、三点得截面为正六边形，球心为其中心， 在正六边形中，，点到的距离为，，所以，故A正确； 对于B，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 所以，，，，， 所以，，， 则，， 所以，，因为，平面， 所以平面，， 由等体积法可得，故B正确； 对于C，过、、三点得截面为正六边形，边长，其面积为，故C错误； 对于D，， 因为，， 所以四边形为菱形，则，， 所以 当与共线同向时，即，， 当与共线反向时，即，， 所以的范围为，故D正确； 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 某歌手在一次比赛中评委给分为（十分制）则该歌手得分的第七十五百分位数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用百分位数的定义求解即可. 【详解】歌手在比赛中给分从小到大排列为（十分制）共个数据， ，所以该歌手得分的第七十五百分位数是. 故答案为： 13. 如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】过作，交于，作，交的延长线于，则，由，可得则点为中点，点在上，结合图象可求的范围. 【详解】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 14. 已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据与共线，得到，即，求得角，再根据，利用正弦定理求得2R，然后将转化为边，再结合余弦定理求得即可. 【详解】因为与共线， 所以，即，所以， 因为，所以，则，解得， 因为，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 又因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，即，即， 所以，解得， 所以三角形的周长为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是由和求得外接圆半径，将转化为边结合余弦定理而得解    。 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与垂直，求的值； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量线性运算的坐标表示得出与的坐标；再根据平面向量垂直的坐标运算即可求解. （2）先根据平面向量共线的坐标表示得出，进而得出的坐标；再根据平面向量模的坐标运算即可解答. 【小问1详解】 ，， ； . 又与垂直， ，解得：. 【小问2详解】 由（1）知：；. 与共线， ，解得：. . 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，通过证明，可得平面； （2）通过证明平面，可知为直线与平面所成的角，从而得解. 【小问1详解】 如图，取中点，连接， 由于分别为的中点，故，且， 又，可得，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面底面， 又平面， 平面，又平面. 由为的中点，所以， 又平面平面， 直线在平面内的射影为直线， 故为直线与平面所成的角， 由底面底面可得，， 为等腰直角三角形，且平分， ，所以直线与平面所成的角为. 17. 已知在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式和正弦定理再结合同角三角函数基本关系计算可得； （2）由正弦定理和同角三角函数关系得到，再由锐角三角形可得，从而得到，最后由三角形的面积公式求出结果即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 由正弦定理，得， 易知，所以，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由题设及（1）可知，的面积， . 为锐角三角形， ，解得， ， 又， 18. 随着社会的进步､科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存､分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A､B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表： 住户编号 1 2 3 4 5 6 A小区（分钟） 220 185 220 225 205 235 B小区（分钟） 205 195 245 235 225 215 （1）分别计算小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；以及两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差； （2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案： ①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ （3）市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？ 【答案】（1）A的平均值为215分钟，B的平均值为220分钟，A、B的方差分别为，且 （2）①15元；②52元 （3）选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升 【解析】 【分析】（1）利用表格中数值，代入平均值和方差计算即可； （2）①计算小区一月至少需要名工作人员的费用和每位住户每月需要承担的费用即可；②由一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，计算出小区一月需要专职工作人员数量即可； （3）根据以上的运算，分析可以得出结论. 【小问1详解】 （分钟）， （分钟）， 总体的平均数， 总体的方差 【小问2详解】 ①按照小区方案，小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元， 每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元）； ②由（1）知，小区平均每位住户每周需要220分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟）， 小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类， 一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准， 一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于5名普通居民对生活垃圾分类的效果， 小区一月需要专职工作人员至少（名）， 则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元）， 【小问3详解】 根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说， 选择方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项； 如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户， 综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D． （1）求证：平面； （2）若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过几何图形的性质证明即可； （2）构造线面平行，求得F到平面的距离结合三棱锥的体积公式计算即可； （3）根据二面角的定义结合（1）作出其平面角，解三角形即可. 【小问1详解】 如图所示，连接，由题意可知面ABC，四边形是菱形. ∵面ABC， ∴， 又∵D是AC中点，是正三角形， ∴， 显然面， ∴面， ∵面， ∴， 在菱形中，有， 而D，E分别是线段的中点，则，∴, ∵面， ∴面; 【小问2详解】 如图所示，取的中点S，连接，过F作交于I， 过I作分别交的延长线于H、N， 易知分别是的中点， 则由条件可得，面，面，故面， 即到面的距离等于到面的距离， 由（1）得，面，所以面，是直角三角形， 在菱形中，易得， 所以，即到面的距离为， ，所以； 【小问3详解】 如图所示，假设存在G点满足题意，取的中点S，连接， 过G作交于M，连接MD， 易得，面，面，故面， 又结合（1）的结论有，故二面角为， 所以， 在菱形中，作，易得， 易知为直角三角形，故. 【点睛】本题关键在于求F到面BDE的距离，通过构造线面平行来转化是求点面距离的常用方法；另一个关键在于求二面角的平面角，结合（1）的结论找出垂直关系解三角形即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$