九年级下册 第二章 二次函数-【宝典训练】2023-2024学年九年级上下册数学期末复习专练(北师大版)

数学·期末复习 …●● 第二章 二次函数 考点1二次函数的定义及辨别 8.已知一个二次函数y=(k一1).x-t+十2x一1. 1.下列函数中属于二次函数的是 (1)求k的值： A.y=3.x-1 B.y=3.x2-1 (2)求当x=3时，y的值？ C.y=2 D.y=x3+2x-3 2.观察：①y=6x:②y=-3.+5:③y=200x+ 400x,④y=2-2x:⑤y=r-1+3:⑥y=(x+ r 1)产一x.这六个式子中二次函数有 ( A.2个 B.3个C.4个 D.5个 3.已知二次函数y=1-5x十3.x,则二次项系数a ·一次项系数b= ,常数项( 4.已知y=(m-2)xm+2.x-1是y关于x的二次 函数，那么m的值为 5.关于x的函数y=(m十1)x-"是二次函数，则m 的值为· 6.已知y=(m一4)x"一-是二次函数，则m的值 为 7.已知函数y=(a十1).x+1+(a-2).x(a为常数)， 根据下列条件求a的值： (1)函数为二次函数： (2)函数为一次函数. 考点2二次函数的图象和性质 9.已知二次函数y=一x一2.x+1,则下列说法正 确的是 () A.函数图象经过点（一2，一7） B.当x=1时，函数有最大值，最大值是2 C,当x<1时，y随x的增大而减小 D.对称轴是直线x=一1 23 数学·期末复习 ●● 10.下列关于二次函数y=3(x十1)(2一x)的图象 16.已知二次函数y=一 5 r-3x-号 和性质的叙述中，正确的是 (1)写出二次函数图象的开口方向、对称轴及顶 A.点(0,2)在函数图象上 点坐标： B开口方向向上 (2)画出函数的图象： C.对称轴是直线x=1 (3)根据图象说出当x取何值时，y随x的增大 D.与直线y=3x有两个交点 而增大？当x取何值时，y随x的增大而减 11.二次函数y=a.x十hx十c的y与x的部分对应 值如下表，则下列判断中正确的是 小？函数y有最大值还是最小值？最值是 ( 多少？ …0 134… 2 4 2 一2… A.抛物线开口向上 B.当x>1时，y随x的增大而减小 C当0<r<2时，2<< Dy的最大值为号 12.关于抛物线y=x一(a+1)x+a一2，下列说法 错误的是 A.当a=一1时，对称轴是y轴 B.当a=2时，经过坐标原点O C.不论a为何值，都过定点(1，一2) D.a>0时，对称轴在y轴的左侧 13.地物线y=3.x2一6.x+5的顶点坐标 为 14.若抛物线y=x一2x十m与x轴的一个交点是 (一2,0)，则另一交点坐标是 1.对于已知二次函数y=一名十x+4,当女 时，函数值y随x的增大而减小：当x 时，函数值y随x的增大而增大且此函 数的最大值为 24 数学·期未复习 ●●● 17.已知二次函数y=x一4x十3的图象为抛物 考点3待定系数法求二次函数的表达式 线C 18.已知抛物线y=a.xr2一2a.x-8(a≠0)经过 (1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点 点(-2,0) 坐标： (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标： (2)当一2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y (2)直线1交抛物线于点A(一4，m),B(n,7),n 的取值范围： 为正数.若点P在抛物线上且在直线1下方 (3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，得到 (不与点A,B重合)，分别求出点P横坐标 抛物线C:再将抛物线C向上平移2个单 与纵坐标的取值范围。 位长度，得到抛物线C.请直接写出抛物线 C,C,对应的函数表达式. 25 数学·期末复习 ●●-● 19.(2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学九年级 23.将二次函数y=x一3的图象向右平移3个单 阶段练习)已知某二次函数的图象经过点(2， 位长度，再向上平移5个单位后，所得抛物线的 一6)，当x=1时，函数的最大值为一4，求此二 表达式为 次函数的表达式 考点5利用二次函数解决实际问题 24.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件， 每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店 采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前 提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出2件. (1)若降价3元，则平均每天销售数量为 件： (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售 利润最大？ 考点4二次函数的平移 20.把抛物线y=5向上平移3个单位长度，再向 左平移2个单位长度，得到的抛物线是( A.y=5(x+2)2+3B.y=5(.x+2)-3 C.y=5(x-2)2+3D.y=5(x+-2)-3 2L.将抛物线y=一2(x一1)2一3向右平移3个单 位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物 线是 A.y=-2(x-4)-1 B.y=-2(x+2)-1 C.y=-2(x-4)-5 D.y=-2(x十2)-5 22.将二次函数y=(x+1)一2的图象向右平移2 个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的 二次函数表达式为 A.y=(x-1)-5B.y=(x-1)+1 C.y=(x+3)+1D.y=(x十3)-5 26 数学·期未复习 -0●● 25.如图，利用一面墙（墙长10米）与长20米的篱 考点6二次函数中面积、周长、线段最值问题 笆围成一个矩形场地.设垂直于墙的一边为x 26.如图，抛物线y=ax十br十c(a≠0)的对称轴为 米，矩形场地的面积为S平方米， 直线x=一1，与x轴相交于A、B两点，与y轴 墙 相交于C,OA=OC,点A的坐标为（一3,0）. (1)求抛物线的表达式： (2)若点P在抛物线上，且Sm =4S。r,求点P的坐标： (1)求S与x的函数关系式，并求出x的取值 (3)设点Q是线段AC上的动 范围： 点，作QD⊥x轴交抛物线于 (2)若矩形场地的面积最大，应该如何设计长 点D,求线段QD长度的最大值. 与宽 27 数学·期末复习 ●●● 考点7新定义型二次函数问题 (3)已知抛物线y=a.x2十2bx十3c(a≠0，a.b,c 27.在平面直角坐标系中，若对于任意两点A(, 为常数).顶点为D,与x轴交于A、B两点， y)、B(y).都有x1十=y十，则称A、B 与直线y=b.x十2c交于P,Q两点.若满足① 两点互为“友好点”.已知点A(1,4) 抛物线过点(0，一3)：②△DAB为等边三角 (1)若B(2,1)、C(0,-3)、D(2,-2),则点A的 形：③P、Q两点互为“友好点”.求(b一a “友好点”是 199c)的值. (2)若A(1,4),P(m,m)都在双曲线y=上，且 A,P两点互为“友好点”，请求出点P的 坐标： 28参考答未 考点5求特殊角的三角函数值 在R1△DGF市，“sin∠DFG-架 1解，0原式=2x()+×1+1--是 .DG=DF·sin∠DFG=30·si60=15w3(米). (2)原式=2+1-2+2×号=2+1-2+1=2， .DC=DG+GC=(153+1.5)米， 答：树的高是(15√3+1.5)米. 20.解：原式=8+2一5+3-1=9. 27.解：(1)过点M作MD⊥AC,交AC的延长线于点D,设DM= 21.解：原式=1+号-5×号+11-3 --+2=2 2.解：原式=1+x一2+X号-1=元 28,解：原式-9+1+2×+2-厅-2月 D =9+1+5+2--23 在Rt△CDM中， =12-25. CD=DM·tn∠CMD=r·tan22 又，在Rt△ADM中，∠MAC=45,.AD=DM=x. 考点6构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 24.解：(1)：∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=32cm :AD=AC+CD=100+x·tan22°， .100+x·tan22°=x B cos606(cm). 100 100 (2)如答图，作DG⊥EF于点G,过点C作PQ∥EF,交DG于 六r=1-tan22-1-0.40 =167.785≈167.79（米）. 点Q,交AB于点P, 即轮船M到海岸线1的距离约为167.79米 'DG⊥EF,AF⊥EF,PQ∥EF Ga-- O (2)作∠DMF=30°，交1于点F. ∴.DG⊥PQ,AF⊥PQ,DG∥AF M .四边形FPQG是矩形， FG=PQ,∠QDC=∠ABC=60 CQ-CDinx(cm). F B P 答图 PC-BC.sin60=16x8(cm). 2 ∠BDE=75,∠BIDQ=60°， 在R1△DMF中，DF=DM·an∠FMD=DM.tan3O°= 3 .∠EDG=75-60=15", .EG=DE·sinl5≈70×0.26=18.2(cm). DM=1.732×167.79≈96.87（米）. 3 .EF-EG+FG-EG+PQ-EG+CQ+PC-423+83+ .AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66 18.2≈105(cm). <300. 故E到地而的距离EF为105cm 该轮船能行至码头靠岸。 25,解：如答图，过点B作BE∥CD,BG⊥CD,交CD于点G,过点 A作AF⊥BE,交BE于点F, 第二章二次函数 ,BE∥CD,∴.∠BCD=∠CBE=70°， 考点1二次函数的定义及辨别 ∴.∠ABE=∠ABC-∠CBE=130 1.B2.B3.3-514.-25.26.-1 70°=60. .解，1)当口12时.函数为二次函数. 在R△AFB中，sim∠ABE AF 1a+1≠0 AB 解得：4=士1,4≠一1.∴d=1. AF-AB·im∠ABE=200XB =100 故当函数为二次函数时，a=1. √3≈173(mm, (2)当/a+1=1 a+1+a一2≠0时，函数为一次函数. 在R△G中.n∠G-器， 解得：a=0: 当4+1=0，即a=一1时，函数为一次函数. ,.BG=BC·sim∠BG=80×m70≈75.2(mm), 综上所述，当函数为一次函数时，：=0或一1. ∴.AF+BG=173+75.2≈248(mm), 1k一3k十4=2， 答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm 8.解：1)依题意有大-1≠0， 考点7利用三角函数解决实际问题 解得=2，.的值为2. 26.解：由题意可知：EF=30.GC=1.5,∠E=30°，∠DFG=60, (2)把k=2代入函数表达式，得 ∠DGF=90°， y=r十2r一1，当x=3时，y=14, .∠EDF=∠E=30°，.DF=EF=30(米). .当x=3时，y的值为14. 71 高欢爆堂宝典川练数学九年城全册（北师大版） 考点2二次函数的图像和性质 考点4↓二次函数的平移 9.D10.D11.C12.D13.(1.2)14.(4.0) 20.A21.C22.A23.y=(x-3)7+2 15.>1<1 考点5利用二次函数解决实际问题 2 24.解：(1)由题意得，平均每天销售数量为20十2×3=26（件） 5 1 16.解：1)”y=一立r-3-2=-2r+3)+2, 故答案为26. (2)设每件商品降价了元，每天销售利润为元，由题意，得 抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x=一3，顶点坐标为 =(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800= (-3.2). -2(r-15)°+1250. (2)在y= 每件盈利不少于25元，.40一x≥25，解得x≤15. 令y=0可得0=-之-3一受解得x=-1或-5. :一2<0，对称轴为直线r=15,∴.当x=15时，w有最大值. 答：当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大. 5 令=0可得y=一号，结合(1)中的顶点坐标及对称轴，可画 25.解：(1)AD=BC=r..AB=20-2.r 20-2r≤10， 出其图象如答图所示： 又墙长1D米， 12r20. - 5≤x10, ,∴.5=c(20-2x）=-2x2+20x(5r10). (2)由(1)可知：S=-2x+20.r=-2.r-5)+50. ,当x=5时，矩形的场地面积最大，最大值为50， 答：当矩形场地长为10米，宽为5米时，矩形的面积最大 26.解：(1)令x■0，则y=c,∴0C=-c 答图 OA=0C..3=-,即=-3. ,对称轴是直线r=一1，点A的坐标为（一3,0）. (3),抛物线开口向下，对称轴为直线？=一3，顶点坐标为（一 3.2). 根据题意，得 上名=一1·解得a三1. .当x<一3时，y随r的增大而增大，当>一3时，y随r增 9a-3b-3=0, 1b=2. 大面减小，当x=一3时，y有最大值，最大值为2. .抛物线的表达式为y=+2r一3， 17,解：(1)：a=1>0,.抛物线C的开口向上 (2)当r=0时，y=-3.点C(0,-3).即0C=3. ”y=x7-4x十3=(x-2)一1， A,B关于对称轴对称，B(1,0).即OB=1, .抛物线C的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，一1). (2):当一2≤x≤2时，y随r的增大而减小：当2≤≤3时+y Sm=0B0- 随x的增大而增大 当x=-2时，y=15:当x=3时，y=0,x=2时，y=一1 设P2+2-3Sm=号×3X ,函数值y的取值范图是一1≤y15, (3):抛物线向左平移1个单位长度为y=(x-2+1)一1= :5am=45r心2=4X2 一2x,.抛物线C,对应的函数表达式为y=x一2r ∴x=±4..点P的坐标为(4,21)或(-4.5). 再向上平移两个单位长度为y=一2x十2， (3)点A(一3,0)，点C(0,-3). 抛物线C对应的函数表达式为y=了一2r+2. .直线AC的表达式为y=-x-3. 考点3待定系敬法求二次函数的表达式 ,,设点Qm,一m一3)（一3≤m≤0）. 18.解：(1)把（一2,0）代人y=u一24r-8, 则点D(m,2+2m一3)， 可得0=4d十4a一8，解得u=1, QD=-m-8-(m+2m-3)-=-(m+2）广+ 地物线的函数表达式为y=2一2一8， y=-2r-8=(x-1)-9, ∴当m=一多时，线段QD长度的最大值为？. ,抛物线顶点坐标为(1，一9)， 考点T新定义型二次函数问题 (2)把x=-4代人y=2-2一8.得 27.解：(1)1十2≠1十4，点B不是点A的“友好点”： y=(-4)-2×(-4)-8=16,.m=16. :1+0=4十（一3），点C是点A的“友好点”， 把y=7代入函数表达式，得7=一2一8， :1十2≠4十（一2），点D不是点A的“友好点” 解得r=5或x=一3..n=5或n=一3. 故答案为C(0,一3). n为正数，n=5.,点A坐标为（一4,16），点B坐标为(5,7) :抛物线开口向上，顶点坐标为(1，一9)， (2:A1在双曲线y=去上=.∴P(m,) .地物线顶点在AB下方，.一4<x<5,一9≤yr<16. 19.解：：当x一1时，函数的最大值为一4， “A,P两点互为“友好点“，∴1十m=4+1 .抛物线的顶点坐标为(1，一4). 解得m=一1或m=4..P(一1，一4)或(4,1) 设所求二次函数表达式为y-a(x一1)户一4， (3):抛物线y=u+2hr+3c过点(0，-3)， 把(2，一6)代入，得a(2-1)一4=-6，解得a=-2 ∴.3c=-3,∴.c=-1. ∴此二次函数表达式为y=一2(x一1)-4=一2r+4.r-6. ,抛物线y=十2h十3与x轴交于A、B两点， 72 参考答来 ∴AB=V2-4XaX3 ,半径的长为35m. 考点4同弧或等弧所对的 ,抛物线y=ar+2hr+3c的顶点为D, 12.C13.C14.B15.C16.3617.30 D(-台，12u2) 考点5直径所对的圆周角是直角 4a 18,A19.3 则△DAB中AB边上的高为 12a-(2b)9 4a 考点690的圆周角所对的弦是直径 :△DAB为等边三角形， 20.A21.V34-3 ·12uc-(2b|=5×￥2b-4Xax3c 考点7圆内接四边形对角互补 2 22.C23.D .(2b)2-124e=12.c=-1,∴.8+3a=3. 考点8直线与圆的位置关系 :抛物线y=ax+2hr+3c与直线y=hr+2e交于P,Q两点， 24.B25.相离 y=r+26r-3:ar+ba-1=0. 考点9切线的性质和判定的综合应用 y=h.r-2, 26.(1)证明：如答图1，连接0C. 设P(n,bn-2),Q(,b-2), ∠ABC=45.∴.∠AOC=90 则，是方程u2+一1=0的两个根， :AD∥EC.∴.∠AOC+∠OCE=180. 总 ∠OCE=90..OC⊥CE. OC为半径，CE是⊙O的切线. P.Q两点互为“友好点”，+x-h出一2十br一2， (2)解：如答图2，过点A作AF⊥BC于点F, 答图1 -么=6×(-么)-48=b-4a :AD是⊙O的直径， .∠ABD=90, .b-4u+3a=3..b-a=3..b-a-199e=3+199=202. :AD=4,∠D=60', 第三章圆 .∠BAD=30', 考点1点与圆的位置关系 .BD-AD-2. 1.D2.D3.点A在⊙O外4，点P在⊙0内 .AB=3BD=23. 5,解：(1)PA=√5.⊙0的直径为2， :∠ABC=45, 答图2 点P的位置只有一种情况在圆外， △ABF是等腰直角三角形， 即点P与⊙O的位置关系是点在圆外 aAF-BF-号AB-号×2，-G (2):PA=√3，⊙O的直径为2， ∴点P的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内. :△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2, 即点P可能在⊙O外，也可能在⊙O内，还可能在⊙O上. ∴AC=2②. 考点2利用垂径定理求值 .CF=VAC-AF-√/(22)-(6)=2. 6.C7.(1)C(2)3 ,BC=BF+CF=6+√2. 考点3垂径定理的实际应用 答：线段AB的长为23，线段BC的长为石+瓦. 8.D9.4010.3 考点10切线的性质和判定的综合应用 11.解：(1)如答图1，作OM⊥AB交AB于点N,交⊙O于点M, 27.A28.64 连接AO. 29.(1)解：如答图1，连接O 由题意知，0N=MN=号×4=2cmAN :PC,PB分别切⊙O于点C,B,AB是直 =BN=号AR 径， ∠PCO=∠PB0=90. 在R1△AON中，由勾股定理，得 OC=0A. AN-AO-0N=2/3. ∠A=∠AC0=58°， ∴AB=4高.∴.AB的长为45m .∠BOC=∠A+∠AC0=116, 答图】 解：如答图2，延长OC交⊙O于点E,连接 .∠P=360-90°-90°-116°=64 答图1 AO,设半径为r (2)解：如答图2，连接OP, PC,PB分别切⊙O于点C,B,AB是直径， 由题意知AC=CB=立AB=5cm,由折叠和 ∴.∠CPO=∠BPO,∠PBO=90. 中点的性质可知0D=DC-CE=号 BD=OB. .PB是OD的垂直平分线. 在R△AOC中，由勾股定理，得AC=AG 答图2 :.PO=PD. 0c.即=r-(号r)） ∠OPB=∠DPB .∠OPB=∠DPB=∠CPO. 解得r=35,=一35（不合题意，含去）. :∠DPC=81°. 答图2 73