九年级上册 第一章 微专1 利用矩形性质巧解折叠问题-【宝典训练】2023-2024学年九年级上下册数学高效课堂(北师大版)

典训练 数学·九年级·全册(北师大版 微专题1 特殊平行四边形中的折叠问题 类型① 矩形中的翻折 (2)求梯形ABCE的面积. 1.如图,把矩形OABC放入平面直角坐标系中, 点B的坐标为(10,8),点D是QC上一点,将 △BCD沿BD折叠,点C恰好落在OA上的 点E处,则点D的坐标是 A.(0,4)B.(0,5) C.(0,3) D.(0,2) (第1题图) (第2题图) 2.如图,矩形纸片ABCD中,AB-4.BC=6,将 类型2菱形中的翻折 △ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE 5.如图,在菱形ABCD中,A=120{*,E是边 交AD于点F,则DF的长等于 AD上的点,沿BE折叠△ABE,点A恰好落 在BD上的点F处,连接CF,那么BFC的 度数是 3.如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰 A.60* 好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH. B.70* 若EH=3cm,EF=4cm,则边AD的长是 C.75。 D.80* A.8cm 6.如图,已知四边形ABCD是边长为6的菱形, B.7cm 且 BAD-120*},点E,F分别在AB,BC的边 C.6cm 上,将菱形沿EF折叠,点B正好落在AD边 D.5cm 的点G处.若EGIAC,则FG的长为( ) 4.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.将矩 A.3 形ABCD沿CE折叠后,点D恰好落在对角 B.6 线AC上的点F处. C.3③ (1)求EF的长; D.3/② 7.如图,菱形ABCD中,A-120{*},E是AD上 的点,沿BE折叠△ABE,点A恰好落在BD 上的点F,那么 BFC的度数是 ( ) A60* B. 70。 C.75* D.80* 10 第一章 特殊平行四边形 8.如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落 11.如图,正方形纸片ABCD的边长为5,E是边 在菱形对角线的交点O处,折痕为EF.若菱 BC的中点,连接AE.沿AE折叠该纸片,使 形的边长为2,A-120{,求EF的长。 点B落在F点,则CF的长为 B.2 C.5 D.3 12.如图,现有一张边长为4的正方形纸片 ABCD,点P为AD边上的一点,将正方形纸 片折叠,使点B落在点P处:点C落在点G 处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接 BP,BH. (1)求证: APB- BPH; (2)当点P在边AD上移动(不与点A、点D 重合)时,△PDH的周长是否发生变化? 请证明你的结论. 类型 正方形中的翻折 9.如图,在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的 中点.将/ABG沿AG对折至\AFG.延长 GF交DC于点E,则DE的长是 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 10.如图,在正方形ABCD中,AB一6,点E,F分 别在边AB,CD上, EFC=120^{*},若将四边 形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边 的B处,则AE的长度为 ) A.2 B.③ C.2 D.1富数爆堂宝典训炼数学九年级全册（北师大版） ,四边形PMAN是矩形.PM=PN, .四边形PMAN正方形： :∠A0B=90A0-AB=号×2-1. (2):四边形PMAN是正方形， 由勾股定理，得BO=DO=3 ∴PM=PN,∠MPN=90.∠EPB=g0°， :△AEF沿EF折叠后A与O重 '∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90. 合，AE=OE, .∠MPE=∠NPB. 又：∠BAC=60", ∠PMA=∠PNB=90°， ,,△AEO为等边三角形， 在△EPM和△BPN中，{PM=PN, ∴，AE=AO=1. 答图 ∠MPE=∠NPB, .BE=2一1=1=AE ∴.△EPM≌△BPN(ASA..EM=BN. 同理可得AF=DF,∴EF为△ABD的中位线。 课堂能力提升 12.B ∴EF=D=×5+5)=E 13.(1)证明：四边形EFGH为菱形. B.C10.A11,C .HG-EH. 12.(1)证明：由折叠的性质，得 :AH=2.D=2, ∠EPH=∠EBC=90°，PE=BE, .DGAH. ∴.∠EBP=∠EPB, HG=EH. '·∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠PBC=∠BPH. 在R△DHG和Rt△AEH中， DG-AH. ,AD∥BC..∠APB=∠PBC,∴.∠APB=∠BPH. .Rt△DHG≌Rt△AEH..∠DHG=∠AEH (2)△PDH的周长不变.证明如下： :∠AEH+∠AHE=90°.∠DHG+∠AHE=90. 如答图，过点B作BQ⊥PH,垂足为Q, ∴.∠GHE=90:四边形EFGH为菱形， 由(1)知∠APB=∠BPH, .四边形EFGH为正方形： 在 △ABP 和 △QBP 中 (2)解：如答图，作FQLCD于点Q,连接GE ∠APB=∠QPB. 四边形ABCD为矩形，.AB∥CD. ∠A=∠BQP=90, ∴.∠AEG=∠QGE.即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE.: BP=BP, 四边形EFGH为菱形 .△ABP≌△QBP, 答图 ,HE=GF,HE∥GF ∴.AP=QP,AB=QB ∴∠HEG=∠FGE.∴.∠AEH=∠QGF 'AB=BC..BC=BQ. 在△AEH和△QGF中， D G BH=BH. 在Rt△BCH和Rt△BQH中， ∠A=∠Q, BC=BQ. ∠AEH=∠QGF, ,Rt△BCH≌Rt△BQH,∴.CH=QH, HE=FG. .△PDH的周长为PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC= .△AEH2△QGF AD+CD-8. .AH=QF=2. 微专题2利用特殊四边形的性质巧解动点问题 答图 DG=6.CD=8. 1.C2.B3.B4.D5.B 0G=2,5m的图积=号0G,PQ=号×2X2=2 6.2 7.解：(1)，四边形ABCD是矩形， 微专题1特殊平行四边形中的折叠问题 ,∴.AD∥BC,.∠OAE=∠(OF,∠AE)=∠CF) 1.C2.B3.D :EF垂直平分AC,垂足为O, 4.解(1)设EF=r, .OΛ■0C. 根据题意，得△CDE2△CFE,∴.DE=EF=r,CF=CD=6. .△AOE2△COF..OE=OF .AE=AD-DE=8-. ∴四边形AFCE为平行四边形. AC=√/AB+BC=√6+8=10. 又：EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形. .AF=AC-CF=4. 设AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm, 在R△AEF中，有AE=AF+EF, 在R1△ABF中，AB=4em, 由勾股定理得4+(8一x)=产.解得x=5, 即(8一x)=4+r2,解得r=3,即EF=3. ,∴.AF=5cm. (2)解：由(1)知AE=AD-DE=8-3=5, (2)显然当P点在AF上，Q点在CD上 Sm=号AE+BC·AB=号×6+8)X6=39. 时，A,C,P,Q四点不可能构成平行四边 5.C6.C7.C 形：同理P点在AB上时，Q点在DE或 8,解：如答图，连接BD,AC CE上，也不可能构成平行四边形.因此 :四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,AC平分∠BAD. 只有当P点在BF上，Q点在ED上时， 才能构成平行四边形，如答图，连接AP, 答图 :∠BAD=120. .∠BAC=60..∠AB0=90°-60=30 CQ,若以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC