九年级上册 第一章 《特殊平行四边形》热门考点整合应用-【宝典训练】2023-2024学年九年级上下册数学高效课堂(北师大版)

第一章 特殊平行四边形 第一章 《特殊平行四边形》热门考点整合应用 本章内容是中考的必考内容,主要考查与特殊平行四边形中菱形、矩形、正方形有关的计算 和证明等问题,近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等 相似、函数知识相结合的综合题,其主要考点可概括为:一个定理、三个图形、三个判定与性质、四 个技巧、两种思想. 考点一个定理--直角三角形斜边上的中线 4.(2022秋·龙岗区期末)如图,在矩形ABCD 定理 中,已知AE BD于点E. BDC-60*,BE一 1.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对 1.则AB的长为 ) 角线AC与BD交于点O,AC1AB,E是BC A.3 中点,△AOD的周长比△AOB的周长多 B.2 3cm,则AE的长度为 _ C.2/3 A. 3cm D.3 B.4cm C.5cm 图形3 正方形 D.8cm 5.(2023·福用区模拟)如图,四边形ABCD和 考点2三个图形 四边形AEFG均为正方形,点D为EF的中 图形1菱形 点,若AB一2/5,连接BF,则BF的长为 2.如图,四边形ABCD内有一点E,AE一BE一 ) DE-BC-DC,AB-AD,若 /C-150*,则 A.4/5 # 乙ABE的大小是 B.2V15 A.25* B.37.5{ C.5/3 C.750 D.2/17 D.85* 6.(2023·宝安模拟)如图,已知菱形ABCD的 图形2 矩形 对角线AC与BD相交于点O,请你增加一个 3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交 条件 .使菱形ABCD变为 于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,连接 正方形. EF,若AC一10cm,则EF的长是 A.2.5cm __ B.4.5cm C.6cm D.8cm 莹典训练 数学·九年级·全册(北师大版 考点三个判定与性质 判定与性质3 正方形 判定与性质1 萎形 9.如图,E为正方形ABCD的边AB的延长线上 7.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE 一点,DE交AC于点F,交BC于点G,H为GE [AB,DF BC,垂足分别是E,F,并且DE 的中点. DF.求证: 求证:FB BH (1)△ADE△CDF: (2)四边形ABCD是 菱形. 考点4四个技巧 技巧1 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴 对称变换法) 10.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点 E.F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿 判定与性质2 矩形 EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外 8.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点 部的点A,D.处,求阴影部分图形的周长. O.BE//AC.CE//DB.求证:四边形OBEC是 矩形. 16 第一章 特殊平行四边形 技巧2 解与四边形有关的旋转问题的技巧(特 技巧3 解与四边形有关的动点问题的技巧(固 殊位置法) 定位置法) 12.如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线 11.如图,正方形ABCD的对角线相交于点Q BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点Q 点O也是正方形ABCO的一个顶点,如果 是直线BD上的动点,OE|AB于点E,OF 1AD于点F. 两个正方形的边长都等于1,那么正方形 (1)求对角线AC的长及菱形ABCD的而积 A'BCO绕顶点O转动,两个正方形重叠部 分的面积大小有什么规律?请说明理由 图1 图2 (2)如图1,当点O在对角线BD上运动时, OE十OF的值是否发生变化?请说明 理由: (3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上 时,OE十OF的值是否发生变化?若不 变,请说明理由:若变化:请探究OE,OF 之间的数量关系 莹典训练 数学·九年级·全册(北师大版) 考点5 技巧4 解中点四边形的技巧 两种思想 13.如图,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC 思想1 转化思想 的内部, BOC=90{*$OB=OC,D,E,F,G$ 14.如图,在四边形ABCD中,C=90*.ABD 分别是AB,OB,OC,AC的中点; = CBD,AB=CB,P是BD上一点,PE (1)求证:四边形DEFG是矩形 BC,PF1CD,垂足分别为点E,F.求证:PA (2)若DE=2,EF-3,求△ABC的面积 -EF. # 思想2 数形结合思想 15.[阅读] 在平面直角坐标系中,以任意两点P(x·v). Q(x,)为端点的线段的中 点坐标为(△) E(4.3) -2 2 [运用] 0 (1)如图,矩形ONEF的对角线相交于点M. ON,OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原 点,点E的坐标为(4.3).则点M的坐标 为 (2)在平面直角坐标系中,有A(一1,2),B(3. 1).C(1,4)三点,另有一点D与点A,B,C 构成平行四边形的顶点,直接写出点D 的坐标.参考答来 -QA. .CD=AB=10.AD=BC=5. :点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm's.运动时间为ts. 又：将矩形ABCD沿EF折叠，使点A.D分别落在矩形AB .PC-5t em.QA=(12-4t)em. CD外部的点A,,D,处， 51=12-41,解得1=3 4 .根据轴对称的性质可得A,E=AE,AD,=AD,D1F=DF 设线段D,F与线段AB交于点M,阴影部分的周长为 “以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，13 (A.E+EM+MD,+A D)+(MB+MF+FC+CB) =AE+EM+MD +AD+MB+MF+FC+CB 8.A (AE+EM+MB)+(MD +MF+FC)+AD+CB 9.解：(1)如答图.分别过点A,B作x轴的垂线，垂足为G.H: =AB+(FD,十FC)+10 ,四边形AOBC是正方形， =AB+(FD+FC)+10 .A)=),∠AOB=90,∴.△AG2△O0HB, =10+10+10=30. .AG=OH,O=BH,A点坐标为（一1,3）， AG=3,0G=1. 山，解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是，理由如 .OH=3.BH=1..B(3.1) 下： 同理可得C2,4) 四边形ABCD是正方形， (2),点O与点E关于AP成轴对称， .OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°，∠BC'=90. .A)=AE,AP⊥(OE且平分OE, :四边形AB'CO是正方形.∴∠EOF=90 .E0.6). .∠EOF=∠BOC. AP∥x轴，点P纵坐标是3∴.B,D关于直线 ·∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF.即∠BOE=∠COF AP对称，.D3,5). ∴，△BOE2△COF.∴Smr=Saaw. :点P在直线BC上 B ∴两个正方形重叠部分的面积等于S, .设直线BC为y=r+,将B(3,1),C(2,GO OH 4)代人 答图 Sw-1X1-1.iSm- 可得26+方-4 13k十b=1. 解之得/一3 “两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是 b=10, y=-3+10,当y=3时=子 12.1)解：在菱形ABCD中，AG=CG,AC⊥BD,BC=令BD=2 ×16=8. Pr号a 由勾殷定理得AG=√AB一BG=110一8=6， 第一章《特殊平行四边形》热门考点整合应用 AC=2AG=2×6=12. 1.B2.B3.A4.B5.D “菱形ACD的面积=是AC·BD=号×12×16=96， 6.AC=BD或AB⊥BC 7.证明：(1)，DE⊥AB,DF⊥BC,.∠AED=∠CFD=g0, (2)解：不发生变化.理由如下：如答图1，连接 ,四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C AO,则S6AD=Sam十SNe, I∠AED=∠CFD, ∴吉BD·AG=2AB0E+ .在△AED和△CFD中，∠A=∠C, AD.0E.即号×16×6-号×100E+ 1 DE-DF. .△AED≌△CFD(AAS): (2)△AED≌△CFD,.AD=CD 专×100E :四边形ABCD是平行四边形， 解得OE+OF=9.6,是定值，不变. .四边形ABCD是菱形. (3)解：发生变化.如答图2，连接AO,则 8证明：，BE∥AC,CE∥DB,∴四边形OBEC是平行四边形. Sw=5am-5w号BD·AG 又四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD ∠COB=90.∴.平行四边形OB是矩形. AB OEAD.OF. 1 B.证明：，四边形ABCD是正方形， 即×16×6=2×10·0E-号×10 答图2 .CD=CB.∠DXCF=∠BCF=45.DC∥AE.∠CBE=90, .∠CDF=∠E. ·OF 又，CF=CF,.△DCF≌△BCF 解得OE一OF=9,6,是定值，不变，.OE+OF的值发生变化， ∠CDF=∠CBF.·∠CBF=∠E OE,OF之间的数量关系为OE-OF=9.6. :H为GE的中点∠CBE=90,HB=HG=号6E 13.(1)证明：如答图.连接A)并延长交℃于H. ”AB-AC,OB-(OC,∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC于点H. .∠HGB=∠HBG :D.E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点 ,∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠HGB=∠HBG. .IDG∥EF∥BC,DE∥AH∥GF .∠FBG十∠HBG=90.即∠FBH=90,.FB⊥BH. .四边形DEFG是平行四边形. 10.解：：在矩形ABCD中，4B=10,BC=5, :EF∥BC,AH⊥BC.AH⊥EF 高欢爆堂宝典川练数学九年城全册（北师大版） 又DE∥AH, 因为当x=1时，x十4x一5=0， .EF⊥DE. 所以x=1是方程的根： ,四边形DEFG是矩形， (2)解：D,E.F分别是AB,CB,(的中点 18解：原式=· (x-1)(x+1) .AO=2DE=4.BC=2EF=6. =+2+1-+z.(x-102-1 :△BOC是等腰直角三角形， (x-1)(x+1) x(3.z+1)x 3.x十1 0H=号BC=3 x-+·3r+-子+市 x-1-(x+12= 2 2 .AH=()A+0H=4+3=7 答图 (r+1) rr+D=千2当r+-3=0时.心 5ae=号×6X7=21. 了+=3照式=-号 14.证明：如答图，连接PC 课堂能力提升 ,PE⊥BC,PF⊥CD,∠ECF=90 ∴.∠PEC=∠PFC=∠EF=90. 8.解：不全面，满足条件的。，6有心十，之.还有 .四边形PECF是矩形.PC=EF 12a+b=2, AB=CB. 2a+b=2·或 或④ 2a+b=1或 a-b=1 1a-b=0 1a-b=2 在△ABP和△CBP中，∠ABP=∠CBP, BP=BP, ⑤2a+6-0, a-b=2 放满足条件的a,b的值可以为①子， ∴.△ABP≌△CBP(SAS). .PA=PC.PA=EF. 号1.0号号01，-1号- 15.解：(1)(2,1.5) 2.2用配方法求解一元二次方程(1)】 (2)设点D的坐标为(x,y. 知识导引 若以点A,B,C,D为顶点构成的四边形是平行四边形， 1.解根2.士4±反3.完全平方式配方 ①当AB为对角线时， 自主学习反馈 A(-1.2),B(3,1),C1,4..)+3=1+x2+1=4+y 2 2 2 2 一，选择题 ∴r=1,y=一1.点D的坐标为(1，一1). 1.C2.A3.A4.B5.C6.A7.C ②当BC为对角线时， 二、填空题 A(-1,2),B(3,1),C(1,4). 8.1=9,和=-99.(1)2或-4(2)7或-1 岁毕，岁学 10,(1)4或-2(2)3或-1 22 12.313.114.-8 ,点D的坐标为(5,3). ③当AC为对角线时， 三、解答题 A(-1.2.B8,1.c140.出=8,2告1 2 2 2 15,1解=号4=一子 r=-3,y=5..点D的坐标为(-3,5). (2)解：m=4,n=-2. 综上所述，点D的坐标为(1，-1)或(5,3)或(-3,5). 16.(1)解：：(.x-1)-16=0,∴(x-1)2=16. 第二章一元二次方程 x-1=士4.01=5=-3. (2)解：(x一3)2=9，开方得：x-3=±3. 2.1认识一元二次方程 解得：1■0，西-6.(3)解：：4(2r一1)2一36=0， 知识导引 .(2x-1)■9..2x-1=±3，.x=2或-1. 1,a.r2+hx十c=02.一次项常数项 17.解：2-2r=5.r2-2x+1=6. 自主学习反馈 一、选择题 .(x-1)=6..x-1■土√6. 1.C2.D3.B4.A5.D6.D7.A .x1=1+6,n=1-6. 8.C9.A10.D 18,解：方程移项得：x一2x=8, 二、填空题 配方得：x2-2x+1=9.即(x-1)2=9, 11.≠-112.3x7十2x-13=0 开方得x一1=3或一1=一3， 13.-214.202315.(8-2.x)(6-2.r)=15 解得：m=4,=一2. 三、解答题 课堂能力提升 1m=2, 19.(1)换元 16,解：：原方程为一元二次方程，。 m+2≠0， (2)解：设x=y,那么原方程可化为y一y一6=0， m=2.此时原方程化为一般形式为22x一32x一2-1 解得=3，边=一2. =0. 当y=3时，x=3.x=±5： 17.解：因为当r=5时，2+4r一5=40≠0， 当y=一2时，=一2（无意义，舍去） 所以x=5不是方程的根： “原方程的解为x=3,r=一√. 6