精品解析：四川省成都市高新技术产业开发区2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题

2023-2024学年下学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准者证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员收回答题卡． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0．5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，若的周长等于35，则线段的长为（ ） A. 15 B. 17.5 C. 20 D. 25 5. 分式的计算结果是（ ） A. B. C. D. 1 6. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，若点B的横、纵坐标相等，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 7. 如图，在四边形中，对角线、交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，中，，将绕点C顺时针方向旋转一定角度得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：_______． 10. 如果分式的值为0，那么的值是______． 11. 数学实践活动中，为了测量校园内一建筑物底部A，B两点之间的距离，如图，小明同学在A，B两点外选择一点C，分别定出线段，中点D，E，测得D，E两点之间的距离为，则A，B两点之间的距离是__________． 12. 如图，直线与直线(为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为______． 13. 如图，在中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 15. 若两数的平方差能被整数整除，则将这两数称为“幸运倍数组合”，如：证明两个连续偶数是“幸运倍数组合”，设较小的偶数为（为整数），则较大的偶数为，因为，，为整数，所以，两个连续偶数是“幸运倍数组合”．你认为两个连续奇数是“幸运倍数组合”吗？为什么？ 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 17. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求线段长． 18. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 化简：______． 20. 某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板的边数是_________． 21. 关于的不等式组无解，则的取值范围是________． 22. 如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为________． 23. 在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为，，将线段AB沿直线翻折得到线段（点A的对应点为），再将线段向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段（点的对应点为），此时的线段可看做是由线段AB绕点P旋转得到（点A的对应点为），则周长的最小值为__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行．作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品（如熊猫挂件）深受球迷喜爱．已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同． （1）每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？ （2）若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？ 25. 如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 26. 已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； （3）如图3，过点A的直线，射线与直线l交于点F．若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年下学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准者证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员收回答题卡． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0．5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故不符合题意； B．是中心对称图形，故符合题意； C．不是中心对称图形，故不符合题意； D不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】A．不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向应改变，选项不符合题意； B．假设，，不成立，选项不符合题意； C．假设，，不成立，选项不符合题意； D．不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，选项符合题意． 故选D． 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断． 【详解】解：A． ，是整式的乘法运算，不符合题意； B． ，故原分解因式错误，不符合题意； C． ，利用完全平方公式因式分解，符合题意；； D． ，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，若的周长等于35，则线段的长为（ ） A. 15 B. 17.5 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 由的垂直平分线交边于点D，交边于点E，可得，又由的周长等于21，即可求得，然后由，求得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长等于35， ∴． ∵中，， ∴． 故选：C． 5. 分式的计算结果是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则计算，即可求解． 【详解】解： ． 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，若点B的横、纵坐标相等，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的平移．根据平移的规律可得点B的坐标为，再由点B的横、纵坐标相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B， ∴点B的坐标为， ∵点B的横、纵坐标相等， ∴， ∴． 故选：A 7. 如图，在四边形中，对角线、交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定以及性质，根据两组对边分别相等可判定A， 根据对角线互相平分可判定C，先利用平行线的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，再根据对角线互相平分可判定D． 【详解】解：A．，，根据两组对边分别相等，可以判定平行四边形，故该选项不符合题意； B．，，无法判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； C．，，根据对角线互相平分，可以判定平行四边形，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选∶B． 8. 如图，中，，将绕点C顺时针方向旋转一定角度得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由旋转的性质得到，再由等边对等角得到，，则由三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．直接提出公因式，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 如果分式的值为0，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 且， 解得． 故答案为：． 11. 数学实践活动中，为了测量校园内一建筑物底部A，B两点之间的距离，如图，小明同学在A，B两点外选择一点C，分别定出线段，中点D，E，测得D，E两点之间的距离为，则A，B两点之间的距离是__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，利用三角形的中位线等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵D，E是线段，中点， ∴是的中位线， ∴， 即A，B两点之间的距离是， 故答案为：16． 12. 如图，直线与直线(为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得，解得， 当时，， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和平分，可推出，，得到，从而推出，同理可得，最后利用，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形 ，， 又平分 同理可得： ． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程： （1）分别求出两个不等式的解集，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为；， （2） 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 15. 若两数的平方差能被整数整除，则将这两数称为“幸运倍数组合”，如：证明两个连续偶数是“幸运倍数组合”，设较小的偶数为（为整数），则较大的偶数为，因为，，为整数，所以，两个连续偶数是“幸运倍数组合”．你认为两个连续奇数是“幸运倍数组合”吗？为什么？ 【答案】两个连续奇数是“幸运倍数组合”，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、平方差公式，根据题意设较小的奇数为（为整数），则较大的奇数为，列出代数式，运用平方差公式进行运算，进一步推理证明即可，理解题意、列出代数式推理证明是解题的关键． 【详解】解：是. 两个连续奇数是“幸运倍数组合”，理由如下， 设较小的奇数为（为整数），则较大的奇数为， ∵，，为整数， ∴两个连续奇数是“幸运倍数组合”． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形： （1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，然后用线段连接即可； （2）设交y轴于点D，则点，先求出，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：设交y轴于点D，则点， ， ∵的面积是面积的倍， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 17. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求线段长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定定理等： （1）证明，即可求证； （2）根据勾股定理可得的长，再由角平分线的判定定理可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质得：， 在和中， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，可得，再由平分，可得，从而得到，即可； （2）延长至点K，使，连接，证明，可得，，从而得到，然后根据等腰三角形的性质可得，即可； （3）连接，过点F作于点P，，可得到四边形是平行四边形，从而得到，，进而得到，再由的面积是面积的2倍，可得，从而得到，然后根据直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵点D是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至点K，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，过点F作于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，然后根据分式除法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 20. 某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板的边数是_________． 【答案】6##六 【解析】 【分析】本题主要考查了内角与外角的度数问题．先求出的度数，可得该正多边形的一个外角的度数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴该正多边形的一个外角的度数为， ∴这块正多边形纸板的边数是． 故答案为：6 21. 关于的不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，分别解不等式，再根据不等式组无解，得出求解即可，掌握根据不等式组无解，得出是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ，即；，即， ∴， 解得：， 故答案为：． 22. 如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，先利用三线合一得出平分，平分，然后利用角平分线的判定与性质可得出平分，求出，利用等边对等角得出，，即可求解． 【详解】解：过E作于H，作于G，于M，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴平分，平分， ∴，是的垂直平分线， ∴，， 又，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为，，将线段AB沿直线翻折得到线段（点A的对应点为），再将线段向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段（点的对应点为），此时的线段可看做是由线段AB绕点P旋转得到（点A的对应点为），则周长的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，两点间距离公式的应用，运用待炡系数法求出直线的解析式，得出直线和交点坐标，得到，运用平移规律得，设点，则，，得，求出，，再求出的周长最小值即可 【详解】解：∵，， ∴， 设直线的解析式为 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为 联立方程组，解得，， ∵与点关于直线对称， 设，则有： ∴ ∴， 由平移规律得，， 设点，则，， ∴， ∴， ∴的周长 当时，的周长 而 ∴ 解得,， 所以，当时，的周长最小值为， 故答案为： 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行．作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品（如熊猫挂件）深受球迷喜爱．已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同． （1）每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？ （2）若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？ 【答案】（1）每件A型熊猫挂件的售价是60元，则每件B型熊猫挂件的售价是45元 （2）最多购买A型熊猫挂件13件 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用： （1）设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件件，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意； ， 答：每件A型熊猫挂件的售价是60元，则每件B型熊猫挂件的售价是45元； 【小问2详解】 解：设购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件件，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m的最大值为13， 答：最多购买A型熊猫挂件13件． 25. 如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或为对角线时，同理可解； （3）证明，则且，即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，当时，； ∴， ∵，则，即点， 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设点、点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或； 【小问3详解】 解：设点、点， 设直线交x轴于点， 过点T作交于点M，则为等腰直角三角形，则， 过点T作轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N， ∵， ∴， ∴， 则且， 则，且， 解得：，则点， 将点P的坐标代入得：， 解得：． 26. 已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； （3）如图3，过点A的直线，射线与直线l交于点F．若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过D作于H，利用含的直角三角形的性质、勾股定理等求出，，利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出，利用等角对等边可求出，即可求解； （2）延长交于M，在上取点F，使，利用翻折的性质可求出，利用三角形内角和定理求出，利用等腰三角形三线合一性质得出，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用等边对等角和三角形外角的性质求出，设，利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，利用勾股定理求出，利用含的直角三角形的性质，即可求解； （3）分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证平分，然后利用可证，得出，在、中，利用勾股定理可得出，代入数据即可求解． 【小问1详解】 解：过D作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于M，在上取点F，使， ∵， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当F在A的右侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，延长线于M，连接， ∵翻折， ∴，，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 当F在A的左侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接， 同理可证平分， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 综上，的长为或． 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