精品解析：上海市格致中学2023-2024学年高二下学期期末考数学试卷

格致中学高二期末数学试卷 2024.06 一、填空题 1. 双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的性质求解. 【详解】双曲线的离心率为. 故答案为： 2. 已知球的表面积为，则球的半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用球体的表面积公式可求得球的半径. 【详解】设球的半径为，则，解得. 故答案为：. 3 已知函数，则______． 【答案】21 【解析】 【分析】代入求值即可． 【详解】由，可得． 故答案为：21. 4. 设随机变量服从二项分布，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算得解. 【详解】依题意，. 故答案为：2 5. 已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据列举法及古典概型的计算公式求得和，然后再由条件概率的定义即可求解. 【详解】一个家庭中有两个小孩只有四种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 记事件为“其中一个是男孩”，事件为“其中一个是女孩”， 则事件包含(男，女)，(女，男)，(男，男)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，(女，女)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，两种情况， 于是可知，, 则. 故答案为：. 6. 事件、互斥，它们都不发生的概率为，且，则______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式即可求解． 【详解】、互斥，它们都不发生概率为，则， ，又，联立解得 故答案为：． 7. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用导函数值为求解切点坐标，再把切点坐标代入切线方程即可求解值． 【详解】由，得， 直线与曲线相切，，解得，则， 可得切点为，代入，得． 故答案为： 8. 设随机变量的分布，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】由分布列求随机变量的均值，再由均值的性质求. 【详解】由题意，， 所以. 故答案为：2 9. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为_____________． 【答案】1200 【解析】 【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求解即可. 【详解】因为总体密度函数为：，则， 由得, 所以超过100分 人数大约为：人， 故答案为：1200. 10. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，可得出，分析得出，即可解得的取值范围. 【详解】设点，则，则或为锐角， 如下图所示： 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意可知，，则，解得. 故答案为：. 11. 正项等比数列中，与是的两个极值点，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】求导后，由题意和韦达定理得到，再根据等比中项的性质得到，最后根据对数的运算求出结果即可. 【详解】， 所以与是方程的两根， 所以在正项等比数列中，， 所以， 故答案为：2. 12. 椭圆：的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，按含两个顶点和含三个顶点进行分类讨论，得到答案. 【详解】根据椭圆方程，先讨论三角形有两个顶点为椭圆的顶点的情况， 不妨设顶点， 如图1，连接，当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接，则为等腰三角形，满足题意， 同理当为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为，联立， 解得或或或， 即圆与椭圆相交于点，连接， 其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，此时不合题意， 同理当为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图3，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为， 联立，解得或或， 此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰， 而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，此时不合要求； 最后再算3个顶点都在椭圆顶点的情况，易知这样的等腰三角形有4个， 综上：满足要求的等腰三角形个数为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去. 二、选择题 13. 有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（　　） A. n B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据超几何分布的均值求解即可. 【详解】设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布. ∴抽到的次品数的均值. 故选：C 14. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合回归方程，根据线性相关系数的性质可得结论. 【详解】因为样本数据所对应的点都在直线上， 所以变量为负相关关系，且， 故选：A． 15. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示， 当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或， 把代入得，解得， 因直线与曲线恰有两个公共点， 由图可得，即的取值范围是． 故选：B． 16. 定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”.给出下列四个命题： ①函数不是“函数”； ②函数是“函数”，且； ③函数是“函数”； ④函数是“函数”，且. 其中真命题的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断单调性，结合函数的图象，对四个命题逐一判断出真假即可. 【详解】对于①，的定义域为，，∵，∴，∴函数在上单调递增，显然函数不是“函数”，故①是真命题. 对于②，的定义域为，，当时，函数单调递增，故只需，即，记，，其图象如图1所示： 若当时，，由图象，可知当时，，而，∴，∴当时，函数单调递增，增区间的长度为，则，∴，显然成立，∴函数是“函数”，∵，∴，即，故②是真命题. 对于③，函数的定义域为，，显然当时，，此时函数单调递增，故函数不是“函数”，故③是假命题. 对于④，函数的定义域为，，当时，单调递增，故只需，即，记，其图像及的图象如图2所示： 若当时，，由图象，可知当时，，而，∴.∴当时，，函数单调递增，显然增区间的长度为，则，∴，∴函数是“函数”，又，∴，故④是真命题.综上所述，真命题的个数为3. 故选：B 三、解答题 17. 如图，在正三棱柱中，已知，是的中点. （1）求直线与所成的角的大小； （2）求证：平面平面，并求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据可知所求角为，由长度关系可得结果； （2）作，由面面垂直性质可知所求距离为，利用面积桥可求得结果. 【小问1详解】 由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形； 直线与所成角即为， 平面，， 在中，，， 即直线与所成角的大小为. 【小问2详解】 作，垂足为， 平面平面，平面平面，平面，， 平面，点到平面的距离即为的长， 由（1）知：，， ，即， 点到平面的距离为. 18. 某公司为了解服务质量，随机调查了位男性顾客和位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这位顾客所打分数均在之间，根据这些数据得到如下的频数分布表： 顾客所打分数 男性顾客人数 女性顾客人数 （1）求这位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若顾客所打分数不低于分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意根据所给数据，完成下列列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？ 满意 不满意 男性顾客 女性顾客 附： 【答案】（1）；（2）填表见解析；有． 【解析】 【分析】(1)由频数分布表，先求出各组的频率，再求它们与对应组的区间中点值的积的和即为所求； (2)按条件填写列联表，再计算K2观测值并与给定相关值比对回答而得. 【详解】(1)由题可知，落在区间，，，，的频率分别为： ，这位顾客所打分数的平均值为： ， 故这位顾客所打分数平均值为． (2)根据所给数据，可得列联表： 满意 不满意 男性顾客 女性顾客 根据列联表得． 因为，所以有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关． 19. 设常数且，椭圆：，点是上的动点． （1）若点的坐标为，求的焦点坐标； （2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值； （3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值． 【答案】（1）； （2）最大值为5，最小值为； （3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，，即得； （2）由题可得，利用二次函数的性质即得； （3）当直线PQ斜率存在时设其方程为，联立椭圆方程可得，利用韦达定理及条件可得，进而可得到直线PQ的距离为定值，当直线PQ斜率不存在时，可得，易得到直线PQ的距离为定值，即证. 【小问1详解】 ∵椭圆：，点的坐标为， ∴，， ∴的焦点坐标为； 【小问2详解】 设，又， 由题知，即， ∴， 又， ∴当时，取得最大值为25；当时，取得最小值为； ∴的最大值为5，最小值为. 【小问3详解】 当时，椭圆：， 设，当直线PQ斜率存在时设其方程为，则 由，得， ∴， 由可知，即， ∴，即， ∴，可得，满足， ∴到直线PQ的距离为为定值； 当直线PQ斜率不存在时，，可得直线方程为，到直线PQ的距离为. 综上，到直线PQ的距离是定值． 20. 已知函数 . （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值； （2）设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围; （3）对于函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程，将原点的坐标代入切线方程，即可求得实数的值； （2）分析可知对任意的，恒成立，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）分析可知，方程在上有两个不等的实根、，根据判别式以及韦达定理求出的取值范围，由参变量分离法可得，令，，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，其中，则， 所以，，， 所以，函数的图象在点处的切线方程为， 将原点的坐标代入切线方程可得，解得. 【小问2详解】 解：，则， 因为函数在区间上为减函数， 故对任意的，恒成立，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为，，则，故. 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 解：因为， 由题意可知，方程在上有两个不等的实根， 即方程在上有两个不等的实根， 则，可得， 由可得， 又因为 ， 所以，， 令，令，其中，， 所以，函数在上为减函数， 故当时，，所以，， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学高二期末数学试卷 2024.06 一、填空题 1. 双曲线的离心率为__________． 2. 已知球的表面积为，则球的半径为__________. 3. 已知函数，则______． 4. 设随机变量服从二项分布，则_________. 5. 已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为______． 6. 事件、互斥，它们都不发生的概率为，且，则______． 7. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 8. 设随机变量的分布，则_________. 9. 某区学生参加模拟大联考，假如联考数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为_____________． 10. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________ 11. 正项等比数列中，与是的两个极值点，则______. 12. 椭圆：的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为______． 二、选择题 13. 有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（　　） A. n B. C D. 14. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 15. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”.给出下列四个命题： ①函数不是“函数”； ②函数是“函数”，且； ③函数是“函数”； ④函数是“函数”，且. 其中真命题的个数为（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、解答题 17. 如图，在正三棱柱中，已知，是的中点. （1）求直线与所成的角的大小； （2）求证：平面平面，并求点到平面的距离. 18. 某公司为了解服务质量，随机调查了位男性顾客和位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这位顾客所打分数均在之间，根据这些数据得到如下的频数分布表： 顾客所打分数 男性顾客人数 女性顾客人数 （1）求这位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若顾客所打分数不低于分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意根据所给数据，完成下列列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？ 满意 不满意 男性顾客 女性顾客 附： 19. 设常数且，椭圆：，点是上的动点． （1）若点的坐标为，求的焦点坐标； （2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值； （3）设，若上另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值． 20. 已知函数 . （1）若经过点直线与函数的图像相切于点，求实数的值； （2）设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围; （3）对于函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $