精品解析：浙江省浙南名校2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题

绝密★考试结束前 2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考 高二数学学科试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 6. 已知函数，若存在非零实数，使得成立､则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数 ,若在区间上是单调函数,且则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 正项数列中，（为实数），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，，则( ) A. B. C. D. 10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 11. 已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若2为的周期，则为奇函数 B. 若为奇函数，则2为的周期 C. 若4为的周期，则为偶函数 D. 若为偶函数，则4为的周期 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，若，则_________． 13. 设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是______． 14. 已知函数，若函数有三个极值点，若，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值． 16. 已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足. （1）当点在轴上移动时，求动点的轨迹的方程； （2）设为（1）中的曲线上一点，直线过点且与曲线在点处的切线垂直，与曲线相交于另一点，当（为坐标原点）时，求直线的方程. 17. 如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四边形ABCD是菱形，，， （1）求证：平面ABCD； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知函数，其中且. （1）若，试证明：恒成立； （2）若，求函数的单调区间； （3）请判断与的大小，并给出证明.（参考数据：） 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有0个黑球的概率为. （1）求的值； （2）根据马尔科夫链的知识知道，其中为常数，同时，请求出； （3）求证：的数学期望为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网命组卷网 绝密★考试结束前 2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考 高二数学学科试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效 4考试结束后，只需上交答题卷 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的： 1.已知集合4={dr+3x+2>0},集合B={x0≤x≤2024)，则() A.4NB=8 B.AUB=R C.ACB D.BEA 【答案】D 【解析】 ≤A 【分析】利用解一元二次不等式求出集合A,可得 ,从而可作出判断. 【详解】由A={r+3x+2>0以可得：A={:x<-2或x>号. 第1页/共24页 命学科网命组卷网 又因为B={0≤x≤2024，所以4nB={x0≤x≤2024， 故A是错误的： 而4UB={以x<-2或>，放B是错误的： B∈A 由于 ,故C是错误的，D是正确的； 故选：D. 2.已知M,N,P,0是平面内四个互不相同的点，ā，b为不共线向量， MN=2023a+2025b Np=2024a+20246,P0=-a+b,则() M,N,P A. 三点共线 B.M,N, 三点共线 M,P,O 三点共线 DN,P0三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线充要条件求出结果。 【详解)N0=MP+PD=-i+6+2024后+20246=2023a+20256 所以MN=NO,所以M,N,卫=点共线，即B对. 同理，其它各项对应三点均不共线 故选：B. V2+√2i 3.已知复数2= 1-i, 则2=() √2 A.√2 B.2 C.2 D.2W2 【答案】A 【解析】 第2页/共24页 命学科网 命组卷网 【分析】利用复数模的运算性质☑22来计算即可· +2i2+2i 【详解】由z= √2+2i,可得= 1-i 1-i1- √2 故选：A 4.若sinl8°=m,则sin63°=() 2-m-m A. 1+5-m B.2m+ 2 2 C.2(m+v1-m) m+-m D. m+ 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用和角公式及同角三角函数关系进行求解 【详解】sin63°=sin(18°+45)= (6in189+cos189)=y (m+V1-m2) 2 故选：C 5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A,B)且PA=AC,则 二面角P-BC-A的大小为() B A.15° B.30° C.45° D.609 【答案】C 【解析】 第3页/共24页 6学科网 命组卷网 【分析】根据线面垂直的性质定理和直径所对的圆周角为90°得出BC⊥平面PCA,确定∠PCA为二面 角P-BC-A的一个平面角，由几何关系得出结果 【详解】由已知，PA⊥平面ABC, :ACC平面MBC,BCC平面MC .PA⊥AC,PA⊥BC PA=AC ∴.△PAC 是等腰直角三角形， .∠PCA=45° AB 是直径，是圆周上的一点， ∠BCA=90°AC⊥BC ,即 PA∩AC=A BCL平面PCM 又平面PBC∩平面BCA=BC, .∠PCA,P-BC-A “为二面角 的一个平面角， 即二面角P-BC-A的大小为45°， 故选：C 6.已知函数f(x)= e-1,x≥0 ,x<0，若存在非零实数x,'使得f(-x)=f(x)成立，则实数k的取值范围 是() 第4页/共24页 6学科网列组卷网 A.（-∞，-) B.（-0,-] c（-1,0) D.[1,0) 【答案】A 【解析】 【分析】不纺设>0，然后分k≥0和k<0两种情况讨论求解 【详解】不妨设>0 当k≥0时，(x)=-1>0.f(-0)=。<0 所以不存在非零实数。，使得(，)=f(,）成立： 当k<0时，若存在非零实数。，使得f(心)=f()成立。 则方程-1=-有正根，即函数y=e-l(x>0)与y=-(x>0)有交点， 先考虑函数y=c-1(x≥0)的图象与直线y=-(x≥0)相切的情况， -k=e4 设切点为 ,则乃=-c,得 (x,y)4=e-1,(x-10e*+1=0 令8)=x-0e+1(x≥0，则8=e≥0， 所以商数8因0+四）上举简造6，则8四2g0=0 所以方能低-0e1=0的根只有一个，即青=0 所以-k=1, 所以函数y=c-1(x≥0)的图象与直线y=-(x>0)相切时，切点为原点， 所以要使函数y=e-l1(x之0)的图象与直线y=-x>0有交点，只需k>1,即k<-1, 第5页/共24页 6学科网 命组卷网 所以实数k的取值范围为一0，-)】 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为当 k<0时，函数y=e-1(x>0与y=-x>0)有交点，然后利用导数有几何意义求解函数 y=©-1(x之0)的图象与直线'=-(x之0)相切的情况，从而可得答案，考查数学转化思想，属于较 难题 0, 7.函数f(x)=Asin(ox+p)（A>0,o>0),若f(x)在区间02上是单调函数，且 f()=f0)=-f八2)则o的值为() 2 2 1 A.3 B.3或2 C.3 D.1或3 【答案】B 【解析】 【分析】由f(x)=Asin(or+p)在区间2是有单调性，可得T范围，从而得0<o≤2，确定对称 轴和对称中心，讨论x= 0 2与(4 是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可. 0. T、π 【详解】f(x)在02单调，故2≥2，故T≥π， T=2元2元，故0<0≤2： ω 者7=，则0=2，取f=2x-2 满足题设条件： 第6页/共24页 6学科网命组卷网 若T>π，则=一2是f(x)的一条对称轴。 (子0是共相的网释中心 π）3π =2π=2 =73 2 0= 综上所述： 3或0=2 故选：B. 8.正项数列{a,}中，aH=ka。(k为实数)，若4m+a+am4=3,则m+am+a4的取值范 围是() A.3,9) B.3,9] c[3,15) D.[3,15] 【答案】A 【解析】 3 a2023=1 【分析】根据递推公式，求出 +.然后化倍d2a+心a十令1-≥2).得到 关于「的一个函数，根据函数的性质求其取值即可求解. 【详解】因为a,>0,且a1=ka。,所以k>0且{a,为等比数列，公比为k, 因为a22+am3+a2024=3,所以k 23+a223+ka2023=3k>0） a2023=1 3 所以 +1+k, 第7页/共24页 命学科网命组卷网 令1-店+k≥2列，当且仅当k=1时取等号， 化的时得+a+=9-中， =-小可2习，20品号 t+131 ≤1-2<1 所以31+1，所以f()e3,9), 所以“m+am+a4的取值范围是B,9) 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据等比数列的通项公式将式子转化为关于k的式子，再利用换 元法求出目标式子的取值范围· 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 yeR,且2=3,12=4，则() 9.已知" A.>x B.x+y>1 4 D.x+少<√2 【答案】ACD 【解析】 【分析】用对数表示x,y,利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案. 【详解1：12=3，x=lge3,同理y=og:4, 第8页/共24页 6学科网命组卷网 )=lbg2x在x>0时递增，故y>x,故A正确； .x+y=l0g1212= ,:B错误； 0:y0:y=A当且仅当=y时等号成立，而x<y,放沙<，C亚 :（x+=x+y+2V可=1+2<2，即E+<2,∴D正确. 故选：ACD 10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能 选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有() 35 A.所有可能的方法有种 B.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种 D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分步乘法原理判断A、C,根据间接法判断B,根据分类加法原理和乘法原理判断D. 【详解】对于选项A,安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动， 每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动， 故有5x5x5=5 种选择方案，错误： 对于选项B,如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法 5-4=61（种)，正确： 52=25 对于选项C:如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有 (种)，正确： 对于选项D:如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有5+5×4=25（种）， 错误， 故选：BC 第9页/共24页 6学科网命组卷网 11.已知定义在R上的函数 f(x)进▣fI+x)+fI-x)=0nf(x) 满足 ,且 不是常函数，则下列说法中正确的 有() A若2为田】 f(x) 的周期，则 为奇函数 B.者J) f(x) 为奇函数，则2为 的周期 C若4为( f(x) 的周期，则 为偶函数 D若 为偶函数，则4为田 的周期 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,由己知可得+)=-f代0，结合周期可得f代)=-（⊙可判断A:由奇西数可得 f(2+x)=fI+x+1)=f(x) 可判断B:结合已知可得结论4+0=0+x+3)=-f(-x-2) =-f0-1+)=-f(四，可判断C,由己知可得 (x+4)=-f(x+2)=f(x) ,可判断D. 【详解1对于A:若2是田的周期，则x+2)=f⊙， 南0+刘+0-00，可得2+刘=f0+x+)=-f0-x-)=-f0, 所以f()=-f⊙，所以四为奇函数：故A正确： 对于B:若f四为奇两数，则-)=-f田， 由f0+对+f0-力0，可得0+刘=f0+x+)=-f0-x-)=-f()=f因，所以2是 f(x) 的周期，故B正确： 若4是f倒的周期，设f(冈)=sinx,则(-x)+f(I+x)=si血（π+）+sim(π-)=0 第10页/共24页 学科网命组卷网 该函数的最小周期为2π，故4π为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确： 对于D:若f因)为偶丙数，则-)=f®， 由0-刘=fx-D,可得fx-)=-f+D,所以fx)=-x+2), 所以+到=-f+2)=/国，所以4是f四 的周期，故D正确 故选：ABD, 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若随机变量X~B(3p,Y~N(3,o）,若P(X≥)=0.657，PI≤Y<3)=P,则PY>5)= 1 【答案】0.2#5 【解析】 【分析】根据二项分布的概率计算求得p的值，利用正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量X~B(3,P),P(X≥)=0.657 所以1-(1-p'=0.657,即(1-p}°=0.343∴p=0.3 即PM≤Y<3)=p=0.3 而Y~Ngo）.则P>)=1-20≤y≤3》-1上-2x0302 2 2 故答案为：0.2 13.设正方形4BCD的边长为4，动点P在以AB为直径的AB上，如图，则PCPD的取值范国是 第11页/共24页 6学科网组卷网 【答案】 [0,16 【解析】 【分析】取CD的中点E,连结PE,根据极化恒等式 pe,m.+mc-m=P 4求解即可： 4 【详解】取CD的中点E,连结PE, D E PDC内使用极化恒等式得P元.PD-(PC+PD-(PC-PD) 在 4 -PEP-ED -IPE-icD"-IPE"-4 易知P西∈[2,25]，故PcPD∈0,161 故答案为：[0,16] 14已知函数f()=-心，若面数(~有三个极值点，(：<6<)，若≥3，则实数 a的取值范围是 第12页/供24页 6学科网列组卷网 【答案】(0，n32] 【解析】 3x2 【分析)求导，令导函数等于0，得到a=e，则直线y=a与曲线8r◆ e有3个不同的交点，对 ）2 12 g(x)求导，得到其单调性，从而得到a∈ e2 3_3 =123, 变游得到5.1≥3，令0= 2lnt ,t≥3 t-1 ，求导得到其单调性、极值、最值情况，求出 七=光e(@h习，结合8的年作，从白府整的限值范#包（血3门 3x2 【详解】f()=3x-ae,令3x-ac=0,得a=e, 则直线y=a与曲线8()3 有3个不同的交点， g(x)=6r-3r_3x(2-x) 令8'()>0得，0<x<2,令8()0得，x>2或x<0, 故8()3 延0.(2+上年造说，在02上年造.h80)=08(2)-吕。 又xeR时，8()=3r 3龙- e,故e5 X3 2Int 结合题设，令 e =1≥3，故。=即五 t-1 第13页/共24页 6学科网6组卷网 2-1）-2nt2-2-2nt ◆a0-≥3.则0 -=-0·≥3 0=2-子2,2.00-层足2产 t 之I.g0<0,食0-2-子2h+oF网玩 威1空3时.90<90-2-子2油1-0，数0)<0B回)上扣或 40)-在BoE网.女-晋eQ 又8-芒在(ahE行运原.我问e（aj门】 ra=装.fo2(o(n3]】 所以实数a的取值范国(0，（血3] 故答案为： (0a3] 【点睛】思路点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化， 借助图象分析，大大简化了思维难度 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，b,c(2sinM-sinC)cosB=-sinBcosC (1)求角B的大小： (2)若b=2 3,求△ABC周长的最大值. 第14页/供24页 6学科网6组卷网 B=π 【答案】(1) 3 (2)6V3 【解析】 【分析】(1)根据题意利用三角恒等变换运算求解即可： (2)法一：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换以及正弦函数的有界性分析求解；法二：利用余弦 定理结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为(2sinA-sinC)eosB=sinBcos,即2sin4cosB=sinBcosC+-sinCcosB. 2sinAcosB sin(B+C)=sinA 可得 0sB= 又因为A∈(0，π)，则sin4≠0，可得 2, B=π 且0<B<π，可得3. 【小问2详解】 a=b-c-25-4 法一：由正弦定理可得sinA sinB sinC√3 2 ,则。 a=4sin A,c=4sinC' =25+4sin4+2sn4+25cosA=25+6sm4+23cosA=25+43sim4+8 四为0e4号，君4+名爱可骨45<25+44+后s65 所以△1BC周长的最大值为6W3 第15页/供24页 6学科网命组卷网 法二：由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB a2+c2-ac 可得l12=a+-3ac≥a+P-3x 当且仅当a=c=23时，等号成立， 解得a+cs4V5 所以△ABC周长的最大值为6N5 3 P 16.已知点 点A在x轴上，点B在y轴的正半轴上，点M在直线AB上，且满足 PA·AB=0,AM=3AB (1)当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程： (2)设Q为(1)中的曲线C上一点，直线1过点Q且与曲线C在点处的切线垂直，1与曲线C相交于 另一点R,当O00R=0(0为坐标原点)时，求直线'的方程 【答案】（山）P=2(x≠0) (2)y= 2 x+2或y= 2t+2 【解析】 【分析】(1)设A(x,0),利用射影定理，得到D ②设(50处的线率为 =X0, 写出切线方程，与抛物线方程联立，再由 000R=0求解。 第16页/供24页 命学科网命组卷网 【小问1详解】 解：设1(，0)，则由射影定理，有402-B00P、 08=-26 3-31 故 2 易得M(-2x,2x6),故M的轨迹方程为'=2 y= x2(x≠0) 3 【小问2详解】 故y=- (x-x)+26代入抛物线方程， .2 +2 由000R=0 整理得=4，x=士V2 所以1的方程为= 2 2x+2或y= 2+2 I7.如图所示多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,△ADE是正三角形，四 边形4BCD是菱形，AB=2,CF=V5,∠BAD 3 第17页/供24页 6学科网组卷网 B (1)求证： EF 平面ABCD, (2)求二面角E-AF-C的正弦值， 【答案】(1) 证明：取AD N NE NC 中点，连接 因为ADE是正三角形， 所以EN⊥AD,EN=2sin60°=V5 因为平面ADE上平面 平面ABCD,ENC￥面ADE,平面ADEn平面MBCD=MD 所以EN⊥平面ABCD,又因为CF⊥平面ABCD 所以EN//CF,又因为EN=CF,, 所以四边形ENCF是平行四边形，所以EF∥NC, 又因为NCC平面 ABCD,EF ABCD ”平面 所以EF∥平面ABCD 平面 10 (2)8 【解析】 【分析】(1)由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可； (2)建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可 【小问1详解】 第18页/供24页 6学科网命组卷网 略 【小问2详解】 连接ACBD交于O,取AF中点M,连接OM, OM CF 所以 为CF上平面MBCD,所以OM上平面4BCD, ,因 ，所以 OA.OBC平面MBCD,所 .OM⊥OA,OM⊥OB 因为 又因为四边形ABCD是菱形，所以OA⊥OB, OA、OB、OM 所以 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， E 4iao8auo.c(iao小.a1o.555a同 F-aia同.正-( 设平面4EF的法向量为m=(x,八，2) 4F.m=-2V3x+3z=0 AE.m=-3.1 -x- 2 +52=0令x=lm=35,2 平面MFC的法向量为i=(O,10) 设二面角E-AF-C的大小为O, 第19页/供24页 6学科网 命组卷网 cos= m33 36 m元42-18 ,sino=v1-cos10 8 10 所以二面角E-AF-C的正弦值为8· 18已知函数f()=d,g(冈)=ax,其中a>0且a≠1 （1)若a=e,试证明：xeR,f(x)≥8()恒成立： ②)若xe@,o求丙数)=n以》 气f(x)的单调区间： 2 2 (3)请判断πe与e的大小，并给出证明.（参考数据： 2≈0,736，e≈2.718，元≈3.1416,1nr≈1.145 【答案】(1) 设函数p()=f()-(,=e-cr,则()=e-e, 当x∈(-o,时(y0,当x∈(，+o时p()>0。 所以p()在(-，1)上单润递减，在+切)上单调递增，所以m=f(0-8(0=0, 所以p()≥0，即x∈R,f()≥8()恒成立 (2)当a∈(0,1)，h(的单调增区间为0，+o）,无道减区间：当a∈(L,+切），h()的单调递增区间 01 为na, 2 2 (3)π>π. ,证明如下： 第20页/供24页 6学科网列组卷网 0,1 由(2)可知h(x)=lnr+lnr-xhr在n元上单调递增， 181≈0.873> 3>2≈0.736 因为lnπ1.145 从油2知回生)*满笔)) 23 3 4 n3+1m-3r=n3+m 3 4 4 44 31 81 所以4 <0 由此可知 3)}om)h子+s名m<o e 【解析】 【分析】4)根据题意，构造函数()=f()8(冈，然后求导可得)=0，即可证明， (2)根据题意，求导可得 x), 即可得到其单调性； 2 2 (3)根据题意，结合(2)中的结论可得 从而可得n。+lhr<。r,即可证明 e e 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第21页/供24页 命学科网命组卷网 =r+g-ba)-o,从=d. 己知 芳ae@1）,剥（国士>0（创在0+o)年调适甜。 5.当色动0，身（品co 单调递减， 综上，当a∈(0，)，h(女的单调增区间为(0，+o）, 无递减区间： 1 0. ,+0 当a∈(1，+o),h(x)的单调递增区间为na,单调递减区间为na 【小问3详解】 略 19.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一 个状态到另一个状态的转换的随机过程该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前 状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙 两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行m(n∈N)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 X,恰有1个黑球的概率为P,恰有2个黑球的概率为9，恰有0个熙球的概率为 山)求BP的值： (2)根据马尔科夫链的知识知道P。=aP+b-4+c,其中a,b,ce[0,J为常数，同时 Pn +gn+r=1 ,请求出P: (3)求证：X,的数学期塑(X.)为定值 第22页/供24页 6学科网 组卷网 49 【答案】)B=9,P8 (3) CZCI 2 1 因为.CCP+ 1-9n-Pm= -a号+0-ag iC+ 2 所以①②， 24a*+n-1=24+n-刂 因为2+月-1=0，所以2+n,-1=0所3=1之是 2 所以X,的概率分布列为： Xn 0 1 2 1-Pn p 1-Pn 1-pn-2 Pn 2 mE(X,)=0-1x+2x=1 2 所以X。的数学期望E(X.)为定值1 【解析】 【分析】(1)根据互斥事件概率及古典概型求解乃，再由全概率公式求P, (2)由事件的独立性及全概率公式求解P,构造等比数列求出通项公式： 第23页/共24页 6学科网命组卷网 1-Pn (3)由全概率公式求出9,1-卫，一9的表达式，作差可得，= 2,利用Pn列出分布列，求期望即 可 【小问1详解】 由题意恰有0个黑球的概率为 -Pn-9n 由题意知A= cic+cicl5 cicl2 ac9-cc-. 所以P三 ,+器+器0- 49 P+- 81 【小问2详解】 因为P,-S cCcCc( CC Pn CC91+S 3 32 3 2 1 又因为A亏45≠0，所以P。一5引是以45为首项，)为公比的等比数列 【小问3详解】 略 第24页/供24页