精品解析：云南省保山市智源高级中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

保山市智源中学 2023-2024 学年下学期高一年级 第三次月考数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答卡上填写清楚. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号.在试卷上作答无效. 一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设全集，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全集求出的补集即可. 【详解】，，. 故选：A. 2. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的运算求得，再得到虚部即可. 【详解】由题意，可得， 故的虚部为. 故选：C. 3. 关于直线、及平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断各选项即可. 【详解】对于A，若，，则或与异面，故A错误； 对于B，若，，则存在直线，使得，且，则， 故，故B正确； 对于C，若，，则，或，故C错误； 对于D，若，则不一定得到，故D错误. 故选：B. 4. 宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案. 【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米， 下圆台的高为厘米， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米. 故选：D 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性以及时的正负即可判断. 【详解】函数的定义域为，且，， 是奇函数，排除选项C和D，当时，， 排除选项B. 故选：A． 6. 如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的概念以及三角函数的定义，可得和，再根据以及两角和的正弦公式计算可得答案. 【详解】∵角的终边按逆时针方向旋转后得到的角为， 所以由三角函数的定义，可得： ，， ∴， 故选：A. 8. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若数据，方差，则所有的数据都为0 B. 若数据，的平均数为，则的平均数为6 C. 若数据，的方差为，则的方差为12 D. 若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据的平均数，方差，百分位数的性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于，数据的方差时，说明所有的数据都相等，但不一定为，故选项错误； 对于，数据，的平均数为，数据的平均数为，故选项错误； 对于，数据的方差为，数据的方差为，故选项正确； 对于，数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据大于或等于90，故选项错误， 故选：. 二、多项选择题(本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据，求出的值，进行判断； 对于选项B，由的值可得的坐标； 对于选项C，由，坐标，可得的坐标，进而计算的模； 对于选项D，由的坐标，根据公式计算与其同向单位向量的坐标判断正误. 【详解】对于选项A，根据，求出的值，故A正确； 对于选项B，由，得，故B错误； 对于选项C，，，可得，所以，故C正确； 对于选项D，因为单位向量与同向，所以，，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么该学生在第个路口首次遇到红灯的概率为 B. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为、、，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为 C. 先后抛掷枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有数字、、、、、）骰子向上的点数分别为、，则的概率为 D. 设个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式可判断ABD选项的正误；利用古典概型的概率公式可判断C选项的正误. 【详解】对于A选项，该学生在第个路口首次遇到红灯的概率为，A选项正确； 对于B选项，此密码被破译的概率为，B选项正确； 对于C选项，所有的基本事件数为，由可得. 事件“”所包含的基本事件有：、、， 故所求概率为，C选项错误； 对于D选项，由已知可得，解得，D选项错误. 故选：AB. 11. 如图，在四边形中，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 始终有 B. 当平面平面时，平面 C. 当平面平面时，直线与平面成角 D. 当平面平面时，三棱锥外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用反证法证明即可判断A；根据面面垂直的性质与线面垂直的判定定理和性质可得，结合线面垂直的判定定理即可判断B；由选项B可知平面，确定线面角即可判断C；由选项BC知，如图，确定球心和半径，结合球的表面积公式计算即可判断D. 【详解】A：若假设，由， 得，又，所以， 即，又平面， 所以平面，又平面， 所以，与矛盾，故A错误； B：在四边形中，由已知可得：. 因为平面平面，又平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以. 因为，平面，可得平面，故B正确； C：由选项B知，由平面，则为直线与平面所成角是，故C正确； D：当平面平面时，由B、C选项知，平面，平面， 平面，平面，所以， 所以取的中点，有， 即为三棱锥外接球的球心，且半径， 所以三棱锥外接球表面积，故D正确 故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分.) 12. 抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为，则该运动员这10次成绩的分位数为__________. 【答案】89.5 【解析】 【分析】利用百分位数的定义及中位数的定义即可求解. 【详解】该射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为 .又， 这10次成绩的分位数为. 故答案为：. 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】化简，代入即可求解. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 14. 已知函数，则函数的零点个数为___________. 【答案】7 【解析】 【分析】先设，然后分别作出和的图像，对图像进行分析即可. 【详解】函数的零点个数即为方程的根的个数， 令，则， 如图所示， ， 则， 作出的图像，如图所示， ， 则一共有7个交点，所以方程有7个根， 即函数零点个数为7， 故答案为：7 【点睛】方法点睛：嵌套函数的常用解决方法为设，然后对函数图像二次利用（或者画两个），将分别作为横坐标和纵坐标通过图像来解决根的相关问题. 四、解答题(本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间 （2）若函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后得到函数的图象，当，求函数的值域 【答案】（1）增区间：，，减区间：，；（2） 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意得到，再求函数的单调区间即可. （2）首先根据题意得到，根据得到，即可得到函数的值域. 【详解】（1） . ，解得，. ，解得，. 所以函数的增区间：，， 减区间：，. （2）. 因，所以. 所以，即. 【点睛】本题第一问考查三角函数的单调区间，第二问考查三角函数的平移变换，同时考查了三角函数的值域问题，属于简单题. 16. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求和乙样本直方图中值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. （3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 【答案】（1）；； （2）平均值81.5，中位数82； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率定义即可求出，再根据小矩形面积和为1即可求出值； （2）根据平均数和中位数定义计算即可； （3）列出所有情况和满足题意的情况，再利用古典概率公式即可. 【小问1详解】 由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得； 【小问2详解】 甲样本数据的平均值估计值为 ， 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为， ， 解得，所以乙样本数据中位数为82. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人， 将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为， 则从这6人中随机抽取2人的基本事件有 ，共15个， 所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为. 17. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由结合三角形面积公式可化简得到，即可求得答案； （2）利用余弦定理得到，进而化为，结合基本不等式求得，即可得周长的最大值. 【小问1详解】 ， ， 则， ，， 又，； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得， 即，， 所以,（当且仅当时取“＝”）， 故，， 的最大值为8，的最大值为12， 周长的最大值为12． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，E为AP的中点，为等边三角形． （1）求证：； （2）在棱上是否存在一点F，使平面PBF，若存在，求点F到平面PBD的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连结,先证明平面，再证明平面，由线面垂直的性质即可得到证明； （2）取的中点，连结，，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得平面，然后利用等体积法可得点到面的距离. 【小问1详解】 证明：连结， 因为△为等边三角形，所以，又因为底面是菱形，所以， 所以△≌△，又因为，所以， 所以平面，而平面， 所以，又因为底面是菱形，所以， 所以平面，而平面，所以，. 【小问2详解】 棱上存在一点，使平面，点为的中点. 证明：取的中点，连结，， 因为为的中点，且，又且， 所以，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，，又平面，平面， 所以，平面，设点到平面的距离为， 因为，. 又因为平面，易知，所以，由得： 即：，所以. 即点F到平面PBD的距离为. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义，运用特例法进行判断即可； （2）根据题中定义，结合指数函数的单调性、二次函数的性质进行求解即可； （3）根据二次函数对称轴与所给的区间的位置关系，结合对钩函数、一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”. 【小问2详解】 因为在递增，故，即， 由，故，得， 从而，设 当时，函数单调递增， 故； 【小问3详解】 ①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若故在上单调递增， ∴，解得或（舍）. ∴存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由， 得，由，可得， 又在单调递增，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据二次函数的对称轴与所给区间的位置分类进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保山市智源中学 2023-2024 学年下学期高一年级 第三次月考数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答卡上填写清楚. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号.在试卷上作答无效. 一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设全集，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 关于直线、及平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D 若，，则 4. 宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ） A B. C. D. 7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若数据，方差，则所有的数据都为0 B. 若数据，的平均数为，则的平均数为6 C. 若数据，的方差为，则的方差为12 D. 若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90 二、多项选择题(本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么该学生在第个路口首次遇到红灯的概率为 B. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为、、，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为 C. 先后抛掷枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有数字、、、、、）骰子向上的点数分别为、，则的概率为 D. 设个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 11. 如图，在四边形中，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 始终有 B 当平面平面时，平面 C. 当平面平面时，直线与平面成角 D. 当平面平面时，三棱锥外接球表面积为 三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分.) 12. 抽样统计某位射击运动员10次训练成绩分别为，则该运动员这10次成绩的分位数为__________. 13. 已知，则________. 14. 已知函数，则函数的零点个数为___________. 四、解答题(本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间 （2）若函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后得到函数的图象，当，求函数的值域 16. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. （3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 17. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2菱形，，，E为AP的中点，为等边三角形． （1）求证：； （2）在棱上是否存在一点F，使平面PBF，若存在，求点F到平面PBD的距离；若不存在，请说明理由． 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$